Constante oméga

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En mathématiques, la constante oméga, notée Ω, est une constante définie par l'égalité

\Omega\,e^{\Omega}=1.

Ω est une valeur particulière de la fonction W de Lambert. Il ne faut pas la confondre avec la constante Oméga de Chaitin, constante mathématique définie en théorie algorithmique de l'information.

Définition[modifier | modifier le code]

Par définition, \Omega est la valeur de la fonction W de Lambert en 1 : \Omega=W_0(1)\,.

Le nom de la constante provient de l'autre appellation de cette fonction : la fonction oméga.

Du fait de la définition de la fonction W :

\Omega\,e^{\Omega}=1

e est la base des logarithmes naturels.

Propriétés[modifier | modifier le code]

Valeur approchée[modifier | modifier le code]

La valeur approchée de \Omega est :

Ω = 0,5671432904… (suite A030178 de l'OEIS).

Autres définitions[modifier | modifier le code]

\Omega peut être perçue comme une sorte de nombre d'or appliqué à l'exponentielle, puisque :

\Omega = \frac {1}{e^{\Omega}}

ou encore

\Omega = \ln \left( \frac {1}{\Omega} \right).

On peut calculer \Omega de manière itérative, en commençant avec une valeur initiale \Omega_0 et en calculant les termes de la suite \Omega_{n+1}=e^{-\Omega_n}.

Cette suite converge vers \Omega.

Certaines intégrales ont une valeur faisant intevenir la constante oméga :

\int_{-\infty}^\infty \frac{1}{(e^x-x)^2+\pi^2} \, dx = \frac{1}{1+\Omega}.

Par comparaison \int_{-\infty}^\infty \frac{1}{(e^x-x+1)^2+\pi^2} \, dx = \frac{1}{2}.

Irrationalité et transcendance[modifier | modifier le code]

Ω est un nombre irrationnel. Ceci découle du fait que e est transcendant. En effet, si \Omega était rationnel, alors il existerait des entiers p et q tels que : \Omega = \frac{p}{q}\;, et donc : 1 = \frac{p e^{\frac {p}{q}}}{q}, soit :

e = \sqrt [p]{\frac{q^q}{p^q}}

et e serait donc algébrique de degré p. Cependant e étant transcendant, \Omega est irrationnel.

Le fait que \Omega soit un nombre transcendant est une conséquence directe du théorème de Lindemann-Weierstrass.

Si \Omega était algébrique, e^{\Omega} serait transcendant et \frac {1}{e^{\Omega}} également. Mais cela contredit l’hypothèse selon laquelle il serait algébrique.

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Liens internes[modifier | modifier le code]

Liens externes[modifier | modifier le code]