Série télescopique

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En analyse, l'expression série télescopique (ou somme télescopique) désigne informellement une somme dont les termes s'annulent de proche en proche. Cette situation apparaît fréquemment dans la méthode des différences successives. Au lieu de l'expression « série télescopique » elle-même, on emploie souvent la phrase « le raisonnement – ou la simplification – se fait par télescopage ».

Si (a_n) est une suite, la série télescopique correspondante est la série de terme général a_{n+1}-a_n. La convergence de la série télescopique équivaut à la convergence de la suite (a_n) :

\sum_{k=0}^{n-1}\left[a_{k+1}-a_k\right]=a_n-a_0.

Exemples[modifier | modifier le code]


\begin{align}
(1-x)\sum_{k=0}^nx^k &= (1-x)(1+x+x^2+\cdots+x^n) \\
& = (1-x)+(x-x^2)+(x^2-x^3)+\cdots+(x^n-x^{n+1}) \\
& = 1-x^{n+1}
\end{align}

ou, plus rigoureusement,

(1-x)\sum_{k=0}^nx^k=\sum_{k=0}^n(x^k-x^{k+1})= 1-x^{n+1}

\begin{align}
\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n(n+1)} & = \sum_{n=1}^\infty \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} \right) \\
& = \left(1 - \frac{1}{2}\right)
+  \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{3}\right) + \cdots \\
& =  1 + \left(- \frac{1}{2} + \frac{1}{2}\right)
+ \left( - \frac{1}{3} + \frac{1}{3}\right) + \cdots = 1.
\end{align}
  • De nombreuses fonctions trigonométriques admettent une représentation comme différence permettant un télescopage :

\begin{align}
\sum_{n=1}^N \sin\left(n\right) & = \sum_{n=1}^N \frac{1}{2} \csc\left(\frac{1}{2}\right) \left(2\sin\left(\frac{1}{2}\right)\sin\left(n\right)\right) \\
& = \frac{1}{2} \csc\left(\frac{1}{2}\right) \sum_{n=1}^N \left(\cos\left(\frac{2n-1}{2}\right)-\cos\left(\frac{2n+1}{2}\right)\right) \\
& = \frac{1}{2} \csc\left(\frac{1}{2}\right) \left(\cos\left(\frac{1}{2}\right)-\cos\left(\frac{2N+1}{2}\right)\right).
\end{align}
  • Il convient cependant, dans le cas des séries, de ne pas négliger les questions de convergence ; on pourrait sinon en déduire, par exemple, que

\begin{align}
1+1+1+\cdots & = (2-1)+(3-2)+(4-3)+\cdots \\
& = -1 + (2-2) + (3-3) + \cdots \\
& = -1
\end{align}

(mais les résultats ainsi obtenus ne sont pas toujours dénués de sens ; on pourra à ce sujet consulter l'article série divergente).