Théorème de Darboux (géométrie)

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Le théorème de Darboux est un théorème central de la géométrie symplectique : les variétés symplectiques de dimension 2n sont deux à deux localement symplectomorphes. Plus explicitement :

Théorème de Darboux — Si (M,\omega) est une variété symplectique de dimension 2n, alors, au voisinage de tout point de M, il existe des coordonnées locales (p,q)=(p_1,...,p_n,q_1,...,q_n) de sorte que, dans ces coordonnées, \omega s'exprime comme ceci :

\omega=\mathrm dp\wedge \mathrm dq

Ce résultat implique l'inexistence d'invariant local en géométrie symplectique. Cette situation s'oppose à la géométrie riemannienne pour laquelle il existe un invariant local de classe C^2, la courbure.

Ainsi, la géométrie symplectique est essentiellement globale. Cependant, le théorème de Darboux conduit à des questions semi-locales :

Il répond à une question existentielle : Existe-t-il une carte locale telle que… ? La preuve donne l'existence de la carte sur un domaine suffisamment petit. Renversons la question :

Quelle est la plus grande taille du domaine d'un morphisme symplectique d'un ouvert de ℝn dans (M,\omega) ?

Cependant, quel sens donner au mot « taille » ? Soit r,R>0 ; l'existence d'un plongement symplectique d'une boule (fermée) B^{2n}(r) dans un cylindre B^2(R)×ℝ2n-2 implique rR[1]. La capacité symplectique d'une variété symplectique (M,\omega) est donnée par :


c(M,\omega)=\sup\{r>0, \exists f:B(0,r)\hookrightarrow M, f^*\omega=\mathrm dp\wedge \mathrm dq\}

Note et référence[modifier | modifier le code]

  1. (en) Dusa McDuff et Dietmar Salamon (de), Introduction to symplectic topology [détail des éditions], p. 372

Voir aussi[modifier | modifier le code]