Théorème de Darboux (géométrie)

 Pour l’article homonyme, voir Théorème de Darboux (analyse). 

Le théorème de Darboux est un théorème central de la géométrie symplectique : les variétés symplectiques de dimension $2n$ sont deux à deux localement symplectomorphes. Plus explicitement :

Théorème de Darboux — Si $(M,\omega)$ est une variété symplectique de dimension $2n$, alors, au voisinage de tout point de $M$, il existe des coordonnées locales $(p,q)=(p_1,...,p_n,q_1,...,q_n)$ de sorte que, dans ces coordonnées, $\omega$ s'exprime comme ceci :

$\omega=\mathrm dp\wedge \mathrm dq$

Ce résultat implique l'inexistence d'invariant local en géométrie symplectique. Cette situation s'oppose à la géométrie riemannienne pour laquelle il existe un invariant local de classe $C^2$, la courbure.

Démonstration

La question est locale, et on peut fort bien supposer que la variété $M$ est un ouvert $U$ de $\R^n$, étoilé en $0$, et $\omega$ est une 2-forme différentielle fermée et non dégénérée avec :

$\omega_0=\mathrm dp\wedge \mathrm dq$

Par une isotopie, on va déformer $\omega$ en $\omega_0$. Rappelons que toute isotopie ${\Psi_t}$ est le flot d'un champ de vecteurs dépendant du temps ${X_t}$.

Posons $\omega_t=t\cdot\omega+(1-t)\cdot\mathrm dp\wedge \mathrm dq$.

Raisonnons par condition nécessaire. La formule de Cartan permet de dériver l'identité $\Phi_t^*\omega_t=\mathrm dp\wedge \mathrm dq$ :

$0=\Phi_t^*\left[\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\omega_t+L_{X_t}\omega_t\right] \Longrightarrow \omega-\mathrm dp\wedge \mathrm dq=-\mathrm d\iota_{X_t}\omega_t$

La forme $\omega-\mathrm dp\wedge \mathrm dq$ est exacte sur l'ouvert étoilé $U$, et donc s'écrit $\mathrm d\alpha$ où $\alpha$ est une 1-forme différentielle. Pour des raisons de non-dégénérescence, il existe un unique champ de vecteurs dépendant du temps ${X_t}$ implicitement défini par :

$\iota_{X_t}\omega_t=\alpha$

Si ${\Phi_t}$ est le flot, alors $\Phi_1$ répond à la question.

Remarque : La démonstration est encore incomplète à ce stade !

Ainsi, la géométrie symplectique est essentiellement globale. Cependant, le théorème de Darboux conduit à des questions semi-locales :

Il répond à une question existentielle : Existe-t-il une carte locale telle que ... ? La preuve donne l'existence de la carte sur un domaine suffisamment petit. Renversons la question :

Quelle est la plus grande taille du domaine d'un morphisme symplectique d'un ouvert de ℝ^$n$ dans $(M,\omega)$ ?

Cependant, quel sens donner au mot « taille » ? Soit $r,R>0$ ; l'existence d'un plongement symplectique d'une boule (fermée) $B^{2n}(r)$ dans un cylindre $B^2(R)$×ℝ^$2n-2$ implique $r$≤$R$. La capacité symplectique d'une variété symplectique $(M,\omega)$ est donnée par :

$c(M,\omega)=\sup\{r>0, \exists f:B(0,r)\hookrightarrow M, f^*\omega=\mathrm dp\wedge \mathrm dq\}$

Voir aussi

• Variété symplectique
• Géométrie symplectique
• Capacité symplectique
• Géométrie de contact