Théorie des profils minces

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La théorie des profils minces est une théorie permettant le calcul de la portance suivant l'incidence.

Théorie des profils minces[modifier | modifier le code]

Cette théorie se propose de calculer la portance d'un profil sous certaines hypothèses. Elle est une résolution de la théorie des écoulements à potentiel de vitesse dans un cas particulier.

Cette théorie a été mise au point par le mathématicien allemand Michael Max Munk et affinée par l'aérodynamicien anglais en:Hermann Glauert [1] en 1920. Cette théorie approxime la réalité :

  • l'écoulement du fluide est bidimensionnel, c'est-à-dire que le profil a un allongement infini,
  • le profil est mince, c'est-à-dire que le profil a une épaisseur faible (Épaisseur relative  \ e/L \le 10%) et une faible cambrure (Cambrure relative  \ f/L  \le 5%),
  • l'écoulement est incompressible,
  • l'écoulement est stationnaire.

Cette théorie est encore utilisée de nos jours car il s'agit d'une base théorique solide pour expliquer les résultats suivants [2],[3]:

  • (1) sur un profil symétrique, le centre de poussée est situé à un quart de la longueur totale de la corde à partir du bord d'attaque.
  • (2) sur les profils asymétriques courbes de George Cayley, le centre de poussée bouge. Par contre, peut être défini le point où le moment dû au centre de poussé est indépendant de l'incidence. Ce point est situé à un quart de la longueur totale de la corde à partir du bord d'attaque.
  • (3) la pente de la courbe portance / incidence est de 2 \pi\! par radian.

La conséquence du résultat (3), le coefficient de portance pour un profil symétrique d'allongement infini, est :

 \ c_L = 2\pi \alpha
ou c_L\! est le coefficient de portance par unité de surface,
\alpha\! est l'incidence en radian, mesurée par rapport à la corde.

L'expression précédente est aussi applicable pour un profil asymétrique courbe de George Cayley, où \alpha\! est l'incidence par rapport à l'incidence où la portance est nulle. En conséquence, le coefficient de portance pour un profil asymétrique courbe de George Cayley d'allongement infini est

 \ c_L = c_{L_0} + 2\pi\alpha
ou  \ c_{L_0} est le coefficient de portance par unité de surface quand l'angle d'incidence est nul.

Cette théorie reflète bien la réalité tant qu'il n'y a pas de zone morte sur le profil (l'air est collé au profil, pas de turbulence), c'est-à-dire jusqu'à des angles d'incidence 10° à 15° pour la plupart des profils[4].

Calcul[modifier | modifier le code]

Le calcul est un calcul bidimensionnel, c'est-à-dire que le profil a un allongement infini. Le profil est globalement positionné suivant l'axe x, la corde est confondue avec l'axe x. L'écoulement est considéré comme stationnaire, c'est-à-dire que les résultats sont valables tant qu'il n'y a pas de décollement des lignes de courant de vitesse du profil, soit pour une faible incidence.

Profil[modifier | modifier le code]

Le profil est délimité par l'intrados et l'extrados.

L'extrados est définie par  y = E(x)

L'intrados est définie par  y = I(x)

x est la position le long de la corde.

La corde est définie comme la ligne droite reliant le bord d'attaque au bord de fuite.

Corde moyenne[modifier | modifier le code]

La corde moyenne est définie par  y(x) = \frac{ E(x) + I(x)}{2} .

Dans le cas d'un profil symétrique la corde et la corde moyenne sont identiques.

Un point d'abscisse \ x et d'ordonnée \ y sur la corde moyenne est noté \ (x;y) = (x; y(x)) = (x(l);y(x(l)))\ l est l'abscisse curviligne le long de la corde moyenne.

Modélisation du profil[modifier | modifier le code]

Ligne portante[modifier | modifier le code]

L'idée repose sur la constatation de l'effet Magnus. Une tige en rotation est plongée dans un fluide. Grâce à la viscosité les particules du fluide proches de la tige sont entraînées. Une partie du fluide tourne donc autour de la tige. Plus la tige tourne vite plus les particules tournent vite autour de la tige. L'intensité de la mise en mouvement est directement liée à la vitesse de rotation de la tige \ \omega et de sa surface extérieure S, notons \ \Gamma(w,S) cette intensité (ou circulation exprimée en m²/s). De même plus une particule est éloignée de la tige moins l'effet est présent. Il a été constaté que l'effet diminue quasiment suivant le carré de la distance.

Tige en rotation.

Si la tige est plongée dans un fluide en un mouvement uniforme rectiligne, la vitesse d'une particule est la somme de la vitesse d'entraînement autour de la tige et du mouvement uniforme. Au-dessous de la tige comme le montre l'illustration les particules se déplacent plus vite qu'au-dessus de la tige. Les lignes de courant se rapprochent de la tige au-dessous et s'écartent de la tige au-dessus.

En considérant la tige infiniment petite, il y a toujours cet effet d'intensité rotatoire noté \ \Gamma. Cette tige infiniment petite est appelée ligne portante. Le paradoxe de d'Alembert a rigoureusement démontré que sans viscosité (sans effet d'entraînement) il y a équilibrage naturel des vitesses tout autour du cylindre, le fluide glisse sur la surface du cylindre sans créer d'effet, il n'y a pas de portance. Donc \ \Gamma représente la perturbation des vitesses du fluide due à l'effet viscosité, \ \Gamma est "la mise en boîte" de la viscosité. Cette "mise en boîte" est relativement simple et cantonnée au profil. Donc les effets restent proches du profil, donc cette théorie ne modélise pas le décrochement laminaire, donc les effets de turbulence ou les fortes incidences.

Cette "mise en boîte" se nomme théorie de la ligne portante de Prandtl[5],[6],[7].

Le fluide est supposé incompressible et l'on a donc \nabla \vec{V} = 0 et comme le problème est 2 D, il existe un champ de potentiel scalaire tel que

\vec{V} = \vec{\nabla} \phi .

Le champ φ obéit à l'équation de Poisson qui est

 \Delta \phi = \omega

où ω est la vorticité (source) le long du cylindre infiniment petit et la solution formelle de cette équation est la suivante :

\phi(x) = {1 \over 4 \pi} \int_V {\omega(y) \over \|\vec{x} - \vec{y}\|} d \vec{y}

Ce potentiel est équivalent au potentiel d'un champ magnétique où l'on a remplacé le courant I par la vorticité ω. En dérivant, on trouve une formule équvalente à la loi de Biot et Savart comme suit. La vitesse d'entraînement autour de la tige  \vec{dV} d'une particule placé à une distance r d'un petit bout  \vec{dl} de ligne portante est :

 \vec{dV} = \frac {\Gamma \vec{dl} \wedge \vec{r}}{4 \pi|r| ^3}

avec

  • Soit P le lieu de  \vec{dl}
  • Soit M le lieu de la particule

alors  \vec{r} = \overrightarrow{PM}

Comme les particules tournent autour de la tige la direction de la vitesse d'entraînement autour de la tige dV est tangente à un cercle de centre dl.

Pour toute la ligne portante, il faut sommer chaque petit apport de vitesse sur toute la ligne portante, la vitesse est :

 \vec{V} = \int_{-\infty}^{+\infty} \vec{dV} = \int_{-\infty}^{+\infty} \frac {\Gamma \vec{dl} \wedge \vec{r}}{4 \pi|r| ^3}

De cette formule, il est démontré que  \vec{V} dérive d'un potentiel, où la ligne portante est une source (cfThéorie des écoulements à potentiel de vitesse [8]).

Comme la diminution de l'effet est en  \frac {1}{r^2} , quand la ligne portante est une ligne droite, en application de la (loi de Biot et Savart), on obtient :

 V =  \frac {\Gamma} {4 \pi} \int_{-\infty}^{+\infty} \frac {\sin(\theta)}{r^2} dl
= \int_{-\infty}^{+\infty} {h \over (h^2 + l^2)^{3 \over 2} } dl

On définit l = h \tan \theta. On a donc d l = h (1 + \tan^2 \theta) d \theta et donc,

 V = {\Gamma \over 4 \pi} \int_{-\pi/2}^{\pi/2} {h^2(1 + \tan^2) \theta \over h^3 (1 + \tan^2 \theta)^{3 \over 2}} d \theta = {\Gamma \over 4 \pi h} \int_{-\pi/2}^{\pi/2} {d \theta \over \sqrt{1 + \tan^2 \theta}}
= {\Gamma \over 4 \pi h} \int_{-\pi/2}^{\pi/2} |\cos \theta| d \theta
 =  \frac {\Gamma}{2 \pi h} [9]

avec

  • h la distance entre la particule placée en M et la ligne droite portante.
  •  \ \theta angle du produit vectoriel autrement dit angle entre r et h.


Comme les particules tournent autour de la tige la direction de la vitesse d'entraînement autour de la tige V est tangente au cercle de centre le point le plus proche de la ligne portante et de rayon h.

Si la ligne portante n'est pas de longueur infinie mais semi finie alors :

 V =  \frac {\Gamma}{4 \pi h}

Portance[modifier | modifier le code]

Tige en rotation.

La portance \vec L est la force perpendiculaire au mouvement uniforme d'un fluide suivant la direction  \vec n' exercée par la pression autour d'un volume.

\vec L = \vec F - \vec F \cdot \vec n'

La pression exercée sur une petite surface extérieure du volume est :

d \vec{F} \cdot \vec n = p \, dS

D'autre part dans des conditions particulières (fluide homogène, stationnaire incompressible et sans échange de chaleur), le Théorème de Bernoulli démontre sur une ligne de courant :

 \frac{v^2}{2.g} + z +\frac{p}{\rho.g}  = \mathrm{constante} [10]

où :

p\, est la pression en un point (en Pa ou N/m²)
\rho\, est la masse volumique en un point (en kg/m³)
v\, est la vitesse du fluide en un point (en m/s)
g\, est l'accélération de la pesanteur (en N/kg ou m/s²)
z\, est l'altitude (en m)

en négligeant les variations d'altitude :

 \frac{v^2}{2} +\frac{p}{\rho}  = \mathrm{constante}

d'où

 \frac{v^2 \rho}{2} + \mathrm{constante} = p

Le volume ici est un profil. Il est placé dans un fluide ayant une vitesse uniforme. Pour deux lignes portantes très loin du profil (à l'infini) et avant qu'elles ne soient perturbées par le profil, le fluide étant à vitesse uniforme chaque ligne portante est identique à sa voisine ; cela revient à dire  \ \mathrm{constante} est identique quelle que soit la ligne de courant.

Il suffit d'intégrer sur tout le volume. La constante  \ \mathrm{constante} disparaîtra. Grâce à la relation  V = \frac {\Gamma}{4 \pi h} , les scientifiques Kutta et Jukowski ont démontré que la portance (L) est aussi égale alors à (voir en:Kutta–Joukowski theorem#Formal derivation) :

L = \rho_\infty V_\infty\Gamma_\infty

\ \Gamma_\infty doit vérifier la condition de Jukowski :

\Gamma_\infty = \oint_{C_\infty} \vec{V} \cdot \vec{ds}

avec

  • \ C_\infty un contour qui enveloppe le profil,
  • \ s l'abscisse curviligne le long de ce contour,
  • \ V la vitesse au point s de l'abscisse curviligne.

Le contour choisi est un contour très proche du profil, si proche qu'il est assimilé au profil [11].

\Gamma_\infty = \oint_{extrados+intrados} \vec{V} \cdot \vec{ds}

Pour faire le contour du profil il faut donc parcourir l'extrados et l'intrados.

\Gamma_\infty = \int_{extrados} \vec{V} \cdot \vec{ds} + \int_{intrados} \vec{V} \cdot \vec{ds}

Donc aller du bord d'attaque jusqu'au bord de fuite puis revenir. Dans cette théorie, le profil est ramené à la corde moyenne. Donc  \ s la position sur le bord du profil est confondue à  \ l la position le long de la corde moyenne soit  \ ds = dl. La longueur de la corde moyenne est notée  \ c_l.

d'où

\Gamma_\infty = \int_{0}^{c_l} \vec{V}_{extrados} \cdot \vec{dl} + \int_{c_l}^{0}  \vec{V}_{intrados} \cdot \vec{dl}
\Gamma_\infty = \int_{0}^{c_l} (\vec{V}_{extrados} - \vec{V}_{intrados} ) \; \cdot \vec{dl}

Posons  \ \gamma la différence de vitesse entre l'extrados et l'intrados, alors :

 \ \vec{\gamma} = \vec{V}_{extrados} - \vec{V}_{intrados}

d'où

\Gamma_\infty = \int_{0}^{c_l} \vec{\gamma} \cdot \vec{dl}

d'où

L =\rho_\infty V_\infty \int_{0}^{c_l} \vec{\gamma} \cdot \vec{dl}

Calcul[modifier | modifier le code]

Le cœur de la théorie des profils minces est de réduire le profil à sa corde moyenne où chaque petit morceau de la corde moyenne génère un tourbillon ou vortex qui est modélisée par une ligne portante (la tige infiniment petite en rotation). Chaque petit tourbillon crée une portance.

Le domaine dans lequel est plongé le profil se décompose en deux parties :

  • un écoulement uniforme du fluide avec un angle d'incidence \alpha
  • auquel se rajoute une multitude de tourbillons le long de la corde moyenne.

La corde \ dz(x) crée une distribution de tourbillons \ \gamma (s). Grâce à la condition de Kutta, le tourbillon est nul au bord de fuite, donc intégrable. Comme le profil est considéré comme mince \ l (la position sur la corde) peut être utilisé à la place de \ s (position sur le bord du profil), et les angles sont considérés comme faibles \sin(\theta) = \theta. De plus la cambrure du profil est considérée faible, donc \ x (la position sur la corde) peut être utilisé à la place de \ l (position sur la corde moyenne) et la longueur de la corde est quasi égale à la longueur de la corde moyenne \ c = c_l .

Grâce à la Loi de Biot et Savart et au résultat précédent, une ligne portante infinie droite (ou tourbillon) d'intensité infinitésimale \ \delta \Gamma situé en \ \chi engendre une vitesse  \ dw(x) en \ x .

dw(x) = \frac{\delta \Gamma} {2 \pi h} = \frac{\vec{\gamma} \cdot \vec{d\chi} }  {2 \pi h} = \frac {\gamma (\chi) d\chi}{2 \pi (x-\chi)}

En sommant toutes les lignes portantes le long de la corde moyenne, l'ensemble des tourbillons produit un mouvement du fluide \ w(s) suivant :

w(x) = \frac{1} {2 \pi} \int_{0}^{c} \frac {\gamma (\chi)}{(x-\chi)} d\chi

Comme il n'y a pas de ligne de courant de vitesse perpendiculaire au profil[12], w(x) annule la composante de vitesse perpendiculaire au profil. Le flux est localement tangent au profil soit incliné d'un angle \ \alpha - \tan^{-1}(d z/dx). Comme les angles sont faibles, \ \alpha - \tan^{-1}(d z/dx) \approx \alpha - d z/dx

donc :

V_{\infty} . \sin(\alpha - d z/dx) = w(x) = \frac{1} {2 \pi} \int_{0}^{c} \frac {\gamma (\chi)}{(x-\chi)} d\chi

comme les angles sont faibles :

V_{\infty} . (\alpha - d z/dx) = w(x) = \frac{1} {2 \pi} \int_{0}^{c} \frac {\gamma (\chi)}{(x-\chi)} d\chi (1)

\ \gamma est calculable.

Il faut procéder au changement de variable arbitraire suivant dans l'équation (1) :

\ \chi = c(1 - \cos (\theta ))/2,

avec

  • \ c longueur de la corde du profil. C'est à ce moment qu'est introduite la corde \ c comme élément de référence, élément qui permet la comparaison des performances des profils entre eux. Comme le changement de variable est arbitraire, l'élément de référence pourrait être autre chose mais de par sa simplicité il a été choisi par le monde scientifique.

d'où

\ x =  \frac{c} {2}(1 - \cos (\phi)) ; d\chi =  \frac{c} {2} \sin(\theta ) d\theta

d'où l'équation (1) devient :

\frac{1} {2\pi}   \int_{0}^{\pi} \frac{\gamma(\theta) \sin(\theta) d\theta} {\cos(\theta) - \cos(\phi)}  = V_{\infty} . (\alpha - d z/dx) (2)

Supposons que le profil soit plat, donc  \ d z/dx = 0 . L'équation (2) en \gamma(\theta) devient :

\frac{1} {2\pi}   \int_{0}^{\pi} \frac{\gamma_{plat}(\theta) \sin(\theta) d\theta} {\cos(\theta) - \cos(\phi)}  = V_{\infty} . \alpha

Cette équation en γ doit être satisfaite pour tout φ. On écrit la fonction γ comme une série de Fourier modifiée. On écrit :

 \gamma(\theta) = \sum_{n \in \mathbb{N}} {G_n \cos (n \theta) \over \sin \theta}

On substitue dans l'équation à résoudre et l'on résout donc :

{1 \over 2 \pi} \int_{0}^{\pi} \left(\sum_{n \in \mathbb{N}} {G_n \cos (n \theta) \over \sin \theta} \right)
{\sin(\theta) d\theta \over \cos(\theta) - \cos(\phi)}  = V_{\infty} \alpha

On utilise l'intégrale de Glauert démontrée en annexe qui dit que :

 \int_0^{\pi} {\cos(n \theta) \over \cos \theta - \cos \theta_0} d \theta = \pi \times {\sin(n \theta_0) \over \sin \theta_0}

Donc, l'on résout :

{1 \over 2 \pi} \int_{0}^{\pi} \sum_{n \in \mathbb{N}} G_n \left(\pi {\sin(n \phi) \over \sin \phi}\right) = V_{\infty} \alpha

Comme le membre de gauche doit être constant, on a G_n = 0\ \forall n \ge 2.

Donc,

\gamma_{plat}(\theta) = {G_0 \cos (0 \theta) + G_1 \cos (1 \theta) \over \sin \theta}

\gamma_{plat}(\pi) est finie et donc G_0 = G_1 et G_1 = 2 V_{\infty} \alpha

La solution est donc :

\ \gamma_{plat}(\theta) = 2V_{\infty}\alpha \frac {1+\cos(\theta)}{\sin(\theta)}

La partie \ \alpha de l'équation (2) est résolue, il faut trouver une solution pour la partie \ d z/dx.

\ \gamma(\theta) = \gamma_{plat}(\theta) + \gamma_{d z/dx}(\theta)

d'où

\frac{1} {2\pi}   \int_{0}^{\pi} \frac{(\gamma_{plat}(\theta) + \gamma_{d z/dx}(\theta) ) \sin(\theta) d\theta} {\cos(\theta) - \cos(\phi)}  = V_{\infty} . (\alpha - d z/dx)

d'où

[\frac{1} {2\pi}   \int_{0}^{\pi} \frac{ \gamma_{plat}(\theta) \sin(\theta) d\theta} {\cos(\theta) - \cos(\phi)} - V_{\infty} . \alpha ] + \frac{1} {2\pi}   \int_{0}^{\pi} \frac{\gamma_{d z/dx}(\theta) \sin(\theta) d\theta} {\cos(\theta) - \cos(\phi)}  = V_{\infty} . (- d z/dx)

d'où

 \frac{1} {2\pi}   \int_{0}^{\pi} \frac{\gamma_{d z/dx}(\theta) \sin(\theta) d\theta} {\cos(\theta) - \cos(\phi)}  = V_{\infty} . (- d z/dx)

La fonction \ \gamma_{d z/dx} admet une décomposition en série de Fourier. Donc la fonction \frac{\gamma_{d z/dx}(\theta)} {2V_{\infty}} aussi. La décomposition est :

\frac{\gamma_{d z/dx}(\theta)} {2V_{\infty}} = b_0 + \sum_{n=1}^{\infty} ( a_n . \sin (n w \theta)+  b_n . \cos (n  w \theta))

Glauert a pensé que la solution était plus simple et donc a d'abord essayé de trouver une solution à l'équation (2) avec les simplifications/transformations suivantes sur la décomposition de Fourier :

  • \  b_n = 0
  • \  w = 1  : il faut que la fonction soit définie sur \ [0;\pi] donc \  w = 1 est le plus simple.

et d'inclure la résolution de l'équation pour un profil plat où \ \alpha est remplacé par un coefficient \ A_0 [13].

La décomposition de \ \gamma proposée en espérant qu'elle soit la solution à l'équation (2) est :

\frac{\gamma(\theta)} {2V_{\infty}} = A_0 \frac {1+\cos(\theta)} {\sin(\theta)} + \sum_{n=1}^{\infty}  A_n . \sin (n \theta)

Les coefficients  A_n sont inconnus et à déterminer. S'il est possible de calculer ces coefficients alors la décomposition proposée est bien la solution à l'équation.

d'où en remplaçant \ \gamma par sa série de Fourier dans l'équation (2) :

\frac{1} {\pi}   \int_{0}^{\pi} \frac{(A_0 \frac {1+\cos(\theta)} {\sin(\theta)} + \sum_{n=1}^{\infty}  A_n . \sin (n \theta) ) \sin(\theta) } {\cos(\theta) - \cos(\phi)} d\theta  = \alpha - d z/dx

d'où

\frac{1} {\pi}   \int_{0}^{\pi} \frac{A_0 (1+\cos(\theta))} {\cos(\theta) -\cos(\phi)} d\theta +  \frac{1} {\pi} \int_{0}^{\pi}  \frac { \sum_{n=1}^{\infty}  A_n . \sin (n \theta) \sin(\theta)} {\cos(\theta) - \cos(\phi)} d\theta  = \alpha - d z/dx

d'où

\frac{A_0} {\pi}   \int_{0}^{\pi} \frac{ 1+\cos(\theta)} {\cos(\theta) - \cos(\phi)} d\theta + \frac{1} {\pi}   \sum_{n=1}^{\infty} A_n \int_{0}^{\pi}  \frac { \sin (n \theta) \sin(\theta)} {\cos(\theta) - \cos(\phi)} d\theta  = \alpha - d z/dx

Glauert a remarqué que [14] :

 \int_{0}^{\pi} \frac {\cos(n \theta)} {\cos(\theta) - \cos(\phi)} d\theta = \pi \frac{\sin(n\phi)}{\sin(\phi)} en particulier pour  \ n = 0

Une autre démonstration de cette formule basée sur le théorème des résidus est donnée en annexe.

or  \int_{0}^{\pi} \frac{ 1+\cos(\theta)} {\cos(\theta) - \cos(\phi)} d\theta = \int_{0}^{\pi} \frac{ 1+\cos(\phi) +\cos(\theta) - \cos(\phi)} {\cos(\theta) - \cos(\phi)} d\theta = \int_{0}^{\pi} 1  d\theta  + \int_{0}^{\pi}  \frac{ 1+\cos(\phi)} {\cos(\theta) - \cos(\phi)} d\theta

 = \int_{0}^{\pi} 1  d\theta  + (1+\cos(\phi))\int_{0}^{\pi}  \frac{\cos( 0 \times \theta)} {\cos(\theta) - \cos(\phi)} d\theta = \pi

d'où

A_0 + \frac{1} {\pi}   \sum_{n=1}^{\infty} A_n \int_{0}^{\pi}  \frac { \sin (n \theta) \sin(\theta)} {\cos(\theta) - \cos(\phi)} d\theta  = \alpha - d z/dx

Glauert aussi dans sa démonstration fait remarquer que la trigonométrie démontre que  :

\ 2 \sin (n \theta) \sin (\theta) = \cos ((n-1)\theta) -\cos ((n+1)\theta)

d'où

A_0 + \frac{1} {2\pi}   \sum_{n=1}^{\infty} A_n \int_{0}^{\pi}  \frac {\cos ((n-1)\theta) -\cos ((n+1)\theta)} {\cos(\theta) - \cos(\phi)} d\theta  = \alpha - d z/dx

Glauert remarque de nouveau que :

 \int_{0}^{\pi} \frac {\cos(n \theta)} {\cos(\theta) - \cos(\phi)} d\theta = \pi \frac{\sin(n\phi)}{\sin(\phi)}

Il faut intégrer la somme infinie terme à terme, et après calcul et simplification :

\ \alpha - d z/dx = A_0 - \sum_{n=1}^{\infty} A_n \cos(n\phi)

soit la suite \ g tel que \ g_0 = - 1 et \ g_n = 1 si \ n \ne 0

d'où

\ \alpha - d z/dx = - \sum_{n=0}^{\infty} g_n A_n \cos(n\phi)

L'équation reste toujours valable si elle est multipliée par \ \cos(m\phi) avec m un entier :

\ (\alpha - d z/dx )\cos(m\phi) = -\sum_{n=0}^{\infty} g_n A_n \cos(n\phi) \cos(m\phi)

L'équation reste toujours valable si elle est intégrée sur toute la corde :

\ \int_{0}^{\pi} (\alpha - d z/dx )\cos(m\phi) d\phi = - \int_{0}^{\pi}  \sum_{n=0}^{\infty} g_n A_n \cos(n\phi)\cos(m\phi)d\phi
\ \int_{0}^{\pi} (\alpha - d z/dx )\cos(m\phi) d\phi =   - \sum_{n=0}^{\infty} g_n A_n \int_{0}^{\pi} \cos(n\phi)\cos(m\phi)d\phi

comme

\ \int_{0}^{\pi} \cos(n\phi)\cos(m\phi)d\phi = \pi si \ n= m = 0
\ = \frac{\pi}{2} si \ n= m \ne 0
\ \ = 0 si \ n \ne m

alors :

\ \int_{0}^{\pi} (\alpha - d z/dx ) d\phi = \pi A_0
\ \int_{0}^{\pi} (\alpha - d z/dx )\cos(m\phi) d\phi =  - \frac{\pi A_m}{2} pour \  m \ne 0

alors comme \ \alpha est indépendant de \ \phi les coefficients de la série sont :

  • A_0 = \alpha - \frac {1}{\pi} \int_{0}^{\pi} (d z/dx) . d\theta
  • A_n = \frac {2}{\pi} \int_{0}^{\pi} \cos (n \theta) (d z/dx) . d\theta

d'où :

 {\gamma(\theta)} {dx} = c V_{\infty}\left[ A_0 (1 + \cos(\theta)) + \sum _{n=1}^{\infty} A_n .\sin(n \theta) \sin (\theta)\right]d\theta

Cette méthode est nommée transformation de Glauert.

Grâce au Théorème de Kutta-Jukowski, la portance totale est :

 L = \rho V_{\infty} \int_{0}^{c} \gamma (x). dx

d'où

 L = \rho V_{\infty} \int_{0}^{\pi} c V_{\infty}\left[ A_0 (1 + \cos(\theta)) + \sum _{n=1}^{\infty} A_n .\sin(n \theta) \sin (\theta)\right]d\theta

d'où

 L = \pi c \rho {V_{\infty}}^2 (A_0 + \frac {1} {2} A_1)

La littérature préfère définir des coefficients adimensionnels[15] soit pour la portance \ C_L :

 L =  \frac {1}{2} c \rho {V_{\infty}}^2 C_L

et le moment M du profil au bord d'attaque est :

M = \rho V \int_{0}^{c} x.\gamma (x) . dx

de même :

M = \frac {1}{2} c^2 \rho {V_{\infty}}^2 C_M

Le calcul du coefficient de portance dépend uniquement des deux premiers termes de la décomposition en série de Fourier, soit :

 \ C_L = 2 \pi (A_0 + A_1/2)

Le moment M du profil au bord d'attaque dépend uniquement de A_0, \ A_1 et \ A_2 :

 \ C_M(0) = - 0,5 \pi (A_0+A_1-A_2/2)

Le moment à un quart de la corde est :

 \ C_M(1/4c) = - \pi /4 (A_1 - A_2) .

On en déduit que :

 \ \Delta x /c = \pi /4 ((A_1-A_2)/C_L)

Le point où le moment dû au centre de poussée est indépendant de l'incidence est défini comme :

 \frac { \partial (C_{M}) }{ \partial (C_L)} = 0

Exemple NACA4412[modifier | modifier le code]

Profil[modifier | modifier le code]

La ligne de la corde moyenne est définie par la fonction suivante [16],[17] :

 \frac{y}{c}= 0,25 \left(0,8 \times \frac{x}{c} - \left(\frac{x}{c}\right)^2\right) pour  \frac{x}{c} compris entre 0 et 0,4

 \frac{y}{c}= 0,111 \left(0,2 + 0,8 \times \frac{x}{c} - \left(\frac{x}{c}\right)^2\right)   pour  \frac{x}{c} compris entre 0,4 et c

Calcul des coefficients[modifier | modifier le code]

D’après la théorie des profils minces, le coefficient de portance autour du profil mince est :


 \ C_L = 2 \pi (A_0 + A_1/2)= 2 \pi \left(\alpha - \frac {1}{\pi} \int_{0}^{\pi} (dy/dx) . d\theta + \frac{\frac {2}{\pi} \int_{0}^{\pi} \cos (\theta) (dy/dx) . d\theta }{2}\right)

le terme intégral tient compte des effets de cambrure du profil

la variable auxiliaire \theta est liée à la position le long de la corde du profil par la transformation de Glauert : \ x = c(1 - \cos (\theta ))/2

d'où en regroupant les termes :

 \ C_L = 2 \pi \left(\alpha + \frac {1}{\pi} \int_{0}^{\pi} \frac {dy}{dx}  (\cos (\theta )- 1 ). d\theta\right)

Il faut calculer  \frac {dy}{dx} pour résoudre l'intégrale :

 \frac {dy}{dx}= 0,2 - 0,5 \times \frac{x}{c} pour  \frac{x}{c} compris entre 0 et 0,4

 \frac {dy}{dx}= 0,0888 + 0,2222 \times \frac{x}{c}   pour  \frac{x}{c} compris entre 0,4 et c

d'où en remplaçant par \theta :

 \frac {dy}{dx}= - 0,05 + 0,2 \times \cos (\theta) pour \theta compris entre 0 et 1,3694

 \frac {dy}{dx}= -0,0223 + 0,1111 \times \cos (\theta) pour  \theta compris entre 1,3694 et  \pi

L’intégrale est donc entièrement calculable :

 \ C_L = 2 \pi [\alpha + \frac {1}{\pi} ( \int_{0}^{1,3694} (- 0,05 + 0,2 \times \cos (\theta))  (\cos (\theta )- 1 ). d\theta+ \int_{1,3694}^{\pi} (-0,0223 + 0,1111 \times \cos (\theta))  (\cos (\theta )- 1 ). d\theta)]

d'où le résultat :

 \ C_L = 2 \pi (\alpha +0,0726)

avec  \alpha en radian.

Calcul de la portance[modifier | modifier le code]

L'équation de la portance pour un profil NACA 4412 à faible incidence est :

F = \frac12 \times \rho \times S \times C_L \times V^2= \frac12 \times \rho \times S \times 2 \pi (\alpha +0,0726) \times V^2

F = la force transmise à tout le profil en newtons
\rho (rhô) = masse volumique du fluide (\rho varie avec la température et la pression) ;
S = surface de référence ; c'est la surface du profil en mètres carrés
C_L = coefficient aérodynamique
V = Vitesse de déplacement soit la vitesse du fluide à l'infini en mètres par seconde.

La théorie appliquée en trois dimensions : traînée induite[modifier | modifier le code]

Origine de la traînée induite[modifier | modifier le code]

Les vortex de bout d'aile sont ici bien visibles. Image issue d'études de la NASA.


La théorie des profils mince peut être judicieusement appliquée pour un profil en trois dimensions. La théorie en 3d explique très bien le phénomène de traînée induite et permet de le calculer.

D'un point de vue physique, lorsque le profil se déplace, l'extrados est en dépression, l'intrados est en pression. Aux extrémités du profil, la dépression est en contact avec la pression. Naturellement les molécules d'air comprimées (beaucoup de chocs et fréquent) vont se précipiter dans la zone en dépression (peu de chocs et moins fréquent). La conséquence est que la zone en dépression a plus de molécules d'air que prévu donc la dépression est moins forte (plus de pression que prévu). De même la zone en pression a moins de molécules d'air que prévu donc la pression est moins forte. La portance est moindre.

La distance entre l'intrados et l'extrados aux extrémités d'un profil de longueur finie est très faible, une zone de pression aussi proche d'une zone de dépression, le mouvement de transfert des molécules d'une face à l'autre du profil est très violent. Cela crée des turbulences importantes. Sur un profil, le bord de fuite et l'extrémité du profil sont les deux zones ou ce phénomène existe. Le cas bord de fuite est inclus dans le modèle de l'aile. La théorie remplace l'aile par un jeu de lignes portantes le long de la corde moyenne (appelé aussi modèle squelettique). Lorsque l'incidence est faible l'écoulement reste laminaire donc sans turbulence, les turbulences ou vortex apparaissent sous forte incidences. Ces turbulences ont pour origine la rupture de mode laminaire dû à la viscosité, et ces vortex sont in-stationnaires. En fait comme la théorie néglige ces aspects in-stationnaires et visqueux, cet effet est négligé. La théorie reste valable sous faible incidence. Plus précisément le modèle squelettique censé représenter l'effet viscosité est imparfait. Cela est dû au fait que l'influence de la viscosité est seulement modélisé dans l'interaction profil/fluide. Or la viscosité existe aussi entre fluide/fluide, si la viscosité fluide/fluide est sans effet à faible incidence ce n'est pas le cas à forte incidence, elle est significative. Dans ces cas il faut utiliser directement les Équations de Navier-Stokes.


rotation de \ \varepsilon de la portance (lift) engendrant de la trainée induite (induced drag).


Par contre l'extrémité du profil elle n'est pas modélisée. Le phénomène est visible en bout de profil quand celui-ci est rectangulaire. Mais souvent le profil (aile, voile, safran...) est de forme plus complexe, donc le phénomène bout de profil est réparti aussi sur le bord de fuite. Le tourbillon d'extrémité d'aile est tout simplement modélisé par un jeu de lignes portantes semi-infinies dirigées vers l'arrière. Ce jeu de nouvelles lignes portantes court le long du bord de fuite et se densifie vers l'extrémité du profil. Son intensité sera à calculer. Comme ces vortex d'extrémité sont en fait le résultat de l'envergure finie du profil, la modélisation du profil en 3D non infinie (appelée aussi sa modélisation squelettique) est modélisé par deux ensembles de lignes portantes :

  • un ensemble de lignes portantes (segment) \ \gamma_{aile} le long de la corde moyenne comme en 2D, mais tronqué des deux côtés
  • un ensemble de lignes portantes semi infinies \ \gamma_{sillage} dirigées horizontalement vers l'arrière.


Cette nouvelle ligne portante (ou tourbillon de bout de profil) a un impact majeur, elle modifie l'angle apparent \ \alpha - \tan^{-1}(dy/dx) utilisé pour le calcul en deux dimensions. La force par conséquence n'est plus orientée que vers le haut mais un peu vers l'arrière (dans le sens du mouvement du fluide). Cela consomme de l'énergie. Cette composante opposée au mouvement du fluide est donc de la traînée. Cette traînée est appelée traînée induite. De même la portance est un peu plus faible que prévu par la théorie en 2D.

Calculs[modifier | modifier le code]

Rotation de la portance[modifier | modifier le code]

Le vortex de bout de profil (1) engendre la vitesse (2) \ W_{ind}. Le vent réel \ V (4) est la somme de (3) \ V_{\infty} et (2) \ W_{ind}. L'angle entre (3) et (4) est \ \varepsilon . La portance (5) \ F est leurrée et elle bascule. Elle se décompose en portance (6) \ L et traînée induite (7) \ D.

Pour des formes très tourmentées il est difficile de déterminer un repère orthonormale logique. Dans notre cas le profil est mince et a une envergure notable, le repère orthonormé (x,y,z) est alors défini comme suit :

  • l'envergure du profil définit l'axe y, elle s'étend de \ -\frac{b}{2} à \ +\frac{b}{2} ,
  • \ V_{\infty} est perpendiculaire à y il définit l'axe x et donc peut avoir un angle \ \varepsilon avec la corde du profil.
  • le dernier axe z est perpendiculaire aux deux autres. Avec \ \varepsilon =0 alors l'épaisseur du profil est confondue avec l'axe z perpendiculaire à la corde. Par simplicité, \ V_{\infty} et l'axe y sont positionnés de façon à ce que l'axe z soit l'axe vertical.

L'épaisseur et la corde gardent les mêmes axes si le profil n'est pas vrillé.

L'angle réel est la somme de l'angle 2D \ \alpha - \tan^{-1}(dy/dx) plus l'angle induit par les vortex de bout de profil \ 	\varepsilon = \tan^{-1}\left( \frac {W_{ind}} {V}\right)  \approx \frac  {W_{ind}} {V}\ W_{ind} est la somme des vitesses de l'ensemble des vortex de bout de profil (les parties de la ligne portante vers l'arrière). Le vent à l'infini \ V_{\infty} à l'approche du profil a légèrement pivoté de l'angle \ \varepsilon . Donc la vitesse \ W_{ind} fait aussi basculer la portance vers l'arrière du même angle \ \varepsilon . La portance est leurrée par cette vitesse induite \ W_{ind} et elle n'est plus totalement verticale, le terme portance est donc impropre il ne faut plus parler de portance mais d'un effort \ F qui se décompose en une portance réelle \ L = F \cos(\varepsilon) et une traînée \ D= F \sin(\varepsilon). Comme les angles sont faibles \ D \approx L \varepsilon et \ L \approx F.


Le profil de dimension finie à une envergure de \ b, \ W_{ind}(y) est calculé en intégrant tous les vortex (ligne portante semi finie) de bout de profil de \frac {-b} {2} à \ \frac {+b} {2} à la position y le long l'envergure du profil [18].


Une ligne semi portante infinie droite (ou tourbillon) d'intensité \ \Gamma situé en y_0 engendre une vitesse  \ dw(y,y_0) en \ y .

dw(y,y_0) = \frac{\delta \Gamma(y)} {4 \pi h} = \frac{\vec{\gamma} \cdot d\vec{\eta} }  {4 \pi h} = \frac {\gamma (y) d y}{4 \pi (y - y_0)}

En sommant toutes les lignes semi portantes le long de l'envergure 'y', l'ensemble des tourbillons produit un mouvement du fluide \ W_{ind}(y). Si le profil n'est pas trop vrillé, la distance h du tourbillon au lieu z et proche de \ h \approx y-y_0 donc l'équation est :

W_{ind}(y_0) = \int_{-b/2}^{b/2}  d w(y,y_0)= \frac{1} {4 \pi} \int_{-\frac{b}{2} }^{+\frac{b}{2}} \frac {\gamma_{sillage} (y_0)}{(y - y_0)} d y

Le vent \ V arrivant sur le profil est donc la somme de \ W_{ind} et \ V_{\infty} Soit \ V  = \sqrt{W_{ind}^2 + V_{\infty}^2}

si \ W_{ind} est petit devant \ V_{\infty} alors : \ V  =  V_{\infty}

Équation intégro-différentielle de Prandtl[modifier | modifier le code]

Pour l'instant, les deux jeux de ligne portante étaient indépendants, or d'un point de vue physique, ils sont liés. Pour une même envergure, il est facile de comprendre que plus la surface du profil est grande plus les vortex de sillage sont importants [19].

\Gamma = \int \vec{\gamma} \cdot \vec{ds}

d'où

\ \Gamma_{aile}(y_0 + \delta y ) = \Gamma_{aile}(y_0) + \gamma_{aile}(y_0)\delta y \approx \Gamma_{aile}(y_0) + \frac{d\Gamma_{aile}(y_0)}{d y} \delta y

d'où

\ \gamma_{aile}(y_0)  \approx \frac{d\Gamma_{aile}(y_0)}{d y}

\ \delta y est un nombre infiniment petit.

Le long du profil, chaque petite augmentation de circulation augmente un petit peu la portance, donc la différence de pression intrados extrados augmente un petit peu donc l'effet \ W_{ind} augmente un petit peu. Prandtl a envisagé deux solutions :

  • une solution de distribution discrète des vortex de sillage où les lignes portantes sont en forme de fer à cheval : une ligne portante vient de \ -\infty rentre dans le profil puis ressort et repart vers \ -\infty,
  • sa version continue où chaque petit bout de sillage annule l'effet d'accroissement de portance.

La version discrète a été invalidée, par contre les résultats de la deuxième version sont en adéquation avec la réalité.

Donc le vortex de sillage doit être égal à l'ajout de circulation sur l'aile. C'est-à-dire pour un morceau infinitésimal \ d y de profil situé en \ y_0 ou sur le profil \  \gamma_{aile}(y_0), et dans le sillage juste derrière lui \ \gamma_{sillage}, il y a égalité entre \ \gamma_{sillage} =  \gamma_{aile}(y_0) = \frac{d\Gamma_{aile}(y_0)}{d y} .


Prandtl utilise le résultat de calcul déjà réalisé en 2D. Cette utilisation de formule localement reste valable si l'envergure est relativement grande par rapport à la corde, c'est-à-dire que \ W_{ind} est petit devant \ V_{\infty} et bien vertical et que le profil n'est pas trop incliné vers l'arrière (si la flèche d'une aile est forte alors le vent arrive sur côté du profil et non plus de face). Considérons une petite tranche de profil, les résultats de la théorie en deux dimensions s'appliquent pour ce petit morceau de largeur \ d y donc \ dF est :

\ dF =  \rho V_{\infty} \Gamma_{aile}(y_0) d y = \frac{1}{2}  \rho V_{\infty} c(y) C_L d y

et localement le coefficient \ C_L portance est :

\ C_L = \frac{dC_{L_{2D}} }{d\alpha_{effectif}} (\alpha_{effectif} + \alpha_0) .

avec

  • \ \alpha_{effectif} = \alpha + \varepsilon + \Phi
  • \ \alpha_0 angle auquel le profil a une portance nulle.
  • \ \Phi l'angle de vrillage du profil, il varie suivant l'axe y. Par définition, \ \Phi(0) = 0 .

d'où

\ d\alpha_{effectif} = d\alpha

d'où

\ \Gamma_{aile}(y_0) =  \frac{1}{2}\frac{dC_{L_{2D}} }{d\alpha} c(y) V_{\infty} (\alpha_{effectif} + \alpha_0(y) +\Phi(y) )
\ \frac{dC_{L_{2D}} }{d\alpha} est indépendant de \ \alpha, pour alléger on pose  :
\ \frac{dC_{L_{2D}} }{d\alpha} = a_0(y)

Si le type de profil est unique suivant la corde \ a_0(y) = constante, c'est-à-dire qu'un seul type de profil (NACA0012 par exemple) est utilisé mais sa corde varie suivant l'axe y. Idem pour \ \alpha_0(y), il dépend de y mais il est constant si le type de profil est unique suivant la corde. Si le profil n'est pas vrillé alors : \ \Phi(y) = 0 .

De plus le moment de cette section est nul à un quart du bord d'attaque.

L'idée est de remplacer le jeu de ligne portante du profil \ \gamma_{aile} par une seule ligne portante courbe placée à un quart du bord d'attaque dont l'intensité évolue le long de l'envergure selon \ 2 \Gamma_{aile}(z_0) = a_0(y) c(y) V_{\infty} (\alpha_{effectif} + \alpha_0). Comme le sillage est composé de lignes semi infinies, l'orientation de \ W_{ind} reste parfaitement verticale. Si la courbure de cette ligne portante n'est pas trop prononcée, l'abscisse curviligne le long de la ligne courbée peut être confondue à l'axe z [20], donc la courbure est négligée.


\ 2 \Gamma_{aile}(y_0) = a_0(y_0) c(y) V_{\infty} \left(\alpha + \varepsilon + \alpha_0(y_0) + \Phi(y_0)\right)

d'où

\ 2 \Gamma_{aile}(y_0) = a_0(y_0) c(y_0) V_{\infty} \left(\alpha + \frac {W_{ind}} {V_{\infty}} + \alpha_0(y_0) + \Phi(y_0)\right)

d'où

\ 2 \Gamma_{aile}(y_0) = a_0(y_0) c(y) V_{\infty} \left(\alpha -
{{1 \over 4 \pi} \int_{-\frac{b}{2} }^{+\frac{b}{2}} {\gamma_{sillage} (\zeta) \over y_0-y} d y \over V_{\infty}} + \alpha_0(y_0) + \Phi(y_0)\right)

d'où

\ 2 \Gamma_{aile}(y_0) = a_0(y_0) c(y_0) V_{\infty} \left(\alpha - {1 \over 4 \pi V_{\infty}}
\int_{-\frac{b}{2} }^{+\frac{b}{2}} { {d\Gamma_{aile} \over dy}(y) \over y_0-y} d y
+ \alpha_0(y) + \Phi(y)\right)

Dans cette équation, Γ se retrouve dans le terme de gauche et le terme de droite. Cette équation est nommée équation intégro-différentielle de Prandtl [21].

Calcul des coefficients de portance et de trainée[modifier | modifier le code]

Soit le changement de variable suivant :

\ y_0 = - \frac{b}{2} \cos(\theta)

et supposons que la solution de \ \Gamma_{aile} est une série de Fourier suivante :

\ \Gamma_{aile}(\theta) =2 b V_{\infty} \sum_{n=1}^{\infty} A_n \sin(n\theta)

Attention, il ne faut pas confondre ces \ A_n ici en trois dimensions avec ceux en deux dimensions. Bien que la littérature utilise la même notation, ils sont différents.

Le bout de profil infinitésimal de largeur \ d y apporte une portance \ l, il faut sommer toutes les portances infinitésimales pour avoir la portance du profil. Pour le bout de profil infinitésimal de largeur \ d y , le Théorème de Kutta-Jukowski donne :

\ l = \rho V_{\infty} \Gamma = \rho  V_{\infty} \frac{1}{2}\frac{dC_{L_{2D}} }{d\alpha} c(y) V_{\infty} (\alpha_{effectif} + \alpha_0(y) +\Phi(y) )

d'où

\ L = \int_{-\frac{b}{2} }^{+\frac{b}{2}} l .d y = \frac{1}{2} \rho {V_{\infty}}^2 \int_{-\frac{b}{2} }^{+\frac{b}{2}}  a_0(y) c(y)(\alpha_{effectif} + \alpha_0(y) +\Phi(y) ) d y= \rho V_{\infty} \int_{-\frac{b}{2} }^{+\frac{b}{2}} \Gamma d y

Idem pour la trainée induite \ d_p sachant que :

\ d_p \approx l \sin(\varepsilon ) \approx l \varepsilon  et \ D = \int_{-\frac{b}{2} }^{+\frac{b}{2}} d_p .d y

La littérature pour la portance et la traînée préfère utiliser des équations avec des coefficients adimensionnels. Les formules sont :

\ L = \frac {1}{2} S \rho {V_{\infty}}^2 C_L et \ D = \frac {1}{2} S \rho {V_{\infty}}^2 C_i

avec

\ C_L = \frac{2}{S V_{\infty}} \int_{-\frac{b}{2} }^{+\frac{b}{2}} \Gamma d y et \ C_i = \frac{2}{S V_{\infty}} \int_{-\frac{b}{2} }^{+\frac{b}{2}} \Gamma .\varepsilon d y

On rappelle que \varepsilon = W_i/V_{\infty}. Il peut être établi que[22]:

d W_i = {d \Gamma \over 4 \pi r}

et donc,

W_i = \int_{-b/2}^{b/2} {d \Gamma \over 4 \pi r}

On a:

d \Gamma = 2 b V_{\infty} \sum_{n \ge 1} n A_n \cos (n \theta) d \theta .

On obtient donc:

\varepsilon(\phi) = {2 b \over 4 \pi} \sum_{n \ge 1} \int_0^{\pi} n A_n
{\cos (n \theta) \over b/2 ( \cos \theta - \cos \phi)} d \theta

On rappelle que

 \int_{0}^{\pi} \frac {\cos(n \theta)} {\cos(\theta) - \cos(\phi)} d\theta = \pi \frac{\sin(n\phi)}  
{\sin(\phi)}

On obtient donc

 \varepsilon(\theta) = \sum_{n\ge 1} n A_n {\sin (n \theta) \over \sin \theta}

On rappelle que

C_i = {2 \over S V_{\infty} } \int_0^{\pi} \Gamma(\theta) \epsilon(\theta) {b \over 2} \sin \theta d \theta

Donc,

C_i = - {2 \over S V_{\infty} } \sum_{n \ge 1} \sum_{m \ge 1}
\int_0^{\pi} 2 b V_{\infty} {b \over 2} A_n \sin(n \theta) \times \pi m A_m {\sin (m \theta) \over \sin \theta} \sin \theta d \theta

Donc,

C_i = - {2 b^2 \over S} \sum_{n \ge 1} \sum_{m \ge 1}
\int_0^{\pi} A_n \sin(n \theta) \times \pi m A_m {\sin (m \theta) \over \sin \theta} \sin \theta d \theta

Donc,

C_i = - {2 b^2 \pi \over S } {1 \over 2} \sum_{n \ge 1} \sum_{m \ge 1} 
\int_0^{\pi} A_n A_m m [\cos((n+m) \theta) - \cos ((n-m) \theta)] d \theta

Si  n \ne m, l'intégrale est nulle. Donc,

C_i = - {\pi b^2 \over S } \sum_{n \ge 1}  
\int_0^{\pi} n A_n^2 [\cos(2n \theta) - \cos (0 \theta)] d \theta

Le premier terme est nul et donc,

C_i = {\pi b^2 \over S }  \sum_{n \ge 1} n A_n^2

Résolution de l'équation intégro-differentielle de Prandtl[modifier | modifier le code]

Avec la décomposition de Fourier de la circulation, les formules deviennent plus simples et sont :

\ C_L = \pi \lambda A_1 et  C_i = \pi \lambda \sum_{n=1}^{\infty} n A_n^2 [22]

avec

\ \lambda  : allongement (sans dimension) \ \lambda = {b^2 \over S}b est l'envergure du profil, S la surface caractéristique,
\ S = \int_{-\frac{b}{2} }^{+\frac{b}{2}}c(y)d y,

De même qu'en 2D il est choisi un élément caractéristique pour pouvoir comparer les profils entre eux, ici en 3D une surface. La surface de la corde du profil est choisie pour former les coefficients adimensionnels 3D \ C_L  et \ C_i  . Ce choix reste purement arbitraire mais il a été adopté car il reste très pratique d'utilisation.

Après remplacement de la circulation par sa série de Fourier dans l'équation intégro-différentielle de Prandtl, il est obtenu :

\ \sum_{n=1}^{\infty} A_n \sin(n\theta)\left(\sin(\theta)+ \frac{n a_0(y) c(y)}{4b}\right)= \frac{a_0(y) c(y) }{4b} \sin (\theta)(\alpha+\alpha_0(y)+ \Phi(y)) (1)

L'équation n'est pas encore soluble :

  • L'envergure \ c(y) dépend de y,
  • La portance locale \  a_0(y) dépend de y,
  • Le vrillage \  \Phi(y) dépend de y
  • L'angle de portance nulle \ \alpha_0(y) dépend de y

La forme du profil est connue donc les fonctions de la corde et du vrillage sont connues. De même par calcul en appliquant la théorie en 2D à chaque petite section dy de profil, les fonctions suivantes la portance locale \  a_0(y) et l'angle de portance nulle \ \alpha_0(y) qui dépendent de y sont calculables donc connues.


Il reste comme inconnue : les \ A_n


Il apparait alors que les coefficients \ A_n sont une solution d’un système linéaire infini qui peut être composé en trois sous-systèmes indépendants. Il est posé : \ G(\theta) =  \frac{a_0(\theta)}{4b} c(\theta) et \ F_n(\theta)= \sin(n\theta) \left(1+n\frac{G(\theta) }{\sin(\theta)} \right)

Les sous systèmes sont :

  • équation de la portance locale \ \sum_{n=1}^{\infty} a_n F_n(\theta)= G(\theta)
  • équation du vrillage \ \sum_{n=1}^{\infty} B_n F_n(\theta)= G(\theta)\Phi(\theta)
  • équation de l'angle de portance nulle \ \sum_{n=1}^{\infty} C_n F_n(\theta)= G(\theta)\alpha_0(\theta)

Et la solution complète est

\ A_n = \alpha a_n + B_n + C_n

Chaque sous-système ne dépend que de la forme du profil donc est soluble. Donc l'équation (1) est soluble. Une fois tous les \ a_n \  B_n et \ C_n calculés, les \ A_n sont calculés, la circulation peut être alors calculée et donc la portance et la traînée aussi.

Dans le cas d'un plan de forme elliptique, les équations de chaque \ A_n sont faciles à déterminer, par contre quand le plan de forme est non elliptique établir une équation pour chaque \ A_n est difficile. Sachant que l'effet de \ n est issue d'une série de fourrier, \ n représente le niveau de précision du résultat. Donc dans la pratique la somme infinie est tronquée, il n'est pris que X termes \ A_n. La série est limitée à \ \sum_{n=1}^{X} A_n . Chaque \ A_n représente un point du plan de forme. Donc en positionnant les \ A_n judicieusement sur le plan de forme c'est-à-dire en posant \ \theta_n= \frac{k \pi}{X+1} avec \ k= 1,2,3, .... , X, les équations de chaque \ A_n sont alors bien plus simples à obtenir et à calculer [23]. Il est obtenu un ensemble fini d'équations linéaires qu'il faut résoudre via des méthodes comme le pivot de Gauss, la détermination de matrice inverse.

Il est à remarquer que si le profil est symétrique, (cas d'un avion ou les ailes sont symétriques l'une de l'autre) les coefficients \ A_n d'indice pair sont nuls. Ce n'est pas le cas d'une voile qui est généralement triangulaire.

Résultats pratiques[modifier | modifier le code]

Il existe des résultats remarquables pour la portance et la traînée [24]:

Résultat pour la traînée induite[modifier | modifier le code]

En tronquant la série de Fourier exprimant C_i, on peut écrire en première approximation:

C_i \approx \pi \lambda A_1^2 .

On rappelle que

C_L = \pi \lambda A_1 .

On obtient donc en première approximation :

C_i \approx \pi \lambda \left({C_L \over \pi \lambda}\right)^2 = {C_L^2 \over \pi \lambda}

On introduit alors un coefficient e et l'on exprime la trainée induite comme suit :

C_i = \frac {{C_L}^2} {\pi \times \lambda \times e} [25]

avec

  • \ C_L  : coefficient de portance du profil en 3D
  • \ \pi : pi ou 3.1416
  • \ \lambda  : allongement (sans dimension) \ \lambda = {b^2 \over S} avec b est l'envergure du profil, S la surface caractéristique du profil.
  • \ e  : coefficient d'Oswald
  • \ S = \int_{-\frac{b}{2} }^{+\frac{b}{2}}c(y)dz, S la surface caractéristique (\ S= c \times b dans le cas rectangulaire) du profil.

Pour compléter, le calcul du coefficient d'Oswald, il est peu abordé par la littérature. Les formules ne sont pas toutes écrites avec le coefficient d'Oswald, il existe aussi une autre notation, \ \delta appelé en anglais form factor :

C_i =  \frac {C_L^2}  {\pi \times \lambda \times e} =  \frac  {C_L^2}   {\pi \times \lambda } (1+ \delta)

Via la décomposition de fourrier \ \delta =  \sum_{n=2}^{\infty} n (A_n/A_1)^2

La mathématique démontre aussi que  \ e peut être calculé non pas via une série de Fourier mais via un calcul intégral [26]. Il est possible de calculer cette traînée via l'approche découverte par le physicien Trefftz [27], bien que décrivant la même réalité physique les résultats formels (notations) sont différents. Cette différence (de notation) est due au faite que les intégrales ne sont pas du même type que les intégrales classiques au sens de Lebesgue.

Résultat pour la portance[modifier | modifier le code]

Pour la portance, elle est égal à \ C_L = \pi \lambda A_1 or \ A_1 = \alpha a_1 + B_1 + C_1

donc la portance a la forme générale suivante :

\ C_L = C_{L_{3D}}(\alpha + \alpha_{0_{3D}} )


La question est de savoir s'il existe des relations simples entre les coefficients \ C_{L_{3D}}, \ \alpha_{0_{3D}} 3D et leurs homologues \ C_{L_{2D}}, \ \alpha_{0_{2D}} 2D.


Supposons que l'aile soit elliptique, sans vrillage, et d'un seul profil, c'est-à-dire que le plan de forme du profil soit elliptique et le profil identique suivant la corde \ a_0(y) = constante et \ \phi = 0. Il faut résoudre l'équation :

\ \sum_{n=1}^{\infty} A_n \sin(n\theta)\left(\sin(\theta)+ \frac{n a_0 c(y)}{4b}\right)= \frac{a_0 c(y) }{4b} \sin (\theta)(\alpha+\alpha_0)

Pour une ellipse de grand rayon b/2 et de petit rayon c(0)/2, on obtient :

\ c(y) = c_0 \sqrt{1-4 \left({y \over b}\right)^2}= c_0 \sin \theta.
\ c_0 une constante qui correspond à la longueur de la corde à y=0.

On remplace et l'on obtient donc :

\ \sum_{n=1}^{\infty} A_n \sin(n\theta)\left(\sin(\theta)+ {n a_0 c_0 \sin \theta \over 4 b}\right) = {a_0 c_0 \sin \theta \over 4b} \sin \theta(\alpha+\alpha_0)

On peut alors diviser par \sin \theta et donc :

\ \sum_{n=1}^{\infty} A_n \sin(n\theta)\left(1 + {n a_0 c_0 \over 4 b}\right) = {a_0 c_0 \sin \theta \over 4b} (\alpha+\alpha_0)

On obtient alors les résultats remarquables suivants [28] , [29] , [22]:

\  A_1 \ne 0 et \ \forall n > 1 , A_n = 0 donc \  e = 1
\ \alpha_{0_{3D}} = \alpha_{0_{2D}}
\ C_{L_{3D}} =  C_{L_{2D}} \times {{\lambda } \over {\lambda + 2}}

avec

  • \ \lambda  : allongement (sans dimension) \lambda = {b^2 \over S} avec b est l'envergure du profil, S la surface caractéristique du profil définie par \ S = \int_{-\frac{b}{2} }^{+\frac{b}{2}}c(y)d y.
  • \ C_{L_{2D}} coefficient de portance calculé par la théorie avec un profil d'allongement infinie (cas 2D).
  • \ \alpha_{0_{2D}} angle de portance nulle, calculé par la théorie avec un profil d'allongement infinie (cas 2D)

Ces relations remarquables sur \ C_L et \ \alpha_0 sont aussi utilisées pour des profils non elliptiques. Dans la pratique les plans de forme de profil (aile, voile foil, safran...) sont rectangulaire, trapézoïdale, triangulaire ou des formes intermédiaires à celle précédemment citée et l'ellipse. De plus ces plans de forme sont naturellement relativement allongé pour optimiser les performances. La forme est peu différente d'un plan de forme elliptique, le coefficient d'Oswald est donc assez proche de 1 pour ces formes [30] , [31],[32]. En conséquence, les résultats exactes pour chacune des formes restent proches du cas elliptique. Bien que la méthode soit inexacte, dans la pratique l'erreur faite est acceptable, les coefficients 3D sont calculés grâce au coefficients 2D, grâce aux relations :

\  \alpha_{0_{3D}} = \alpha_{0_{2D}}
\ C_{L_{3D}} =  C_{L_{2D}} \times {{\lambda } \over {\lambda + 2}} = 2 \pi \times {{\lambda } \over {\lambda + 2}}

L'erreur est d'autant plus acceptable compte tenu de la difficulté à calculer les \ A_n dans le cas d'un plan de forme non elliptique.

Il est à noter que dans la littérature il est rajouté dans les formules un facteur corrigeant la compressibilité de l'air. Dans le cas de vitesse de fluide très éloignées du Mach, le facteur correctif du Nombre de Mach est approximé à 1 [33].

Toutes les formules sont exprimées en unités SI : radian, mètre, newton...

Annexe : Calcul de l'intégrale de Glauert[modifier | modifier le code]

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. Abbott, Ira H., and Von Doenhoff, Albert E. (1959), Theory of Wing Sections, Section 4.2, Dover Publications Inc., New York, Standard Book Number 486-60586-8
  2. Abbott, Ira H., and Von Doenhoff, Albert E. (1959), Theory of Wing Sections, Section 4.3
  3. Clancy, L.J. (1975), Aerodynamics, Sections 8.1 to 8.8, Pitman Publishing Limited, London. ISBN 0 273 01120 0
  4. Aerospaceweb's information on Thin Airfoil Theory
  5. [1]
  6. [2]
  7. [3] document ou cette théorie est citée
  8. http://air-et-terre.info/aerodyn_theorique/general_3D.pdf
  9. http://sin-web.paris.ensam.fr/IMG/pdf/Ch3_Aile_Finie.pdf
  10. Bruhat, G., Mécanique, 6ème édition, Masson, 1967
  11. c'est-à-dire qu'il est considéré qu'il n'y a pas de couche limite
  12. En réalité, il y a deux lignes de courant qui sont perpendiculaires au profil. Ces deux lignes partent des deux points d'arrêt du profil. Or, on considère les vortex aux points d'arrêt comme nuls (condition de Kutta). Donc ils n'interviennent pas dans le calcul car de valeur nulle
  13. voir page 71 ou Glauert 1926, p. 88; Abbott and von Doenhoff 1959, p. 66; Milne-Thomson 1973, p. 141; Moran 2003, p. 95
  14. démonstration
  15. page 140 du livre
  16. http://en.wikipedia.org/wiki/NACA_airfoil
  17. http://www.aerospaceweb.org/question/airfoils/q0041.shtml
  18. [4]
  19. schéma de répartition de la circulation
  20. page 37 résolution en cas de forte courbure
  21. page 176 du livre
  22. a, b et c (en)« Prandtl Lifting Line Theory (for 3-D wings) » (consulté le 23 juillet 2013)
  23. voir chapitre 15
  24. [5]
  25. Induced Drag Coefficient
  26. voir (3.2.1) page 38
  27. [6]
  28. Portance aerodynamics
  29. Portance
  30. voir §2.3
  31. [7]
  32. naca-report-312
  33. [8]

Annexes[modifier | modifier le code]

Articles connexes[modifier | modifier le code]

Liens externes[modifier | modifier le code]