Homothétie

Homothétie de centre O transformant le triangle (abc) en le triangle (a₁b₁c₁)

En géométrie classique, une homothétie est une application ponctuelle caractérisée par un point invariant appelé centre et un réel appelé rapport. Par l'homothétie de centre O et de rapport k, le point M est transformé en un point M' tel que ${\overrightarrow {OM'}}=k{\overrightarrow {OM}}.$ En d'autres termes, l'homothétie laisse O fixe et envoie le point M sur un point M' situé sur la droite (OM) par un agrandissement ou réduction de rapport k . L'homothétie correspond donc à un changement d'échelle des figures.

Le terme, dû au mathématicien français Michel Chasles, est composé des deux éléments d'origine grecque, le préfixe homo- pour « semblable » et thesis pour « position ». Il traduit la correspondance entre deux figures de même forme et de même orientation. Ainsi, deux poupées russes regardant dans la même direction peuvent être vues comme homothétiques.

On parle également d'homothétie dans un espace vectoriel ou un espace affine. L’homothétie vectorielle de rapport k est l'endomorphisme qui à tout vecteur v associe le vecteur kv, où le scalaire k est appelé rapport de l'homothétie. L’homothétie affine de centre O et de rapport k est l'application qui à tout point M associe le point M' défini par ${\overrightarrow {OM'}}=k{\overrightarrow {OM}}.$ Quand le corps des scalaires est commutatif, une homothétie vectorielle de rapport non nul est une application linéaire bijective, une homothétie affine de rapport non nul est une application affine bijective, et son application linéaire associée est l'homothétie vectorielle de même rapport. Les seules transformations affines dont l'application linéaire associée est une homothétie vectorielle de rapport différent de 0 et 1 sont des homothéties affines. L'ensemble des homothéties vectorielles de rapport non nul, muni de la composition, forme un groupe appelé groupe des homothéties, et l'ensemble des homothéties affines de rapport non nul et des translations muni de la composition forme également un groupe appelé groupe des homothéties-translations.

En dimension supérieure ou égale à 2, les homothéties affines de rapport non nul transforment une droite en une droite qui lui est parallèle, et ce sont, avec les translations, les seules applications de l'espace affine dans lui-même ayant cette propriété. Ceci permet une caractérisation purement géométrique des homothéties en dimension ≥ 2 : ce sont les applications affines qui transforment une droite en une droite parallèle et qui ont au moins un point fixe. Cette définition peut être utilisée dans le cadre d'une approche axiomatique de l'espace affine, elle utilise alors le théorème de Desargues affine, qui dans le cas de la dimension 2, doit être pris pour axiome (voir plan affine arguésien). En l'absence de celui-ci, on ne peut pas les définir.

En géométrie euclidienne, vectorielle ou affine, les homothéties de rapport non nul apparaissent comme des cas particulier de similitudes : elles multiplient les distances par la valeur absolue de leur rapport, et préservent les angles.

Définition en géométrie affine

Dans un espace affine P, pour un point donné O de P et un scalaire non nul k, l'homothétie de centre O et de rapport k est une transformation f du plan P qui laisse le point O invariant et telle que, pour tout point M distinct de O :

• Les points O, M et f(M) sont alignés ;
• Le rapport algébrique vaut k :

${\frac {\overline {Of(M)}}{\overline {OM}}}=k$.

Deux cas particuliers (distincts en caractéristique différente de 2) doivent être mentionnés :

• Si $k=1$, chaque point étant invariant, l'homothétie est la transformation identique.
• Si $k=-1$, l'homothétie de rapport -1 est la symétrie centrale de centre O.

Propriétés affines

• Toute homothétie transforme une droite en une droite qui lui est parallèle.

Sans utiliser le théorème de Thalès, si h est une homothétie de centre O envoyant les points $M$ et $N$ sur $f(M)$ et $f(N)$, alors la relation de Chasles donne :

$f(M)f(N)=Of(N)-Of(M)=k.(ON-OM)=k.MN$.

En particulier, les droites $(f(M)f(N))$ et $(MN)$ ont même droite vectorielle directrice ; elles sont donc parallèles.

• Toute homothétie préserve le parallélisme : deux droites parallèles sont envoyées sur deux droites parallèles.

En effet, si deux droites $d$ et $d'$ sont parallèles, et que h est une homothétie, alors par la propriété précédente, $h(d)$ et $d$ sont parallèles, et $h(d')$ et $d'$ sont aussi parallèles. Par transitivité, les droites $h(d)$ et $h(d')$ sont donc parallèles.

• Toute homothétie préserve les rapports algébriques.

Si M, N, P et Q sont quatre points alignés, et que h est une homothétie de rapport k, il a été obtenu :

$h(M)h(N)=k.MN$ et $h(P)h(Q)=k.PQ$.

Si $PQ=u.MN$, alors, comme k est non nul, $h(P)h(Q)=u.h(M)h(N)$. Donc, h préserve les rapports algébriques.

Théorème de Thalès

Les propriétés citées ci-dessus sont une reformulation du théorème de Thalès :

Théorème de Thalès : Soient un triangle $OMB$ et deux points N et A respectivement sur les droites $(OM)$ et $(0B)$. Alors les droites $(BM)$ et $(AN)$ sont parallèles ssi les rapports algébriques suivants sont égaux :

${\frac {\overline {OA}}{\overline {OB}}}={\frac {\overline {ON}}{\overline {OM}}}$.

En reprenant les notations du théorème cité, si les points A et N sont les images respectives des points B et M par la même homothétie de centre O, l'égalité des rapports algébriques est vérifiée. Le sens réciproque implique que les droites $(AN)$ et $(BM)$ sont parallèles. Le théorème de Thalès montre que toute homothétie transforme une droite en une droite qui lui est parallèle.

Par ailleurs, le théorème de Thalès montre qu'il existe exactement une unique homothétie de centre O envoyant M sur N. Cette homothétie envoie tout point B non aligné avec O, M et N sur le point d'intersection de la droite $(0B)$ avec la parallèle à $(BM)$ passant par N. La construction de l'image d'un point de la droite $(0M)$ nécessite de construire au préalable l'image d'un point non aligné avec O, M et N.

Composition

Composée de deux homothéties dont les rapports vérifient kk'=1.

Composée de deux homothéties dont le produit des rapports diffère de 1.

La composée de deux homothéties de centre O et de rapports k et k' est une homothétie de centre O et de rapport kk'. L'ensemble des homothéties de centre O est donc stable par composition : il forme un sous-groupe commutatif du groupe des transformations de l'espace.

La composée de deux homothéties de centres différents O et O' et de rapports k et k' est :

• une translation de vecteur $(1-k'){\overrightarrow {OO'}}$ si le produit kk' =1 ;
• une homothétie de rapport kk' et de centre O" barycentre des points (O, kk'- k') et (O', k'-1) si kk' est différent de 1.

La composée t o h d'une homothétie de centre O et de rapport k et d'une translation de vecteur u est aussi une homothétie de rapport k et de centre O" barycentre des points (O, k) et (O', -1) où O' est le point tel que ${\overrightarrow {OO'}}=u$. Enfin la composée h o t est une homothétie de rapport k et de centre O" barycentre de (O', k) et (O, -1) où O' est le point tel que ${\overrightarrow {O'O}}=u$.

Ces propriétés montrent que l'ensemble des homothéties et des translations est stable par composition ; il forme un sous-groupe non commutatif du groupe des transformations de l'espace.

Propriété en géométrie euclidienne

En géométrie euclidienne, la composée d'une rotation de centre O et d'une homothétie de centre O s'appelle une similitude de centre O. Comme toutes les similitudes, les homothéties vérifient les propriétés suivantes :

• Toute homothétie préserve les angles, et donc en particulier l'orthogonalité. Une homothétie est donc une transformation conforme.
• Une homothétie transforme un cercle en un cercle.
• Une homothétie de rapport k modifie les distances par un facteur $|k|$ et modifie les volumes par un facteur $|k|^{n}$ où n est la dimension de l'espace.

Dans le plan complexe

Par l'homothétie de centre A d'affixe a et de rapport k, le point M d'affixe z a pour image le point M' d'affixe z' vérifiant :

$z'=k(z-a)+a~$.

Figure caractéristique du trapèze

Homothéties d'un segment de droite

Si ABCD est un trapèze tel que ${\overrightarrow {DC}}=k{\overrightarrow {AB}}$ avec k différent de 1, il existe deux homothéties transformant [AB] en [CD]. Une de centre O' intersection des diagonales et de rapport –k et l'autre, de centre O intersection des droites (AD) et (BC) et de rapport k (cf. image à droite).

Géométrie vectorielle

Dans un espace vectoriel V sur un corps commutatif, on appelle homothétie de rapport le scalaire k l'application k.id, qui à tout vecteur v associe le vecteur kv. C'est un endomorphisme de V. Si V est de dimension finie n, la matrice de k.id, dans n'importe quelle base de V, est la matrice scalaire k.I_n où I_n est la matrice identité de taille n.

L'unique valeur propre de k.id est k. Un endomorphisme h de V est une homothétie si et seulement si tous les vecteurs non nuls de V sont propres pour h (ou encore : si h commute à tout endomorphisme de V ou même seulement à toute projection sur une droite).

On en déduit facilement — en posant V = E/ker(g) ≃ im(g) — que pour deux espaces vectoriels E et F et deux applications linéaires f et g de E dans F, si f(x) est un multiple de g(x) pour tout vecteur x de E, alors f est la composée de g par une homothétie de F.

Bibliographie

Jacqueline Lelong-Ferrand, Fondements de la géométrie, PUF, 1985 (ISBN 2-13-038851-5)