Discussion:Preuve sans mots

preuve sans mot du théorème de Pythagore

Comme je l'ai déjà indiqué dans la page de discussion du théorème de Pythagore, cet image n'illustre pas le théorème de Pythagore mais un théorème voisin. Selon Karine Chemla, (les neuf chapitres p 674) elle est accompagnée du commentaire "le carré de l'hypoténuse est vermillon et jaune", Une aire vermillon vaut 6 (et correpond à l'aire d'un triangle rectangle) et l'aire jaune vaut 1 (et correspond à l'aire du carré central). En langage algébrique cela donne seulement c²=4(ab/2)+(b-a)².

On y lit aussi(avec plus de difficultés) que 2c²-(b-a)²=(b+a)² (si on double le carré de l'hypoténuse et qu'on enlève le carré central, on ne fait que doubler les triangles rectangles donc déplier le carré de côté a+b)

Il faut ensuite une page de commentaires de Liu Hui (problème 9-11) et 4 pages d'analyse (p 677à 681) de Karine Chemla pour montrer comment, de cette figure, on déduit le théorème de Pythagore. Il ne me parait donc pas judicieux de le présenter comme une preuve sans mot du théorème de Pythagore. HB (d) 16 avril 2010 à 09:10 (CEST)

Preuve sans mot de la somme des entiers et de la somme des cubes

Il existe une preuve simple de la formule de la somme des entiers à l'aide de Nombre triangulaire,

Preuve sans mot de la formule $\sum _{k=1}^{n}k\times k^{2}=\left(\sum _{k=1}^{n}k\right)^{2}$

Il existe aussi une preuve sans mot (qui demande cependant un peu de réflexion) du fait que la somme des cubes des premiers entiers est égal au carré de la somme des entiers. Elle figure dans le le mathx de Ts (programme 2002), proposé par Solomon colomb en 1984 et présent dans le livre de J.P. Delahaye jeux mathématiques et mathématiques des jeux. Si tu veux j'en fais un dessin. HB (d) 16 avril 2010 à 09:31 (CEST)

Je te réponds ici : d'accord pour ça ; je possède de nombreux autres exemples, cela dit, et à ce compte, je préfère nettement la preuve suivante donnant la formule de la somme des carrés : [1] ... sauf qu'elle est photocopiée du bouquin de Nelsen... Et bon, le but est plutôt de donner des exemples représentatifs, et il me semble que mon commentaire pour Pythagore montre clairement le problème (et l'intérêt historique du diagramme proposé); la référence donnée en note n'est, en revanche, peut-être pas suffisante pour justifier qu'il s'agisse bien d'une "preuve sans mots" , d'où l'adjonction de quelque chose de plus clair. Mais mon principal problème, c'est plutôt le choix maladroit fait par WPen de l'inégalité de Jensen (et que j'ai copié pour aller vite) ; il me semble qu'il y a de bien meilleurs exemples à prendre chez Nelsen ... sauf qu'il faut évidemment refaire des diagrammes--Dfeldmann (d) 16 avril 2010 à 09:46 (CEST)

Bon voilà donc mon dessin. Reste que J.P. Delahaye l'attribue à un certain Solomon Colomb alors que le nom, la date et les préoccupations correspondent davantage à Solomon W. Golomb. Malheureusement je n'ai rien pour confirmer mon intuition. HB (d) 17 avril 2010 à 14:50 (CEST)

Très intéressante, cette page, en effet. Sur la valeur de la somme des entiers, il y a aussi le calcul de la valeur comme somme d'aires de rectangles, qui est très visuelle. Au fait, la formule a+b au carré est-elle trop élémentaire pour figurer ici? Faut-il parler de comparaison série-intégrale? Asram (d) 16 avril 2010 à 12:10 (CEST)

Pour le binôme, il existe ce dessin

Asram (d) 16 avril 2010 à 21:51 (CEST)

Preuve sans mot

Une bien jolie idée !

Tu disposes de la référence suivante, qui devrait t'amuser, si tu ne la connais pas : 'les preuves sans mot par acromath'.

Je partage ton opinion, la plus jolie de toutes me semble ta somme des carrés, si tu ne trouves pas d'image, fais moi signe. Si tu me proposes un cahier des charges précis (couleur ? Noir et blanc ? un chiffre est-il un mot ?) je te fais cela ce week-end et je le met sur Common.

Une très jolie démonstration est celle du théorème du point fixe de Brouwer par le jeu de Hex. Mais respecte-t-elle la règle du jeu ? Je ne sais pas si elle est sourçable. Je te propose aussi Le loup, la chèvre et la salade à 'proof without words'.

Il faudra réfléchir aux liens qui pointent vers ton article. Mon intuition me laisse penser que quelqu'un trouvant son bonheur dans l'article algèbre géométrique n'est pas nécessairement intéressé par l'article de cette PdD. En revanche, le public de cet article est probablement nombreux. Il faut en conséquence réfléchir à la manière dont un lecteur intéressé par ton approche va trouver ta contribution. Sinon, les quatre cinquièmes des gens que ton travail aurait passionné ne le connaîtra pas.

Je propose aussi un sourçage précis, ce type d'article est probablement sujet à des initiatives de bonnes volontés maladroites qui défigurerait rapidement un magnifique sujet.

Merci pour le plaisir que tu m'as procuré en lisant cet article.Jean-Luc W (d) 16 avril 2010 à 10:46 (CEST)

PS : Je pense à un autre sujet, suffisamment connexe pour que tu puisses avoir envie de le traiter et suffisamment distinct pour pouvoir ne pas être abordé. Une preuve sans mot est-elle une preuve ? De nombreux exemples montrent que cette démarche est dangereuse et Euler s'est trompé avec sa relation entre les sommets, les arrêtes et les faces d'un polyèdre. Gauss refusait toute construction géométrique comme preuve (même s'il s'en servait abondamment pour comprendre les mécanismes). En revanche, des arguments géométriques (qui me semble l'essence même de la preuve sans mot) a fait faire de nombreux progrès en mathématiques (je pense aux démonstrations arithmétiques de Minkowski par exemple). Voilà un débat didactique qui me semble digne d'intérêt, mais que l'on peut aussi considérer comme hors sujet. A toi de voir ! Jean-Luc W (d) 16 avril 2010 à 11:06 (CEST)

"Une preuve sans mot est-elle une preuve ?"

La "preuve" que 64 = 65 bien connue qu'on trouve par exemple ici pourrait illustrer les risques de trop se baser sur des graphiques. Un paragraphe sourcé sur ce sujet serait sans doute intéressant. ---- El Caro ^bla 16 avril 2010 à 13:30 (CEST)

Oh, la source, je l'ai  : j'ai récemment restauré (ravalé? refondu?) l'article Paradoxe du carré manquant. Mais is tu veux te charger de rédiger n peu ça, et surtout de créer les liens, je t'en serai fort reconnaissant...--Dfeldmann (d) 16 avril 2010 à 14:37 (CEST)

preuve sans mot de l'inégalité de Hölder

En fait de l'inégalité préparatoire suivante (après il suffit de sommer):

• pour a et b positifs, $ab\leq {\frac {a^{p}}{p}}+{\frac {b^{q}}{q}}$

avec 1/p+1/q=1. Le Kirillov et Gvichiani l'illustre ainsi: on trace la courbe C: y=x^(p-1) qui est aussi la courbe x=y^(q-1); on place a sur l'axe des x et b sur l'axe des y; on trace la verticale joignant (a,0) à la courbe C, on délimite ainsi une aire égale à a^p/p; on trace l'horizontale joignant (0,b) à la courbe C on délimite ainsi une aire égale à b^q/q. Or la somme des deux aires est plus grande que l'aire du rectangle qui vaut ab. Je ne sais pas si ça rentre dans le cadre de cette page? Asram (d) 16 avril 2010 à 16:34 (CEST)

Ben oui, c'est encore une variante de l'inégalité de Jensen, non?--Dfeldmann (d) 16 avril 2010 à 18:50 (CEST)

Euh, si tu le dis, dans la démo. de Kirilov, la valeur se voit sur une aire, pas comme une valeur sur une courbe, mais bon, tant pis. Asram (d) 16 avril 2010 à 19:16 (CEST)

Oui, désolé, c'est une confusion avec l'inégalité de Young, dont je connaissais aussi cette preuve visuelle (elle est dans le bouquin de Nelsen) --Dfeldmann (d) 16 avril 2010 à 22:40 (CEST)

La preuve visuelle existe sur l'article allemand et anglais pour la version généralisée de l'inégalité de Young. J'en profite pour dire que la version française de la forme généralisée est incompréhensible avec son renvoi sur l'article très ésotérique transformation de Legendre. Je n'ai même pas cherché à comprendre ce dernier ni à voir s'il est en adéquation avec le sens à donner au terme de transformée de Legendre. Une forme généralisée écrite comme $ab\leq \int _{0}^{a}f(x)dx+\int _{0}^{b}f^{-1}(y)dy$ m'aurait paru cent fois plus claire. HB (d) 17 avril 2010 à 14:58 (CEST)

100% d'accord ; je m'en va de ce pas détruire l'article pour le récrire sur ces bases--Dfeldmann (d) 17 avril 2010 à 20:51 (CEST)

Je ne connaissais pas la terminologie inégalité de Young. S'il y a une illustration graphique sur ces articles anglais et allemand, elle est exploitable ici, non? Pour ceux qui savent faire de beaux dessins, c'est possible de reprendre le carré plus haut et d'indiquer le nom des longueurs? Asram (d) 17 avril 2010 à 18:23 (CEST)

Je crois que c'est un choix de Jean-Luc de n'avoir mis aucune lettre mais si tu en souhaites tu as le choix commons:Category:Binomial_theorem. HB (d) 17 avril 2010 à 18:34 (CEST)

J'essaye souvent d'éviter de mettre des lettres pour permettre une réutilisation pour les autres qui n'ont pas nécessairement le choix des lettres, mais cela me prendra deux secondes de mettre celles que souhaite Dfeldmann, si cela peut aider. Jean-Luc W (d) 17 avril 2010 à 22:55 (CEST)

Pour le coup du carré, cest pas trop utile, mais pour 1+4+9+...n^2=n(n+1)(2n+1)/6, je usis preneur... Un truc sobre, en noir , blanc et un peu de gris, rprennt à peu près la photocopie que je donne ? Ca ferait quatre exemples, assez différents et complémentaires, je trouve--Dfeldmann (d) 17 avril 2010 à 23:14 (CEST)

Personnellement, je préfère un peu de couleur.

Mais des goûts et des couleurs ... Dis moi si cela te convient.Jean-Luc W (d) 18 avril 2010 à 10:14 (CEST)

Je vais incorporer ça à l'article de ce pas--Dfeldmann (d) 18 avril 2010 à 10:18 (CEST)

Des idées pour l'introduction ?

Cette animation est une preuve sans mots moderne d'un résultat ancien : le théorème de Pythagore.

En mathématiques, une preuve sans mots (ou une démonstration visuelle) est une démonstration d'une identité (ou d'une affirmation mathématique plus générale) à l'aide d'un diagramme la rendant évidente, sans qu'il soit besoin d'un texte plus explicite le commentant. Quand le diagramme n'en illustre qu'un cas particulier, il faut que sa généralisation ne demande au lecteur qu'un effort minimal.

Ces raisonnements sont le moteur de nombreuses preuves. Historiquement, les démonstrations des grecs de l'antiquité s'appuient souvent sur cette logique, comme le montre l'étude de leurs algèbre géométrique. Des démonstrations plus modernes comme l'inégalité de Young s'appuient sur le même principe.

Cependant, l'histoire montre qu'une telle approche peut cacher des erreurs ou omissions. Au XIX^e siècle, une preuve de Jakob Steiner sur l'isopérimétrie cache une faille de raisonnement qui datait déjà de plus de 2 000 ans. D'autres démonstrations erronées sont maintenant construites, illustrant le danger d'une telle démarche. Le paradoxe du carré manquant est un exemple.

Ce type de preuve reste d'actualité, de par l'élégance de la démarche. Cependant, les critères mathématiques actuels imposent l'ajout de commentaires, pour que la démonstration soit considérée comme complète.

Je te propose Dfeldmann, cette nouvelle introduction. Elle me semble permettre au premier coup d'oeil de comprendre le concept et le sujet de l'article (l'animation serait alors à déplacer). Elle insiste aussi plus sur le fait que l'absence supposée de rigueur d'une telle démarche n'est pas uniquement le fruit d'examinateurs sadiques, mais aussi le résultat d'erreurs historiques. L'exemple du paradoxe du carré manquant me semble plus une amusante construction qu'un véritable risque pour un élève mathématicien. Tu en fais ce que tu veux, c'est à dire que je te laisse intégrer dans l'article ce que tu estimes utile. Si tu penses que les idées sous-jacentes ne sont pas pertinentes, je n'ai aucun souci à ce que tu n'en reprennes aucune. N'oublions pas que je n'ai pas lu les références et que je connais fort mal le sujet. Jean-Luc W (d) 18 avril 2010 à 13:40 (CEST)

pourquoi pas (et on pourrait aussi ajouter la preuve de Kempe du ht. des 4 couleurs), mais, à mon avis, pas dans l'intro, plutôt dans la section finale--Dfeldmann (d) 18 avril 2010 à 14:55 (CEST)