Théorème de Dirichlet (séries de Fourier)

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En analyse, le théorème de Dirichlet (ou de Jordan-Dirichlet) est un résultat de convergence ponctuelle pour les séries de Fourier.

Une première version du théorème a été prouvée par Dirichlet en 1829[1]. Faute d'une théorie de l'intégration adéquate, la preuve de Dirichlet ne permet de traiter que des fonctions assez particulières (monotones hors des points d'une subdivision).

Le théorème sera généralisé par Jordan en 1881 pour englober le cas de toutes les fonctions « localement à variation bornée »[2].

Énoncé[modifier | modifier le code]

Soit ƒ une fonction localement intégrable sur \mathbb{R} et de période 2π. Soit x0\mathbb{R}. On suppose que

  • ƒ admet des limites à droite et à gauche en x0, notées ƒ(x0+) et ƒ(x0-) ;
  • il existe α > 0 tel que les intégrales suivantes convergent
\int_0^\alpha \frac{|f(x_0+t)-f(x_0^+)|}{t} {\mathrm d} t, \qquad
\int_0^\alpha \frac{|f(x_0-t)-f(x_0^-)|}{t} {\mathrm d} t.

Alors, la série de Fourier de ƒ converge au point x0 et admet pour limite

\lim\limits _n (S_nf(x_0))=\frac12(f(x_0^+)+f(x_0^-)).

Notamment le théorème s'applique lorsque la fonction admet des dérivées à droite et à gauche en x0 (sans nécessairement être continue : il s'agit des dérivées à droite et à gauche des restrictions), ou encore lorsqu'elle est de classe \mathcal{C}^{1} par morceaux.

Démonstration[modifier | modifier le code]

La démonstration du théorème se base sur le fait que la série de Fourier se calcule par produit de convolution avec un polynôme trigonométrique aux propriétés remarquables : le noyau de Dirichlet.

D_n(x)=\sum_{k=-n}^n
e^{ikx}=\frac{\sin\left(\left(n+\frac{1}{2}\right)x\right)}{\sin(x/2)},
S_n(f)(x)=\frac1{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(t)D_n(x-t) dt=\frac1{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} D_n(t)f(x-t) dt

On utilise la seconde écriture du noyau de Dirichlet

S_n(f)(x)=\frac1{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} \sin\left(\left(n+\frac{1}{2}\right)t\right) \frac{f(x-t)}{\sin\frac t 2}  dt

Cette écriture est proche de l'application du théorème de Riemann-Lebesgue, mais la fonction t \mapsto\frac{f(x-t)}{\sin(t/2)} n'est pas intégrable a priori au voisinage de 0. On forme donc (en utilisant le changement de variable t'=-t pour replier la moitié de l'intégrale sur [0,π])

S_n(f)(x)-\tilde{f}(x)=\frac1{2\pi}\int_0^{\pi} 
\sin\left(\left(n+\frac{1}{2}\right)t\right) \frac{f(x+t)+f(x-t)}{\sin(\frac t 2)}  dt
-\frac12(f(x^+)+f(x^-))

Puis en utilisant la valeur moyenne du noyau de Dirichlet Dn on rentre les constantes dans l'intégrale :

S_n(f)(x)-\tilde{f}(x)=\frac1{2\pi}\int_0^{\pi} 
\sin\left(\left(n+\frac{1}{2}\right)t\right) \frac{f(x+t)+f(x-t)-f(x^+)-f(x^-)}{\sin(\frac t 2)}  dt

Cette fois le théorème s'applique. Donc l'expression a bien une limite nulle.

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. Gustav Lejeune-Dirichlet, Sur la convergence des séries trigonométriques qui servent à représenter une fonction arbitraire entre des limites données, Journal de Crelle 4 (1829) p. 157-169 http://arxiv.org/abs/0806.1294
  2. Camille Jordan, Sur la série de Fourier, C. R. Acad. Sci. Paris, 92 p 228-230

Bibliographie[modifier | modifier le code]

Jean-Pierre Kahane et Pierre-Gilles Lemarié-Rieusset, Séries de Fourier et ondelettes [détail des éditions]