Théorème de Midy

Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.
Aller à : navigation, rechercher

En mathématiques, le théorème de Midy, appelé ainsi en hommage au mathématicien français E. Midy[1], est un énoncé concernant le développement décimal des fractions a/p avec p un nombre premier et a/p est le développement en décimale récurrente avec une période paire. Si la période de la représentation décimale de a/p est 2n, alors

\frac{a}{p}=0,\overline{a_1a_2a_3\dots a_na_{n+1}\dots a_{2n}}

et les chiffres dans le deuxième moitié du développement périodique décimal sont le complément à 9 (en) des chiffres correspondants dans la première moitié. En d'autres mots :

a_i+a_{i+n}=9
a_1\dots a_n+a_{n+1}\dots a_{2n}=10^n-1.

Par exemple

\frac1{17}=0,\overline{0588235294117647}\mbox{ et }05882352+94117647=99999999.

Théorème de Midy étendu[modifier | modifier le code]

Si k est un diviseur quelconque de la période de l'expansion décimale de a/p (avec p encore premier) alors le théorème de Midy peut être généralisé de la manière suivante. Le théorème de Midy étendu[2] énonce que si une période de la représentation décimale de a/p est divisée en blocs de taille k alors la somme de ces blocs est un multiple de 10^k-1. Qui plus est, si k vaut 2 ou 3, la somme des blocs vaut exactement 10^k-1.

Par exemple

\frac1{19}=0,\overline{052631578947368421}

a une période 18. En divisant une période en blocs de taille 6 ou 3 et en sommant, on trouve :

052631+578947+368421=999999~
052+631+578+947+368+421=2997=3\times999.

Théorème de Midy dans d'autres bases[modifier | modifier le code]

Le théorème de Midy et ses extensions ne dépendent pas de propriétés particulières de l'expansion décimale, car ils marchent encore dans n'importe quelle base b, a condition de remplacer 10^k-1 par b^k-1 et d'effectuer les opérations d'addition dans la base b. Par exemple, en octal

\frac1{19}=0,\overline{032745}_8
032_8+745_8=777_8
03_8+27_8+45_8=77_8.

Preuve du théorème de Midy[modifier | modifier le code]

De courtes preuves peuvent être données en utilisant des résultats de la théorie des groupes. Cependant, on peut aussi démontrer ce théorème en utilisant l'algèbre élémentaire et l'arithmétique modulaire :

Soit p un nombre premier et a/p une fraction comprise entre 0 et 1. Supposons que le développement de a/p en base b soit de periode l, alors

\frac ap=[0,\overline{a_1a_2\dots a_l}]_b
\Rightarrow\frac apb^l=[a_1a_2\dots a_l,\overline{a_1a_2\dots a_l}]_b
\Rightarrow\frac apb^l=N+[0,\overline{a_1a_2\dots a_l}]_b=N+\frac ap
\Rightarrow\frac ap=\frac N{b^l-1}

ou N est l'entier dont l'écriture en base b est definie par la suite a1a2...al.

bl − 1 est un multiple de p parce que (bl−1)a/p est un entier. De plus, bn−1 n'est pas un multiple de p pour toutes les valeurs de n plus petite que l, car sinon la periode de l'expansion en base b de a/p serait plus petite que l.

Maintenant supposons que l=hk. Alors bl−1 est un multiple de bk − 1. Posons bl − 1 = m(bk − 1), alors

\frac ap=\frac N{m(b^k-1)}.

Mais bl−1 est un multiple de p ; bk−1 n'est pas un multiple de p (car k est plus petit que l); et p est premier ; donc m doit être un multiple de p et

\frac{am}p=\frac N{b^k-1}

est un entier. En d'autres mots :

N\equiv0\pmod{b^k-1}.

Maintenant, découpons a1a2al en h parts de taille égale a k, et posons que ces parts soient l'écriture en base b des entiers N0Nh − 1, alors

N_{h-1}=[a_1\dots a_k]_b
N_{h-2}=[a_{k+1}\dots a_2k]_b
.
.
N_0=[a_{l-k+1}\dots a_l]_b

Pour demontrer le théorème de Midy étendu en base b nous devons montrer que la somme des h entiers Ni est un multiple de bk − 1.

Comme bk est congru a 1 modulo bk−1, n'importe quelle puissance de bk sera aussi congru a 1 modulo bk − 1. donc

N=\sum_{i=0}^{h-1}N_ib^{ik}=\sum_{i=0}^{h-1}N_i(b^{k})^i
\Rightarrow N \equiv \sum_{i=0}^{h-1}N_i \pmod{b^k-1}
\Rightarrow \sum_{i=0}^{h-1}N_i \equiv 0 \pmod{b^k-1}

ce qui prouve théorème de Midy étendu en base b.

Pour prouver le théorème de Midy original, il suffit de prendre la cas particulier où h = 2. N0 et N1 sont tous les 2 représentés par une séquence de k chiffres en base b, donc ils satisfont tous 2

0 \leq N_i \leq b^k-1.

N0 et N1 ne peuvent pas tous 2 être nuls (sinon a/p = 0) et ne peuvent pas tous 2 être egal a bk − 1 (sinon a/p = 1), donc

0 < N_0+N_1 < 2(b^k-1)

et comme N0 + N1 est un multiple de bk − 1, il vient que

N_0+N_1 = b^k-1.

Notes et références[modifier | modifier le code]

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Midy's theorem » (voir la liste des auteurs)

  1. (en) W. G. Leavitt, « A Theorem on Repeating Decimals », dans American Mathematical Monthly, vol. 74, n° 6, 1967, p. 669-673
  2. (en) Bassam Abdul-Baki, Extended Midy's Theorem, 2005