Décroissance exponentielle

La décharge d'un condensateur est une décroissance exponentielle.

Une quantité est dite sujette à une décroissance exponentielle si elle diminue à un taux proportionnel à sa valeur. Mathématiquement, cela peut être exprimé par l'équation différentielle suivante, avec N la quantité et λ un nombre positif appelé la « constante de décroissance » :

${\dfrac {\mathrm {d} \mathrm {N} \left(t\right)}{\mathrm {d} t}}=-\lambda \mathrm {N} \left(t\right).$

La solution de cette équation est, en notant N₀ la valeur de N à l'instant t = 0 :

$\mathrm {N} \left(t\right)=\mathrm {N} _{0}e^{-\lambda t}.\,$

Démonstration

Remarque : si λ est négatif, on a plutôt croissance exponentielle du phénomène.

On part de la définition sous forme d'une équation différentielle :

${\dfrac {\mathrm {d} \mathrm {N} (t)}{\mathrm {d} t}}=-\lambda \mathrm {N} (t)$

En séparant les variables, on obtient :

${\dfrac {\mathrm {d} \mathrm {N} (t)}{\mathrm {N} (t)}}=-\lambda \mathrm {d} t.$

Alors, en intégrant entre l'instant initial et t :

$\int _{0}^{t}{\dfrac {\mathrm {d} \mathrm {N} (t')}{\mathrm {N} (t')}}=\int _{0}^{t}-\lambda \mathrm {d} t'$

Ce qui s'intègre en :

$\ln \left[\mathrm {N} (t)\right]-\ln \left[\mathrm {N} _{0}\right]=-\lambda t$

Soit enfin :

$\mathrm {N} (t)=\mathrm {N} _{0}e^{-\lambda t}$

Quantités dérivées

Demi-vie (médiane) et durée de vie moyenne (espérance) d'une population ayant une décroissance exponentielle.

Durée de vie moyenne

Si on considère que la quantité N qui décroît est discrète, c'est-à-dire que N mesure le nombre d'élément d'un ensemble, alors on peut donner une expression de la durée de vie moyenne d'un élément dans cet ensemble :

$\tau ={\dfrac {1}{\lambda }}$

On l'appelle aussi « constante de temps ». La fonction N vérifie alors :

$\mathrm {N} (t)=\mathrm {N} _{0}e^{-t/\tau }\,$

Demi-vie

Il est plus courant de faire usage de la demi-vie d'un système à décroissance radioactive, qui correspond à la durée au bout de laquelle la quantité N est divisée par 2. On note souvent cette durée $t_{1/2}$. Elle est reliée à la constante de décroissance et à la constante de temps par les relations :

$t_{1/2}={\dfrac {\ln 2}{\lambda }}=\tau \ln 2$

On peut également remplacer l'exponentielle de l'expression de la demi-vie pour obtenir :

$\mathrm {N} (t)=\mathrm {N} _{0}2^{-t/t_{1/2}}\,$

Lien entre demi-vie et vie moyenne

Soit un ensemble de N particules qui vérifient la relation différentielle:

dN / dt = - λ × N ; d'où : N = N_o × e^{- λ × t}

A l'instant t , (- dN) particules meurent durant le laps de temps dt, elles ont vécu durant un temps t.

La vie moyenne de l'ensemble des particules est donc égale à:

τ = ( 1 / N_o ) × _No∫^o t × (- dN)

τ = ( 1 / N_o ) × _o∫^∞ λ × N_o × e^{-λ × t}

dt τ = λ × _o∫^∞ × e^{- λ × t} dt

On remarque alors que d/dt( (t × e^{-λ × t} + ( 1 / λ ) × e^{- λ × t} ) / ( - λ ) ) = t × e^{-λ × t}

d' où : τ = λ × [ (t × e^{-λ × t} + ( 1 / λ ) × e^{- λ × t} ) / ( - λ )_o]^∞

τ = - ( 0 + 0 - ( 0 + 1 / λ ) ) = 1 / λ

τ = 1 / λ

Utilisation

En physique, la décroissance exponentielle est caractéristique des phénomènes sans vieillissement, c'est-à-dire qui se produisent avec une égale probabilité quelle qu'ait été leur durée de vie. Exemples, le suivi de la diminution :

• du nombre de noyaux radioactifs lors d'une désintégration radioactive d'un élément radioactif ;
• du nombre des charges électriques lors de la décharge électrique d'un condensateur ;
• de la température d'un corps au refroidissement, sans changement de phase ;
• de l'amplitude lors de l'oscillations harmoniques amorties d'un pendule ;
• de la vitesse des réactions chimiques du premier ordre ;
• de l’intensité des ondes électromagnétiques traversant un milieu absorbant ;
• de l’intensité d’émission de la luminescence après excitation.

En biologie, une telle décroissance peut modéliser l'élimination d'un produit dans le sang, au cours du temps.

En fiabilité, la décroissance exponentielle décrit le comportement d'un système manufacturé ayant un taux de décroissance instantané constant.