Théorème des trois droites de Hadamard

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En analyse complexe, le théorème des trois droites de Hadamard est un résultat sur le comportement d'une fonction holomorphe sur un domaine du plan complexe délimité par deux droites parallèles.

Résultat[modifier | modifier le code]

Soit f une fonction holomorphe bornée sur l'ouvert  B = \{x + i y : (x, y) \in ]a, b[ \times \mathbb{R}\} continue sur  \overline{B} .

On pose :  M : x \mapsto \sup_y |f(x + i y)| .

Alors ln M est une fonction convexe sur [ab], c'est-à-dire :

 \forall t \in [0, 1] , en posant :  x = t a + (1 - t) b , on a :  M(x) \le M(a)^t M(b)^{1 - t},

et de même en remplaçant [ab] par un sous-intervalle.

Démonstration[modifier | modifier le code]

Soit \epsilon>0 quelconque. On pose :  F : z \mapsto \frac{f(z) M(a)^{\frac{z - b}{b - a}} M(b)^{\frac{z - a}{a - b}}}{(z+i(1-a))^\epsilon} . Cette fonction est bien définie et holomorphe sur B.

Pour tout  z \in \overline{B}, \left|(z+i(1-a))^\epsilon\right|\geq 1 car |z+i(1-a)|\geq \Im(z+i(1-a))\geq 1. Donc  \forall z \in \partial B, |F(z)| \le 1 .

Par le principe du maximum, si F n'est pas constante, alors |F| n'admet pas de maximum local sur B. Puisque |F(z)|\to 0 quand |z|\to+\infty, cela implique que |F(z)| \le 1 pour tout z\in \overline{B}.

En faisant tendre \epsilon vers 0, il en résulte que :  \forall z \in \overline{B}, |f(z)| |M(a)^{\frac{z - b}{b - a}}| |M(b)^{\frac{z - a}{a - b}}| \le 1 .

Or :  |M(a)^{\frac{z - b}{b - a}}| = M(a)^{\frac{x - b}{b - a}} = M(a)^{-t} .

De même,  |M(b)^{\frac{z - a}{b - a}}| = M(a)^{t - 1} .

Donc :  \forall z \in \overline{B}, |f(z)| \le M(a)^t M(b)^{1 - t} , ce qui est équivalent au résultat.

Annexes[modifier | modifier le code]

Sources[modifier | modifier le code]

Articles connexes[modifier | modifier le code]

Théorème des trois cercles de Hadamard