Théorème d'échantillonnage de Nyquist-Shannon

Le théorème de Nyquist-Shannon, nommé d'après Harry Nyquist et Claude Shannon, énonce que pour représenter correctement un signal analogique à numériser, la fréquence d'échantillonnage de ce signal doit être égale ou supérieure au double de la fréquence maximale contenue dans ce signal, afin de convertir ce signal d'une forme continue à une forme discrète (discontinue dans le temps) tout en conservant sa forme générale. Ce théorème est à la base de la conversion analogique-numérique des signaux.

Considérations élémentaires

Si on veut utiliser un signal échantillonné, il faut s'assurer que l'échantillon contienne la majeure partie de l'information du signal analogique d'origine.

Il est souvent commode de considérer celui-ci comme une somme de sinusoïdes (cf analyse spectrale). Or il est intuitivement évident qu'une perte d'information se produit si le pas d'échantillonnage est trop grand par comparaison avec les périodes en cause, la fréquence d'échantillonnage étant trop faible par rapport aux fréquences considérées.

Ainsi, soit un signal sinusoïdal d'amplitude $a$ et de fréquence $f$ :

$x(t) = a \cos(2\pi f t)\,$

En l'échantillonnant avec un pas $T$ soit une fréquence $1/T$ on obtient la suite de valeurs numériques

$x_n = a \cos(2\pi f n T)\,$

Considérons maintenant le signal d'amplitude $b$ et de fréquence $1/T - f$ :

$\textstyle y(t) = b \cos\left(2\pi\left(\frac1T - f\right)t\right)$

Une fois échantillonné à la même fréquence, il devient

$\textstyle y_n = b\cos\left(2\pi n\left(\frac1T - f\right)T\right) = b \cos\left(2\pi n\left(1 - f T\right)\right)\,$

La trigonométrie élémentaire conduit à

$y_n = b \cos(2\pi n f T)\,$

Ainsi, dans la somme $x_n + y_n$, il est impossible de distinguer ce qui appartient au signal de fréquence $f$ et à celui de fréquence $1/T - f$. Ce résultat conduit à l'effet de repliement de spectre ou encore aliasing, qui indique que l'on prend une sinusoïde pour une autre (alias).

Si la plus haute fréquence d'un signal est $f_M$, la fréquence $1/T - f_M$ ne doit pas appartenir au spectre du signal, ce qui conduit à l'inégalité :

$\frac 1T \geq 2 f_M$

Pour qu'un signal ne soit pas perturbé par l'échantillonnage, la fréquence d'échantillonnage doit être supérieure au double de la plus haute fréquence contenue dans le signal. Cette fréquence limite s'appelle la fréquence de Nyquist.

Précisions

On peut interpréter le résultat précédent en considérant un signal transitoire x(t), donc muni d'une transformée de Fourier X(f).

Considérons la distribution obtenue en multipliant le signal x(t) par un peigne de Dirac, somme de deltas d'intensité T distants de T.

$x^*(t) = T x(t) \cdot \delta_T (t)\,$

la transformée de Fourier de x*(t) est la convolution de la TF de x(t) par la TF du peigne de dirac :

$X^*(f) = X(f) \ast \sum_{n=-\infty}^{\infty} \delta(f - \frac{n}{T})$

Le dirac étant l'élément neutre de la convolution, on obtient:

$X^*(f) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} X(f - n/T)$

Le rapprochement des deux résultats montre que le calcul de la transformée d'un signal échantillonné au pas T par la méthode des rectangles donne la somme de la transformée vraie et de toutes les translatées de celle-ci avec un pas égal à la fréquence d'échantillonnage 1/T.

Toute l'information utile est contenue dans l'intervalle [-1/(2T), 1/(2T)].

Si les fréquences présentes dans le signal ne débordent pas de cet intervalle, c'est-à-dire si la fréquence d'échantillonnage est supérieure au double de la plus haute fréquence, on obtient la transformée vraie. Dans le cas contraire, les translatées voisines viennent se superposer. Ce phénomène est appelé "recouvrement du spectre"

Du fait de la symétrie, tout se passe comme si le spectre vrai était replié (l'énergie associée aux fréquences supérieures à la moitié de la fréquence d'échantillonnage est transférée en dessous de cette fréquence). Si on veut éviter le franglais on utilise en général le terme repliement de préférence à aliasing.

Ces résultats s'appliquent sans modification à un signal à variance finie.

Formule de Shannon

Puisque la transformée X*(f) du signal correctement échantillonné contient, dans l'intervalle [-½T,½T], la transformée du signal d'origine x(t), on peut reconstituer celui-ci en calculant la transformée inverse, l’intégration étant bornée à cet intervalle.

On obtient ainsi

$x(t) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} x(n T) \cdot \operatorname{sinc}(\frac\pi T(t - nT))$

avec : sinc qui est le sinus cardinal noté :

$\operatorname{sinc}(x) = \frac{\sin(x)}{x}$

Illustration

La meilleure illustration de l'application de ce théorème est la détermination de la fréquence d'échantillonnage d'un CD audio, qui est de 44,1 kHz. En effet, on considère que la limite de perception de l'oreille humaine est située à 20 kHz. Il convient donc, lors de la conversion, d'échantillonner le signal audio à au moins 40 kHz. Une valeur de 44,1 kHz a été retenue par le consortium Sony/Philips lors de l'élaboration de la norme du Compact Disc. La fréquence de 44 100 échantillons par seconde a été choisie pour faciliter l'enregistrement de l'audio numérisé sur les magnétoscopes vidéo qui avaient en commun un facteur de 294 ou 245, correspondant au nombre de lignes utiles dans le champ vidéo en PAL ou NTSC. Dans le cas du PAL, on obtient 44 100 en multipliant 294 par 50 (nombre de trames par seconde) et par 3 (nombre d'échantillons par ligne). En NTSC, le même résultat est obtenu par multiplication de 245 par 60 (nombre de trames par seconde) et par 3 (nombre d'échantillons par ligne).

Voir aussi

• Stroboscope
• Échantillonnage (signal)