Ensemble bien ordonné

Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.
Aller à : navigation, rechercher

En mathématiques, un ensemble ordonné (E, ≤) est bien ordonné et la relation ≤ est un bon ordre si la condition suivante est satisfaite :

Toute partie non vide de E possède un plus petit élément.

Si (E, ≤) est bien ordonné alors ≤ est nécessairement un ordre total, c'est-à-dire que deux éléments quelconques x et y de E sont toujours comparables. En effet, l'ensemble { x , y } possède un plus petit élément, donc on a xy ou yx.

Si de plus l'axiome du choix dépendant est vérifié, cette propriété (être bien ordonné) est équivalente à dire qu'il n'existe pas de suite infinie strictement décroissante. D'après le théorème de Zermelo, l'axiome du choix dans toute sa force équivaut au fait que tout ensemble peut être bien ordonné, et donc peut être rendu isomorphe à un ordinal.

Exemples[modifier | modifier le code]

  • L'ensemble vide, muni du seul ordre qui y soit possible : (Ø, Ø) (c'est le plus petit ordinal).
  • L'ensemble des entiers naturels, muni de l'ordre habituel des entiers : (\N,\leqslant_{\,_\N}), souvent noté ω dans ce contexte (c'est le plus petit ordinal infini).
  • Plus généralement, tout ordinal est, par définition, bien ordonné.
  • Toute partie d'un ensemble bien ordonné est elle-même bien ordonnée (pour l'ordre induit).
  • Par contre, un ensemble ordonné non vide qui n'a pas de plus petit élément (comme celui des entiers relatifs ou comme l'intervalle réel ]0,1[, munis de leurs ordres usuels) n'est pas bien ordonné, par définition
  • Les intervalles réels [0, 1[ et [0, 1] ne sont pas bien ordonnés : la partie non vide ]0, 1[ n'a pas de plus petit élément.

Prédécesseurs et successeurs[modifier | modifier le code]

Soit (E, ≤) un ensemble bien ordonné non vide.

  • Il a un plus petit élément, mais peut (comme dans le cas E = ω, l'ensemble des entiers) ne pas en avoir de plus grand ; mais rien n'empêche de lui en ajouter un — c'est le tout début d'une construction naïve des ordinaux transfinis.
  • Soit α un élément de E : si α n'est pas le plus grand élément de E, il existe, parmi les éléments de E strictement supérieurs à α, un plus petit élément β, appelé successeur de α et noté souvent α + 1, dont α est le prédécesseur.
  • Un élément de E a au plus un prédécesseur ; le plus petit élément n'en a évidemment pas et c'est le seul cas pour E = ω, mais en général, dans un ensemble bien ordonné E, beaucoup d'éléments n'ont pas de prédécesseur. Un élément de E ayant un prédécesseur est dit de première espèce (ou successeur), et de deuxième espèce (ou limite) sinon, et s'il n'est pas le plus petit élément de E. Cette distinction est souvent utile pour raisonner par récurrence transfinie.

Théorème[modifier | modifier le code]

Tout ensemble bien ordonné est isomorphe à un et un seul nombre ordinal.

Bon ordre fini[modifier | modifier le code]

Un bon ordre (E, ≤) est dit fini si toute partie non vide de E a un plus grand élément.

On montre que les ordinaux finis sont les entiers naturels.

Par conséquent un ensemble est fini si et seulement si on peut le munir d'un bon ordre fini.

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Relation bien fondée