Soustraction

La soustraction est l'une des opérations basiques de l'arithmétique. La soustraction combine deux ou plusieurs grandeurs du même type, appelées opérandes, pour donner un seul nombre, appelé la différence.

Soustraire signifie diminuer en comptant.

Soustraire b de a (calculer a − b) c'est trouver le nombre qui complèterait b pour donner a, c'est-à-dire le nombre d tel que b + d = a

Le signe de soustraction est le symbole « − ». Par exemple : on lit 3 − 2 = 1 comme « trois moins deux font un ».

Les noms des différents termes de la formule

c − b = a

sont diminuende (c) − diminuteur (b) = différence (a).

Définition générale

Soit (G, +) un groupe abélien (ou commutatif). On définit une nouvelle loi de composition interne dans G, appelée « soustraction » et notée « − » par : $x-y=x+(-y)$ . où $-y$ est l'opposé de $y$ .

La soustraction est

anticommutative: pour tout $x$ et tout $y$ , $y - x = - (x - y)$
n'est pas associative
possède un élément neutre uniquement à droite : pour tout $x$ , $x - 0 = x$ , mais en général $0 - x \neq x$
Tous les éléments du groupe sont involutifs : pour tout $x$ , $x - x = 0$ .

Le défaut de cette définition est d'utiliser le même signe, à savoir −,

pour l'opposé $-y$ de $y$ et
pour l'opération binaire $x-y$

Cas particulier des nombres

Ici nous travaillons dans (ℤ, +) des nombres entiers relatifs.

Formellement, la soustraction est une loi de composition interne sur un ensemble, notée − à condition toutefois que la soustraction soit toujours définie (ce qui n'est, par exemple, pas le cas dans l'ensemble ℕ des entiers naturels). Cette loi de composition interne (quand elle existe) n'est cependant pas très intéressante car

elle n'est pas commutative. En effet a − b et b − a sont en général différents
elle n'est pas associative. En effet (a − b) − c et a − (b − c) sont en général différents
elle ne possède pas d'élément neutre. En effet, le seul élément neutre possible serait 0 et l'on a

a − 0 = a, mais en général

0 − a est différent de a.

C'est la raison pour laquelle on préfère considérer une soustraction comme l'ajout (somme) de l'opposé, à condition évidemment que cet opposé existe (ce n'est pas toujours le cas dans ℕ).

L'opposé de a est le nombre noté (−a) qui, ajouté à a, donne 0 : a + (−a) = 0

a − b peut alors s'écrire a + (−b)