Théorie des écoulements à potentiel de vitesse

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En mécanique des fluides, la théorie des écoulements à potentiel de vitesse est une théorie des écoulements de fluide où la viscosité est négligée. Elle est très employée en hydrodynamique.

La théorie se propose de résoudre les équations de Navier-Stokes dans les conditions suivantes:

  • le fluide est stationnaire
  • le fluide n'est pas visqueux
  • il n'y a pas d'action externe (flux de chaleur, électromagnétisme, gravité ...)

Équations[modifier | modifier le code]

La formulation différentielle des équations de Navier-Stokes en coordonnées cartésiennes est :

  • Équation de bilan de la quantité de mouvement
    \frac{\partial \left( \rho \vec{v} \right)}{\partial t} + \operatorname{div} \left(\rho \vec{v} \otimes \vec{v} \right) = - \overrightarrow{\mathrm{grad}} (p) + \operatorname{div} (\overline{\overline {\tau}}) + \rho \vec{f}
  • Équation de bilan de l'énergie
    \frac{\partial \left( \rho e\right)}{\partial t} + \operatorname{div} \left[ \; \left(\rho e + p\right) \vec{v} \; \right] = \operatorname{div} \left( \overline{\overline {\tau}} \cdot \vec{v} \right) + \rho \vec{f} \cdot \vec{v} - \operatorname{div} (\vec{\dot{q}}) + r

Dans ces équations :

  • t représente le temps (unité SI : \rm s) ;
  • \rho désigne la masse volumique du fluide (unité SI : \rm kg \cdot m^{-3}) ;
  • \vec{v} = ( v_1, v_2, v_3 ) désigne la vitesse eulérienne d'une particule fluide (unité SI : \rm m\cdot s^{-1}) ;
  • p désigne la pression (unité SI : \rm Pa) ;
  • \overline{\overline{\tau}} = \left( \tau_{i,j} \right)_{i,j} est le tenseur des contraintes visqueuses (unité SI : \rm Pa) ;
  • \vec{f} désigne la résultante des forces massiques s'exerçant dans le fluide (unité SI : \rm N \cdot kg^{-1}) ;
  • e est l'énergie totale par unité de masse (unité SI : \rm J \cdot kg^{-1}) ;
  • \vec{\dot{q}} est le flux de chaleur perdu par conduction thermique (unité SI : \rm J\cdot m^{-2} \cdot s^{-1}) ;
  • r représente la perte de chaleur volumique due au rayonnement (unité SI : \rm J \cdot m^{-3} \cdot s^{-1}).

Fluide incompressible[modifier | modifier le code]

Aux équations précédentes, il faut rajouter les conditions de notre cas soit :

  • le fluide est incompressible
 \frac{\partial \rho}{\partial t} = 0
  • le fluide est stationnaire soit
\frac{\partial \left( \rho e\right)}{\partial t} = 0, \frac{\partial \left( \rho \vec{v} \right)}{\partial t}  = 0,
  • le fluide n'est pas visqueux
\  \overline{\overline {\tau}} =0 ,
  • il n'y a pas d'action externe (flux de chaleur, électromagnétisme, gravité ...)
\  f =0 , \  r =0 , \ q =0 ...

d'où les équations se simplifient fortement :

  •  \operatorname{div} (\rho \vec{v}) = 0
  •  \operatorname{div} \left(\rho \vec{v} \otimes \vec{v} \right) = - \overrightarrow{\mathrm{grad}} (p)
  •  \operatorname{div} \left[ \; \left(\rho e + p\right) \vec{v} \; \right] = 0

Avec les conditions aux limites, le système d'équation est solvable. La première équation est indépendante des deux autres, il suffit de trouver une solution à cette équation  \operatorname{div} (\rho \vec{v}) = 0 pour ensuite déterminer les deux autres.

Comme \ \rho est constant, alors l'équation est :  \operatorname{div} (\rho \vec{v}) = 0 \Leftrightarrow \operatorname{div} (\vec{v}) = 0 .

Il est posé la fonction \ \varphi tel que :

 \vec{v} = \overrightarrow{\mathrm{grad}}~\varphi

\ \vec{v} est le vecteur vitesse du fluide en un point de l'espace des équations de Navier-Stokes.

L'équation prend la forme suivante :

\ \operatorname{div} (\overrightarrow{\mathrm{grad}}~\varphi) = 0

soit

d^2 \varphi/dx^2 + d^2 \varphi/dy^2 + d^2 \varphi/dz^2 = 0~.

sans oublier les conditions aux limites.

Soit, sous une autre notation : \ \nabla \times \nabla \varphi = \mathbf{0}.

Solution[modifier | modifier le code]

La solution de l’équation \ \nabla \times \nabla \varphi = \mathbf{0} avec ses conditions aux limites a été donnée par George Green et s’écrit :

4 \pi  \varphi (M) = - \int \int_{S}^{} \frac{\overrightarrow{n}.\overrightarrow{\mathrm{grad}}(\varphi)}{r} ds +  \int \int_{S}^{} \frac {\varphi \overrightarrow{n}.r}{r^3} ds

avec

  • S est une surface qui est le bord du domaine dans lequel est plongé le profil (aile d'avion, voile de bateau...). Le domaine doit être suffisamment grand pour que le fluide se perturbe "tranquillement" autour du profil sans avoir des effets de bord du domaine notable. Un domaine de trois à quatre fois la dimension du profil est un minimum.
  • M(x,y,z) est un point à l’intérieur du volume limité par une surface fermée S (qui peut s’étendre à l’infini)
  •  \varphi et  \overrightarrow{\mathrm{grad}}(\varphi) étant nuls à l’extérieur de la surface S
  •  \overrightarrow{n} est le vecteur unitaire normal à S orienté vers l’intérieur
  • r = PM est le vecteur joignant un point courant P de la surface S au point M ou on exprime le potentiel  \varphi .

Résolution[modifier | modifier le code]

Sauf pour des formes simples de profil, la résolution de l'équation est uniquement numérique. Du fait même que l'écoulement est considéré comme stationnaire, les résultats de calcul ne sont pas turbulents. Donc ce modèle n'est réaliste qu'à faible incidence. À forte incidence, la théorie diverge fortement de la réalité où le profil génère beaucoup de turbulences.

Fluide compressible[modifier | modifier le code]

Cas général[modifier | modifier le code]

De même cette théorie peut être étendue à un modèle irrotationnel compressible[1].


  \begin{align}
  & 
  \left( 1 - M_x^2 \right) \frac{\partial^2 \Phi}{\partial x^2}
  + \left( 1 - M_y^2 \right) \frac{\partial^2 \Phi}{\partial y^2}
  + \left( 1 - M_z^2 \right) \frac{\partial^2 \Phi}{\partial z^2}
  \\
  & \quad
  - 2 M_x M_y \frac{\partial^2 \Phi}{\partial x\, \partial y}
  - 2 M_y M_z \frac{\partial^2 \Phi}{\partial y\, \partial z}
  - 2 M_z M_x \frac{\partial^2 \Phi}{\partial z\, \partial x} 
  = 0,
  \end{align}

avec nombre de Mach

M_x = \frac{1}{a} \frac{\partial \Phi}{\partial x},   M_y = \frac{1}{a} \frac{\partial \Phi}{\partial y}   et   M_z = \frac{1}{a} \frac{\partial \Phi}{\partial z},  

a est la vitesse locale du son. \ \vec{v} est le vecteur vitesse du fluide et est égal à :  \vec{v} = \overrightarrow{\mathrm{grad}}~\phi . L'équation est valide pour des vitesses sub-, trans- et supersonique et pour une incidence arbitraire tant que le flux reste irrotationnel [1].

Dans le cas subsonique ou supersonique mais pas transsonique ou hypersonique, à faible incidence et un profil mince, nous pouvons diviser la vitesse en deux parties : la vitesse non perturbée V dans la direction x, et le reste dans ∇φ soit :

\nabla \Phi = V_\infty x + \nabla \varphi.

Pour des petites perturbations en appliquant la théorie des Théorie des perturbations [1] une linéarisation pour des petites perturbations est faite. Les équations se simplifient et deviennent [1]:


  \left(1-M_\infty^2\right) \frac{\partial^2 \varphi}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 \varphi}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 \varphi}{\partial z^2} = 0,

avec M = V / a le nombre de Mach du flux entrant non perturbé. Ces équations linéaires sont beaucoup plus simples à résoudre que les équations initiales.

Acoustique[modifier | modifier le code]

Aux équations de base, il faut rajouter les conditions suivantes :

  • le fluide est stationnaire soit
\frac{\partial \left( \rho e\right)}{\partial t} = 0, \frac{\partial \left( \rho \vec{v} \right)}{\partial t}  = 0,
  • le fluide n'est pas visqueux
\  \overline{\overline {\tau}} =0 ,
  • il n'y a pas d'action externe (flux de chaleur, électromagnétisme, gravité ...)
\  f =0 , \  r =0 , \ q =0 ...

d'où les équations se simplifient fortement :

  • \frac{\partial \rho}{\partial t} + \operatorname{div} (\rho \vec{v}) = 0
  • \frac{\partial \left( \rho \vec{v} \right)}{\partial t} + \operatorname{div} \left(\rho \vec{v} \otimes \vec{v} \right) = - \overrightarrow{\mathrm{grad}} (p)
  • \frac{\partial \left( \rho e\right)}{\partial t} + \operatorname{div} \left[ \; \left(\rho e + p\right) \vec{v} \; \right] =  0

La densité \rho est décomposée comme suit \rho = \rho' + \rho_{0} avec \rho_{0} la la densité à l'équilibre définie comme suit \rho_{0} =  \lim_{T \to \infty}\frac{1}{T}\int_{t_0}^{t_0+T} \rho\, dt .

On note : \mathrm dm = \rho_0\, \mathrm dV

En utilisant massivement les théorèmes de l'analyse vectorielle, il est obtenu :

\rho_{0} \frac{\partial \mathbf v}{\partial t} = - \nabla p

La vitesse v est décomposée comme suit v = v' + \overline{v} avec \overline{v} la vitesse moyenne définie comme suit \overline{v} =  \lim_{T \to \infty}\frac{1}{T}\int_{t_0}^{t_0+T} v\, dt. .

En procédant de façon similaire en se concentrant uniquement sur v', en négligeant les phénomènes du deuxième ordre (appelé approximation de l'acoustique) et en considérant les variations de pression comme purement adiabatiques, nous arrivons à modéliser les ondes acoustiques comme suit :

\frac{\partial^2 \varphi}{\partial t^2} = \overline{a}^2 \Delta \varphi,

avec la vitesse v' = ∇φ et \overline{a} la moyenne de la vitesse du son dans un matériau homogène. \overline{a} est définie comme suit : \overline{a} =\sqrt{\frac{1}{\rho \chi_S}} avec  \chi_S le coefficient de compressibilité adiabatique ( \chi_s = - \left( \partial V / \partial p\right)_S / V ).

Attention la vitesse v est vue au sens eulérien, c'est pas la vitesse d'une particule déterminée mais la vitesse des particules passant par un point précis de l'espace.

Article connexe : Acoustique.

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Article connexe[modifier | modifier le code]

Équation de Laplace

Théorie des profils minces

Liens externes[modifier | modifier le code]

Références[modifier | modifier le code]

  1. a, b, c et d J.D. Anderson, Modern compressible flow, McGraw-Hill,‎ 2002 (ISBN 0-07-242443-5), pp. 358–359.