Suite de Farey

Pour les articles homonymes, voir Farey.

En mathématiques, la suite de Farey d'ordre $n$ est la suite des fractions irréductibles entre 0 et 1 dont le dénominateur est inférieur ou égal à $n$ et en ordre croissant.

Chaque suite de Farey commence avec la valeur 0, décrite par la fraction $0/1$, et finit avec la valeur 1, décrite par la fraction $1/1$ (bien que certains auteurs omettent ces termes).

Une suite de Farey est quelquefois appelée série de Farey, ce qui n'est pas véritablement correct, les termes n'étant pas additionnés.

Exemples

Les suites de Farey d'ordre 1 à 8 sont :

$\scriptstyle\left(\frac 01, \frac 11 \right)$

$\scriptstyle\left(\frac 01, \frac12, \frac 11 \right)$

$\scriptstyle\left(\frac 01, \frac13, \frac12, \frac23, \frac11 \right)$

$\scriptstyle\left(\frac 01, \frac14, \frac13, \frac12, \frac23, \frac34, \frac11 \right)$

$\scriptstyle\left(\frac 01, \frac15, \frac14, \frac13, \frac25, \frac12, \frac35, \frac23, \frac34, \frac45, \frac11 \right)$

$\scriptstyle\left(\frac 01, \frac16, \frac15, \frac14, \frac13, \frac25, \frac12, \frac35, \frac23, \frac34, \frac45, \frac56, \frac11 \right)$

$\scriptstyle\left(\frac 01, \frac17, \frac16, \frac15, \frac14, \frac27, \frac13, \frac25, \frac37, \frac12, \frac47, \frac35, \frac23, \frac57, \frac34, \frac45, \frac56, \frac 67, \frac11 \right)$

$\scriptstyle\left(\frac 01, \frac18, \frac17, \frac16, \frac15, \frac14, \frac27, \frac13, \frac38, \frac25, \frac37, \frac12, \frac47, \frac35, \frac58, \frac23, \frac57, \frac34, \frac45, \frac56, \frac 67, \frac78, \frac11 \right)$

Histoire

L'histoire des 'séries de Farey' est très curieuse — Hardy & Wright (1979) Chapitre III

... une fois encore, l'homme dont le nom fut donné à la relation mathématique n'était pas celui qui l'a découverte. — Beiler (1964) Chapitre XVI

Les suites de Farey furent nommées en l'honneur du géologue britannique, Sir John Farey. Sa lettre à propos de ces suites fut publiée dans le Philosophical Magazine en 1816. Farey conjectura que chaque terme dans une telle suite est le médian de ses voisins — néanmoins, à ce que l'on connaît, il ne prouva pas cette propriété. La lettre de Farey fut lue par Cauchy, qui donna la preuve dans ses Exercices de mathématique, et attribua ce résultat à Farey. En fait, un autre mathématicien, Charles Haros (en), publia des résultats similaires en 1802 qui ne fut pourtant certainement pas autant connu que Farey ou Cauchy. Ainsi, c'est un accident historique qui relie le nom de Farey à ces suites.

Propriétés

Nombre de termes d'une suite de Farey

La suite de Farey d'ordre $n$ contient tous les éléments des suites de Farey d'ordre inférieur. En particulier, $F_n$ contient tous les éléments de la suite $F_{n-1}$, ainsi qu'une fraction supplémentaire pour chaque entier inférieur à $n$ et premier avec $n$. Ainsi, la suite $F_6$ est composée des éléments de la suite $F_5$ auxquels il faut ajouter les fractions $1/6$ et $5/6$. Le terme médian d'une suite de Farey est toujours $1/2$, lorsque $n > 1$.

Il est possible de relier le nombre de termes de $F_n$ (noté $|F_n|$) et celui de $F_{n-1}$ en utilisant l'indicatrice d'Euler $\varphi\,$ :

$|F_n| = |F_{n-1}| + \varphi(n)$

En utilisant le fait que $|F_1| = 2$, le nombre de termes de $F_n$ peut donc s'exprimer en fonction de $n$ de la façon suivante :

$|F_n| = 1 + \sum_{m=1}^n \varphi(m)$

Le comportement asymptotique de $|F_n|$ est :

$|F_n| \sim \frac {3n^2}{\pi^2}$

Les voisins dans une suite de Farey

Les fractions qui sont des termes voisins dans une suite de Farey ont les propriétés suivantes.

Si $a/b$ et $c/d$ sont voisins dans une suite de Farey, avec $a/b < c/d$, alors leur différence $c/d-a/b$ est égale à $1/bd$. Comme

$\frac{c}{d}-\frac{a}{b}=\frac{bc-ad}{bd}$,

il est équivalent de dire ceci

$bc - ad = 1$

Ainsi $1/3$ et $2/5$ sont voisins dans $F_5$, et leur différence est $1/15$. L'inverse est également vrai dans certaines condition (voir ci-après). . Si

$bc - ad = 1$

Mais l’inverse n’est pas vrai dans certains cas, en effet : Soit p un nombre impair, pour tout entier b inférieur ou égal à p, si nous comparons les deux rationnels 1/b et 1/(b-1) : on a toujours bc-ad=1 vérifié car b*1 – 1*(b-1) = 1, or ces deux rationnels ne sont pas toujours consécutifs dans la suite de Farey Fp, en effet, si b = (p+1)/2 (et dans ce cas b est bien inférieur à p et est entier car p est impair donc p+1 est pair) on remarque que : 1/((p+1)/2) < 2/p < 1/((p+1)/2 - 1) en effet Pour la 1e inégalité ((p+1)/2)*2 – p = 1 et pour la seconde, p*1 – 2* ((p+1)/2 - 1) = 1 Ainsi 2/p vient bien se placer entre deux rationnels qui pourtant satisfont à la règle bc-ad=1 ! Exemple : pour Fp avec p=11 : (p+1)/2=6 on a bien 1/6 < 1/5 et 6*1 – 5*1 = 1 mais 1/6 < 2/11 avec 6*2 – 1*11 = 1 , et 2/11 < 1/5 avec 11*1 – 2*5 = 1 Ainsi, dès que le dénominateur b de la fraction1/b de la suite de Farey d’ordre p impair atteint la valeur (p+1)/2 (ou p/2 si p est pair), l'inverse n'est donc plus vrai.

pour les entiers naturels $a$, $b$, $c$ et $d$ alors $a/b$ et $c/d$ sont voisins dans la suite de Farey d'ordre $\max(b,d)$.

Si $a/b$, $p/q$ et $c/d$ sont voisins dans une suite de Farey, tels que

$a/b < p/q < c/d$

alors $p/q$ est le médian de $a/b$ et $c/d$ — c'est-à-dire que l'on a

$\frac{p}{q}=\frac{a+c}{b+d}$.

Si de plus on suppose que $q > \max(b, d)$ alors la fraction $a+c/b+d$ est en forme irréductible.

Et, si $a/b$ et $c/d$ sont voisins dans une suite de Farey alors le premier terme qui apparaît entre eux lorsque l'ordre de la suite de Farey est augmenté est le médian

$\frac{a+c}{b+d}$,

lequel apparaît en premier dans la suite de Farey d'ordre $b+d$.

Ainsi, le premier terme apparaissant entre $1/3$ et $2/5$ est $3/8$, qui apparaît dans $F_8$.

L'arbre de Stern-Brocot est une structure de données montrant comment la suite est construite à partir de 0 (= $0/1$) et 1 (= $1/1$), en prenant les médians successifs.

Les fractions qui apparaissent comme voisines dans une suite de Farey ont des développements en fraction continue reliés. Si $p/q$ admet le développement en fraction continue

$[0;a_1, a_2, ..., a_{n-1}, a_n, 1]$

alors les deux voisins les plus proche de $p/q$ dans $F_q$ ont pour développement en fraction continue

$[0; a_1, a_2, ..., a_{n-1}, a_n]$

$[0; a_1, a_2, ..., a_{n-1}]$

Ainsi $3/8$ a pour développement en fraction continue $[0;2,1,1,1]$, et ses voisins dans $F_8$ sont $2/5$ qui admet le développement $[0;2,1,1]$ et $1/3$ qui se développe en $[0;2,1]$.

Article détaillé : Arbre de Stern-Brocot.

Cercles de Ford

Il existe une relation intéressante entre les suites de Farey et les cercles de Ford.

Pour toute fraction (réduite) $p/q$ il existe un cercle de Ford $C[p/q]$, qui est le cercle de rayon $1/2q^2$ et de centre $(p/q, 1/2q^2)$. Les cercles de Ford correspondant à deux fractions distinctes sont soit disjoints soit tangents - deux cercles de Ford ne peuvent pas être sécants. Si $0 < p/q < 1$, alors les cercles de Ford qui sont tangents à $C[p/q]$ sont précisément les cercles de Ford associés aux fractions qui sont voisines de $p/q$ dans une suite de Farey.

Ainsi $C[2/5]$ est tangent à $C[1/2]$, $C[1/3]$, $C[3/7]$, $C[3/8]$, etc.

Article détaillé : Cercle de Ford.

Hypothèse de Riemann

Les suites de Farey sont utilisées dans deux formulations équivalentes de l'hypothèse de Riemann. Supposons que les termes de $F_n\,$ soient $\{a_{k,n} : k = 0, 1, \ldots m_n\}\,$. Définissons $d_{k,n} = a_{k,n} - k/m_n\,$, en d'autres mots $d_{k,n}$ est la différence entre le k-ème terme de la n-ème suite de Farey, et le k-ème membre d'un ensemble de même nombre de points, distribués également sur l'intervalle unité. Jérôme Franel a démontré que l'assertion

$\sum_{k=1}^{m_n} d_{k,n}^2 = O(n^r) \quad \forall r>-1$,

est équivalente à l'hypothèse de Riemann, puis Landau a remarqué, à la suite de l'article de Franel, que l'assertion

$\sum_{k=1}^{m_n} |d_{k,n}| = O(n^r)\quad \forall r>1/2$,

y est également équivalente.

($O(n^r)$ est la notation de domination de Landau)

Article détaillé : Hypothèse de Riemann.

Un algorithme simple

De manière surprenante, un algorithme simple existe pour engendrer les termes dans un ordre, soit traditionnel (ascendant), soit non-traditionnel (descendant) :

 100   'Code UBASIC pour engendrer une Suite de Farey d'ordre N dans l'ordre traditionnel
 110   N=7:NumTerms=1
 120   A=0:B=1:C=1:D=N
 140   print A;B
 150   while (C<N)
 160      NumTerms=NumTerms+1
 170      K=int((N+B)/D)
 180      E=K*C-A:F=K*D-B
 190      A=C:B=D:C=E:D=F:print A;B
 200   wend
 210   print NumTerms
 220   end

Cet algorithme se déduit du fait que, si $a/b$ et $c/d$ sont deux termes successifs dans une suite de Farey alors les successeurs de $c/d$ sont tous de la forme $(kc - a)/(kd - b)$. Pour trouver le successeur à l'ordre $n$ il faut trouver le plus grand $k$ tel que $kd - b \leq n$ et celui-ci est fourni par la partie entière du quotient de $n+b$ par $d$.

Pour engendrer la suite dans un ordre descendant (non-traditionnel) :

 120   A=1:B=1:C=N-1:D=N
 150   while (A>0)

Des recherches en force brute pour les solutions d'équations diophantiennes rationnelles peuvent souvent prendre l'avantage sur les suites de Farey (pour chercher seulement celles en formes réduites); la ligne 120 peut aussi être modifiée pour inclure deux termes adjacents quelconques afin d'engendrer seulement les termes plus grands (ou plus petits) qu'un terme donné.

Références

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Farey sequence » (voir la liste des auteurs)
• (en) Albert Beiler, Recreations in the Theory of Numbers, 2^e éd., 1964, Dover (ISBN 0486210960)
• (en) G. H. Hardy et E. M. Wright, An Introduction to the Theory of Numbers [détail des éditions] 

Liens externes

• (en) Suites de Farey sur cut-the-knot
• (en) Eric W. Weisstein, « Farey Sequence », MathWorld