Plan de remboursement

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En mathématiques financières élémentaires, un plan de remboursement détermine, lors d'un emprunt à mensualités constantes, les relations existant entre le capital emprunté, le taux d'intérêt, le montant des remboursements et la durée de l'emprunt.

Mise en place mathématique[modifier | modifier le code]

Un capital C emprunté à un taux mensuel t et remboursé par mensualités constantes M conduit à la construction d'une suite arithmético-géométrique. Si R_n représente le capital restant dû au bout de n mensualités, la suite (R_n)\, est définie par la relation de récurrence :

R_{n+1} = (1 + t)R_n - M\,.

En effet, comme toute dette, durant un mois, le capital R_n va augmenter de t \times  R_n si t est le taux d'intérêt mensuel. Comme, au bout d'un mois, il intervient un remboursement d'un montant M, le capital restant dû à l'issue du n + 1e mois est donc  R_{n+1} = R_n + tR_n - M.

Une première remarque de bon sens consiste à dire que les mensualités doivent être supérieures à t\times R_n donc en particulier à t × C, pour avoir une chance de voir la dette diminuer.

Variables[modifier | modifier le code]

  • C: capital emprunté
  • t: taux de la période
  • M: montant de l'échéance
  • n: nombre d'échéances

Les formules[modifier | modifier le code]

Une étude de la suite arithmético-géométrique permet de donner R_n en fonction de C, M, n et t.

 R_n =(1 + t)^n\left(C - \frac{M}{t}\right) + \frac{M}{t}

Comme le but est de rembourser la somme au bout de N mensualités, la relation existant entre C, M, t et N est donc:

 (1 +t)^N= \frac{M/C}{M/C - t}

Nombre d'échéances[modifier | modifier le code]

On peut en déduire, en fonction de M/C et t, le nombre de mensualités nécessaires:

 N =\frac{ \ln(M/C) - \ln(M/C - t)}{\ln(1 + t)}.
Exemple: si on emprunte 1000 euros à 0,5 % d'intérêts mensuels (approximativement 6 % d'intérêts annuels) et que l'on rembourse 10 euros par mois, il faut
 \frac{\ln(0,01) - \ln(0,005)}{\ln(1,005)} = 139 mensualités.
Soit 11 ans et 7 mois.

Montant de l'échéance[modifier | modifier le code]

On peut aussi déterminer, en fonction de la durée de l'emprunt, le montant des mensualités:

 M = C \frac{t}{1 - (1+t)^{-N}}

On préfère souvent parler en nombre d'années A et en taux annuel i. Pour des taux faibles (voir suite géométrique), on peut utiliser l'approximation suivante t = i/12 et on obtient alors la formule suivante

 M = \frac{C(i/12)}{1 - (1+i/12)^{-N}}
Exemple une somme de 1000 euros, empruntée sur 10 ans, donc 120 mois, à un taux annuel de 4,8 % nécessite un remboursement mensuel de
 \frac{1000 \times (0,048/12)}{1 - (1+0,048/12)^{-10*12}} = \frac{4}{1 - 1,004^{-120}} = 10,51 euros.

Capital emprunté[modifier | modifier le code]

Il est possible de déterminer le montant du capital emprunté en fonction de la durée de l'emprunt, du taux et du montant des échéances:

 C = M \frac{1 - (1+t)^{-N}}{t}

On peut enfin déterminer la somme réellement remboursée, en fonction de la somme empruntée C, de la durée de l'emprunt N en mois et du taux d'intérêt mensuel t.

 S = N \times M = C \frac{Nt}{1 - (1+t)^{-N}}
Dans l'exemple précédent, la somme réellement remboursée est de 1261 euros

Tableau de remboursement[modifier | modifier le code]

Quand sont décidés la somme empruntée, le taux d'intérêt et la durée du prêt, le montant des mensualités est alors fixé. On présente alors un tableau qui précise, mois par mois, le capital restant dû et la part, dans le remboursement, du remboursement des intérêts et de l'amortissement. Ce tableau permet de connaître à tout instant l'état de son compte et la somme à payer en cas de remboursement anticipé.

Exemple : Somme empruntée 1000 euros, durée du prêt 10 ans, taux d'intérêt 4,8 %, taux mensuel 0,4 %.

Plan de remboursement réalisé sur tableur.
Dans la cellule B3 est rentrée la formule =B2*(1+$F$1)-$F$2
Dans la cellule C3 est rentrée la formule =B2*$F$1
Dans la cellule D3 est rentrée la formule =B2-B3
A B C D E F
1 Mois Capital du Intérêts remboursés Capital remboursé Taux 0,004
2 0 1000,00€ Mensualités 10,51€
3 1 993,49 € 4,00 € 6,51 €
4 2 986,95 € 3.97 € 6,54 €
5 3 980,39 € 3,95 € 6,56 €
6 4 973,80 € 3,92 € 6,59€
7 5 967,19 € 3,90 € 6,61€
... ... ... ... ...
122 119 10,32 € 0,08 € 10,43 €
123 120 0 € 0,04 € 10,32 €

Liens externes[modifier | modifier le code]