Fonction point d'interrogation

Fonction point d'interrogation de Minkowski.

La fonction point d'interrogation est, en mathématiques, une fonction, notée $?\left(x\right)$.

Cette fonction fut définie par Hermann Minkowski en 1904 afin de créer une application continue de l'ensemble des nombres irrationnels quadratiques de l'intervalle $\left]0,1\right[$ vers l'ensemble des nombres rationnels dyadiques du même intervalle. La définition courante actuelle fut posée par Arnaud Denjoy en 1938.

Définition

Soit $x$ un nombre réel et $[x_0; x_1, x_2, \ldots]$ sa représentation en fraction continue. On pose :

${\rm ?}(x) = x_0 + \sum_{k=1}^\infty \frac {(-1)^{k+1}} {2^{x_1 + \cdots + x_k-1}}$

Cette définition est légitime. Dans le cas d'un nombre irrationnel, la série converge toujours. Dans le cas d'un nombre rationnel, sa fraction continuée se limite à $[x_0; x_1, x_2, \ldots, x_n]$ et deux termes successifs de la série pour $k\ge n$ s'annulent ; il est alors possible d'écrire :

${\rm ?}(x) = x_0 + \sum_{k=1}^{n-1} \frac {(-1)^{k+1}} {2^{x_1 + \cdots + x_k-1}}$

Exemples

• $?\left(0\right) = 0$
• $\frac {1} {3} = \left[0;1,0,1\right]$ : $?\left(\frac {1} {3}\right) = \frac {1} {4}$
• $\frac {177} {233} = \left[0;1,3,6,4,2\right]$ : $?\left(\frac {177} {233}\right) = \frac {7193} {8192}$
• $?\left(1\right) = 1$
• $\sqrt{2} = \left[1;2,2,\ldots\right]$ : $?\left(\sqrt{2}\right) = \frac {7} {5}$

Propriétés

• La fonction point d'interrogation est strictement croissante.
• Elle est purement singulière (en).
• $?\left(x+1\right) = ?\left(x\right)+1$
• Si $x$ est un nombre rationnel, $?\left(x\right)$ est un nombre rationnel dyadique.
• Si $x$ est un nombre irrationnel quadratique, sa fraction continuée est périodique et $?\left(x\right)$ est un rationnel non-dyadique.
• Si $\frac {p} {q}$ et $\frac {p'} {q'}$ sont deux fractions irréductibles telles que $\left|pq'-p'q\right|=1$ (deux éléments successifs d'une suite de Farey), $?\left(\frac {p+p'} {q+q'}\right) = \frac {1} {2} \left(?\left(\frac{p}{q}\right) + ?\left(\frac{p'}{q'}\right) \right)$
• La fonction point d'interrogation est un cas particulier des courbes fractales de Rham (en).

Notes et références

Références

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Minkowski's question mark function » (voir la liste des auteurs)
• (en) Biblioni, L., Paradis, J., Viader, P., A New Light on Minkowski's ?(x) Function, Journal of Number Theory, 73 (1998), 212-227
• (en) Biblioni, L., Paradis, J., Viader, P., The Derivative of Minkowski's Singular Function, Journal of Mathematical Analysis and Applications (2001) 107-125
• (en) Conley, Randolph M. A Survey of the Minkowski ?(x) Function, Master's Thesis, West Virginia University (2003)
• (en) Vepstas, Linas, The Minkowski Question Mark and the Modular Group SL(2,Z) (2004)
• (en) Vepstas, Linas, Modular Fractal Measures (2004).

Article connexe

Théorie des nombres