Théorème de Riesz-Thorin

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En mathématiques, le théorème de Riesz-Thorin, souvent désigné sous le nom de théorème d'interpolation de Riesz-Thorin ou encore de théorème de convexité de Riesz-Thorin, est un résultat sur l'interpolation des opérateurs. Il est nommé d'après Marcel Riesz et son élève Olof Thorin (en).

Ce théorème délimite les normes d'applications linéaires définies entre deux espaces Lp. Son utilité réside dans le fait que certains de ces espaces ont une structure plus simple que d'autres, par exemple L2 qui est un espace de Hilbert, ou qu'ils offrent un cadre facilitant certains calculs, comme L1 et L. Par conséquent, on peut démontrer des théorèmes sur les cas les plus compliqués en commençant par les prouver dans deux cas simples, puis en utilisant le théorème de Riesz-Thorin pour passer des cas simples aux cas compliqués. Le théorème de Marcinkiewicz (en) est similaire, mais s'applique aux opérateurs quasi-linéaires.

Énoncés[modifier | modifier le code]

Nous noterons ║TA,B la norme d'un opérateur borné T : AB, où A et B sont deux espaces vectoriels normés :

\|T\|_{A,B}=\sup_{a\in A\atop a\ne0}\frac{\|Ta\|_B}{\|a\|_A}.

Théorème — Soient p0, p1, q0, q1 ∈ [1, +∞]. On leur associe les espaces de Lebesgue de fonctions à valeurs complexes[1] sur un ouvert de ℝn et l'on considère une application linéaire T de Lp0 + Lp1 dans Lq0 + Lq1, continue de Lp0 dans Lq0 et de Lp1 dans Lq1, avec

M_0=\|T\|_{\mathrm L^{p_0},\mathrm L^{q_0}}\text{ et }M_1=\|T\|_{\mathrm L^{p_1},\mathrm L^{q_1}}.

Alors, pour tous p, q ∈ [1, +∞] tels que le couple (1/p, 1/q) appartienne au segment [(1/p0, 1/q0), (1/p1, 1/q1)], T est aussi continue de Lp dans Lq, avec

\|T\|_{\mathrm L^p,\mathrm L^q}\le M_0^{1-\theta}M_1^\theta
θ ∈ [0, 1] est tel que
 \frac{ 1 }{ p }= \frac{ 1 - \theta  }{ p _{ 0 }  } + \frac{ \theta  }{ p _{ 1 } }\text{ et }\frac{ 1 }{ q }= \frac{ 1 - \theta  }{ q _{ 0 }  } + \frac{ \theta  }{ q _{ 1 } }.
Représentation géométrique des exposants des espaces de départ et d'arrivée de l'opérateur interpolé par un point ayant pour coordonnées l'inverse de ces exposants.

Remarques.

  • Les relations qui donnent les exposants intermédiaires p et q sont illustrées géométriquement par la figure ci-contre.
  • Pour qu'un même opérateur soit défini sur deux espaces différents, il faut qu'il coïncide sur l'intersection des deux espaces. En général, on construit des opérateurs linéaires continus sur plusieurs espaces en commençant par les définir sur une partie dense de l'intersection de ces espaces ; ensuite on étend la définition aux espaces concernés, de façon unique, par prolongement linéaire continu.

La démonstration proposée ici suit à peu de choses près celle de Bergh et Löfström[2].

Au lieu de prendre un ouvert Ω de ℝn et de travailler sur les espaces Lp(Ω), on peut aussi considérer le cas plus général où  \left( U , \mu \right)  et  \left( V , \nu \right)  sont des espaces mesurés,  \mu  et  \nu étant des mesures positives sigma-finies et travailler avec les espaces de fonctions à valeurs complexes \mathrm L ^{ p } \left( U , d \mu  \right)  et \mathrm L ^{ p } \left( V , d \nu  \right)  .

Dans ce cas, sans pratiquement rien avoir à changer, la démonstration ci-dessus reste valable. On peut donc aussi donner la formulation suivante, un peu plus générale, du théorème de Riesz-Thorin.

Théorème —  Soient p0, p1, q0, q1 ∈ [1, +∞].

Soit  \left( U , \mu \right)  et  \left( V , \nu \right)  des espaces mesurés,  \mu  et  \nu étant des mesures positives sigma-finies.

Soit T un opérateur linéaire borné de l'espace de Lebesgue \mathrm L^{ p _{ 0 } }\left( U , d \mu  \right) de fonctions à valeurs complexes vers \mathrm L ^{ q _{ 0 } }\left( V , d \nu  \right) , de norme M _0 et aussi de \mathrm L ^{ p _{ 1 } }\left( U , d \mu  \right) vers \mathrm L ^{ q _{ 1 } }\left( V , d \nu  \right) , de norme  M _1.

Alors pour tout θ ∈ [0, 1], T est aussi un opérateur linéaire borné de \mathrm L ^{ p } \left( U , d \mu  \right) vers \mathrm L ^{ q  }\left( V , d \nu  \right) dont la norme M satisfait l'inégalité suivante :

M\le M_0^{1-\theta}M_1^\theta

et où p et q sont donnés par :

 \frac{ 1 }{ p }= \frac{ 1 - \theta  }{ p _{ 0 }  } + \frac{ \theta  }{ p _{ 1 } }\text{ et }\frac{ 1 }{ q }= \frac{ 1 - \theta  }{ q _{ 0 }  } + \frac{ \theta  }{ q _{ 1 } }.

On peut aussi mentionner une formulation simplifiée du théorème de Riesz-Thorin dans le cas où les espaces de départ et d'arrivée de l'opérateur  T sont identiques :

Théorème —  Soient p0, p1 ∈ [1, +∞]. On leur associe les espaces de Lebesgue de fonctions à valeurs complexes sur un ouvert de ℝn et l'on considère une application linéaire T de Lp0 + Lp1 dans lui-même, continue de Lp0 dans lui-même et de Lp1 dans lui-même, avec

M_0=\|T\|_{\mathrm L^{p_0},\mathrm L^{p_0}}\text{ et }M_1=\|T\|_{\mathrm L^{p_1},\mathrm L^{p_1}}.

Alors, pour tout p ∈ [p0, p1], T est aussi continue de Lp dans lui-même, avec

\|T\|_{\mathrm L^p,\mathrm L^p}\le M_0^{1-\theta}M_1^\theta
θ ∈ [0, 1] est tel que
 \frac{ 1 }{ p }= \frac{ 1 - \theta  }{ p _{ 0 }  } + \frac{ \theta  }{ p _{ 1 } }.

Remarque : l'inégalité satisfaite par la norme M de l'opérateur interpolé signifie, en fait, que  \log \left( M \right) est une fonction convexe.

Cette dernière remarque nous introduit à la formulation très générale suivante du théorème telle qu'elle est proposée dans Dunford-Schwartz[4].

Théorème —  Soit  \left( U , \mu \right)  et  \left( V , \nu \right)  des espaces mesurés,  \mu  et  \nu étant des mesures positives. Soit T une application linéaire de \mathrm L^p\left( U , d \mu  \right) dans \mathrm L^q\left( V , d \nu  \right) , et pour  1 \leqslant p , q \leqslant \infty , on dénote par   |T | _ {p, q} la norme d'une extension continue de T de \mathrm L^p\left( U , d \mu  \right) dans \mathrm L^q\left( V , d \nu  \right) si une telle extension existe, et +∞ sinon. Alors le théorème affirme que la fonction

 F (a, b) = \log \left( | T | _ {1 / a, 1 / b}  \right)

est convexe dans le carré (a,b) ∈ [0,1] × [0,1].

Exemples d'applications[modifier | modifier le code]

Inégalité de Hausdorff-Young[modifier | modifier le code]

Considérons l'opérateur de Fourier T qui à une fonction  f définie sur le cercle unité associe la suite de ses coefficients de Fourier

 \widehat {f} (n) = \frac {1} {2 \pi} \int_0 ^ {2 \pi} e ^ {-inx} f (x)~\mathrm dx, n = 0, \pm1, \pm2, \dots.

Le théorème de Parseval montre que T est borné de L2 vers  \ell ^ 2 de norme 1. D'autre part, il est clair que

 | (Tf) (n) | = | \widehat {f} (n) | = \left | \frac {1} {2 \pi} \int_0 ^ {2 \pi} e ^ {-int } f (t)~\mathrm dt \right | \leqslant  \frac {1} {2 \pi} \int_0 ^ {2 \pi} | f (t) |~\mathrm dt

de sorte T est borné de L1 dans  \ell ^ \infty , de norme 1. Par conséquent, nous pouvons invoquer le théorème de Riesz-Thorin et ainsi obtenir que, pour tout 1 < p < 2 , T, en tant qu'opérateur de Lp dans  \ell ^ q , est borné de norme 1, où

 \frac {1} {p} + \frac {1} {q} = 1

Ceci se traduit par l'inégalité suivante :

 \left (\sum_ {n = - \infty} ^ {\infty} | \widehat {f} (n) | ^ q \right) ^ {1 / q} \leqslant \left (\frac {1} {2 \pi} \int_0 ^ {2 \pi} | f (t) | ^ p~\mathrm dt \right)^ {1 / p}.

Il s'agit de l'inégalité de Hausdorff-Young (en).

Opérateurs de convolution[modifier | modifier le code]

Soit f une fonction intégrable fixe et soit T l'opérateur de convolution associé à f, c'est-à-dire, pour chaque fonction g nous avons

 \, Tg = f * g

Il est bien connu que T est borné de L1 dans L1 et il est trivial qu'il est borné de L dans L (les deux bornes sont  \| f \| _{\mathrm L ^{ 1 } } ). Par conséquent, le théorème de Riesz-Thorin donne

 \| f * g \| _{\mathrm L ^{ p } } \leqslant  \| f \| _{\mathrm L ^{ 1 } }  \| g \| _{\mathrm L ^{ p } }

En gardant cette inégalité, nous échangeons l'opérateur et l'opérande, ou en d'autres termes, nous pensons S comme l'opérateur de convolution avec g, et nous obtenons que S est borné de L1 dans Lp. En outre, puisque g est dans Lp nous obtenons, compte tenu de l'inégalité de Hölder, que S est bornée de Lq dans L où, à nouveau,  1 / p +1 / q = 1 . Ainsi, nous obtenons par interpolation que

 \| f * g \| _{\mathrm L ^{ s } } \leqslant \| f \| _{\mathrm L ^{ r } } \| g \| _{\mathrm L ^{ p } }

où la relation entre p, r et s est

\frac {1} {r} + \frac {1} {p} = 1 + \frac1s.

La contribution de Thorin[modifier | modifier le code]

La démonstration originelle de ce théorème, publié en 1926 par Marcel Riesz, était un calcul long et difficile. Olof Thorin (en), un étudiant de Riesz, a par la suite découvert une démonstration beaucoup plus élégante et publié en 1939. À peu de chose près, c'est cette démonstration qui est exposée ci-dessus avec l'introduction de la fonction analytique bornée  F qui satisfait un principe du maximum sur une bande complexe et dont le maximum sur chacun des bords de la bande correspond à la norme de l'opérateur dans chacune des deux configurations que l'on cherche à interpoler. Le mathématicien anglais J. E. Littlewood a fait référence avec enthousiasme à la démonstration de Thorin comme « l'idée la plus impudente en mathématiques ».

Dans les années 1960, Alberto Calderón a adapté et généralisé les idées de Thorin pour développer la méthode d'interpolation complexe. Supposons que  A_0 et  A_1 soient deux espace de Banach s qui sont inclus, par une injection continue dans un espace approprié plus grand. Pour chaque  t avec  0 <t <1 , la méthode de Calderón permet de construire une famille de nouveaux espaces de Banach  A_t , qui sont « entre »  A_0 et  A_1 et qui satisfont la propriété « d'interpolation », à savoir que chaque opérateur linéaire  T , borné sur  A_0 et sur  A_1 est aussi borné sur chacun des espaces d'interpolation complexe  A_t .

Les espaces de Calderón ont de nombreuses applications. Voir par exemple : espace de Sobolev.

Théorème de Mityagin[modifier | modifier le code]

B. Mityagin a étendu le théorème de Riesz-Thorin. Nous formulons l'extension dans le cas particulier des espaces de suites avec des bases inconditionnelles :

Supposons que  \| A \| _ {\ell^1,\ell^1} \leqslant M et que  \| A \| _ {\ell^\infty,\ell^\infty} \leqslant M .

Alors  \| A \| _ {X,X} \leqslant M pour tout espace de Banach de suites  X inconditionnel (c'est-à-dire tel que, que pour toute suite  (x_i) \in X et toute suite  (\epsilon_i) \in \{-1, +1 \} ^ \infty ,  \| (\epsilon_i x_i) \| _X = \| (x_i) \| _X ).

La démonstration est basée sur le théorème de Krein-Milman.

Notes et références[modifier | modifier le code]

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Riesz–Thorin theorem » (voir la liste des auteurs)

  1. Cette précision est importante car pour des fonctions à valeurs réelles, il faut modifier la conclusion en multipliant le majorant par 2 : cf. (en) Interpolation of operators on Lp-spaces, par N. Tassotti et A. Mayrhofer, avril 2008, Example 1.6
  2. Bergh et Löfström 1976, p. 2
  3. Pour une démonstration complète, voir par exemple Tassotti et Mayrhofer 2008, op. cit.
  4. Dunford et Schwartz 1958, § VI.10.11

Bibliographie[modifier | modifier le code]

  • (en) Jöran Bergh et Jörgen Löfström, Interpolation Spaces: An Introduction, Springer,‎ 1976 (ISBN 978-3-540-07875-3)
  • (en) Nelson Dunford et Jacob T. Schwartz (en), Linear Operators, Parts I and II, Wiley-Interscience,‎ 1958
  • (en) I. M. Glazman et Yu. I. Lyubich, Finite-Dimensional Linear Analysis: A Systematic Presentation in Problem Form, Cambridge, Mass., The M.I.T. Press,‎ 1974, traduit du russe et édité par G. P. Barker et G. Kuerti
  • (en) L. Hörmander, The Analysis of Linear Partial Differential Operators I, Springer, coll. « Grund. der math. Wiss. (de) » (no 256),‎ 1983 (ISBN 978-3-540-12104-6), lien Math Reviews
  • (en) B. S. Mitjagin [Mityagin], « An interpolation theorem for modular spaces (ru) », Mat. Sb. (N.S.), vol. 66, no 108,‎ 1965, p. 473-482
  • (en) G. O. Thorin, « Convexity theorems generalizing those of M. Riesz and Hadamard with some applications », Comm. Sem. Math. Univ. Lund [Medd. Lunds Univ. Mat. Sem.], vol. 9,‎ 1948, p. 1-58, lien Math Reviews