Fonction polylogarithme

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Page d'aide sur l'homonymie Les polylogarithmes ne doivent pas être confondus avec les fonctions polylogarithmiques, ni avec l'écart du logarithme intégral qui possède une notation similaire.

La fonction polylogarithme (aussi connue sous le nom de fonction de Jonquière) est une fonction spéciale et peut être définie pour tout s et |z|<1 par :


Li_s(z)=\sum_{k=1}^\infty {z^k \over k^s}.

Le paramètre s et l'argument z sont pris sur l'ensemble ℂ des nombres complexes. Les cas particuliers s=2 et s=3 sont appelés le polylogarithme d'ordre 2 ou dilogarithme et le polylogarithme d'ordre 3 ou trilogarithme respectivement. Le polylogarithme apparaît aussi dans la forme fermée de l'intégrale de la distribution de Fermi-Dirac et la distribution de Bose-Einstein et est quelquefois connue comme l'intégrale de Fermi-Dirac ou l'intégrale de Bose-Einstein.

Par prolongement analytique, on peut également donner un sens au polylogarithme pour |z|≥1.

Différentes fonctions polylogarithmes dans le plan complexe :
Complex polylogminus3.jpg
Complex polylogminus2.jpg
Complex polylogminus1.jpg
Complex polylog0.jpg
Complex polylog1.jpg
Complex polylog2.jpg
Complex polylog3.jpg

\operatorname{Li}_{-3}(z)

\operatorname{Li}_{-2}(z)

\operatorname{Li}_{-1}(z)

\operatorname{Li}_{0}(z)

\operatorname{Li}_{1}(z)

\operatorname{Li}_{2}(z)

\operatorname{Li}_{3}(z)

Propriétés[modifier | modifier le code]

Dans le cas important où le paramètre s est un nombre entier, il sera représenté par n (ou -n lorsqu'il est négatif). Il est souvent pratique de définir \mu = \ln(z) où ln est la branche principale du logarithme naturel, c’est-à-dire - \pi < \Im(\mu) \le \pi. Ainsi, toute l'exponentiation sera supposée être à valeur unique. (e.g. z^s = e^{(s \ln(z))}).

Dépendant du paramètre s, le polylogarithme peut être à valeurs multiples. La branche principale du polylogarithme est celle pour laquelle Li_s(z) est réel pour z réel, 0 \le z \le 1 et est continu excepté sur l'axe des réels positifs, où une coupure est faite de z=1 à l'infini telle que la coupure place l'axe réel sur le demi-plan le plus bas de z. En termes de \mu, ceci s'élève à - \pi < \arg(-\mu) \le \pi. Le fait que le polylogarithme puisse être discontinu en \mu peut causer une certaine confusion.

Pour z réel et supérieur ou égal à 1, la partie imaginaire du polylogarithme est (Wood 1992) :

\textrm{Im}(Li_s(z)) = -{{\pi \mu^{s-1}}\over{\Gamma(s)}}.

En traversant la coupure :

\lim_{\delta\rightarrow 0^+}\textrm{Im}(Li_s(z+i\delta)) = {{\pi \mu^{s-1}}\over{\Gamma(s)}}.

Les dérivées du polylogarithme sont :

z{\partial Li_s(z) \over \partial z} = Li_{s-1}(z),\qquad{\partial Li_s(e^\mu) \over \partial \mu} = Li_{s-1}(e^\mu).

Valeurs particulières[modifier | modifier le code]

Voir aussi la section « Relation de parenté avec les autres fonctions » ci-dessous.

Pour les valeurs entières de s, nous avons les expressions explicites suivantes :

Li_{1}(z)  = -\textrm{ln}\left(1-z\right)

Li_{0}(z)  = {z \over 1-z}

Li_{-1}(z) = {z \over (1-z)^2}

Li_{-2}(z) = {z(1+z) \over (1-z)^3}

Li_{-3}(z) = {z(1+4z+z^2) \over (1-z)^4}.

Le polylogarithme, pour toutes les valeurs entières négatives de s, peut être exprimé comme un rapport de polynômes en z (Voir les représentations en série ci-dessous). Certaines expressions particulières pour les demi valeurs entières de l'argument sont :

Li_{1}\left(1/2\right) = \textrm{ln}(2)

Li_{2}(1/2) = {1 \over 12}[\pi^2-6(\ln 2)^2]

Li_{3}(1/2) = {1 \over 24}[4(\ln 2)^3-2\pi^2\ln 2+21\,\zeta(3)]

\zeta est la fonction zêta de Riemann. Aucune formule similaire de ce type n'est connue pour des ordres plus élevés (Lewin 1991, p. 2).

Expressions alternatives[modifier | modifier le code]


Li_{s+1}(z) \equiv {1 \over \Gamma(s+1)}
\int_0^\infty {t^s \over e^t/z-1}~\mathrm dt
Celle-ci converge pour \Re(s) > 0 et tous les z excepté pour les z réels et supérieurs ou égaux à 1. Le polylogarithme dans ce contexte est quelquefois connu comme l'intégrale de Bose ou de Bose-Einstein.

-Li_{s+1}(-z) \equiv {1 \over \Gamma(s+1)}
\int_0^\infty {t^s \over e^t/z+1}~\mathrm dt.
Celle-ci converge pour \Re(s) > 0 et tous les z excepté pour les z réels et strictement inférieurs à -1. Le polylogarithme dans ce contexte est quelquefois connu comme l'intégrale de Fermi ou l'intégrale de Fermi-Dirac. (GNU)
  • Le polylogarithme peut plutôt être généralement représenté par une intégrale sur un contour de Hankel (en) (Whittaker et Watson 1927).
    • Tant que le pôle t=\mu de l'intégrande n'est pas relié à l'axe réel positif, et s \ne 1,2,3\ldots, nous avons :
    •  : 
Li_s(e^\mu)={{-\Gamma(1-s)}\over{2\pi i}}\oint_H {{(-t)^{s-1}}\over{e^{t-\mu}-1}}dt
    •  : Où H représente le contour de Hankel. L'intégrande possède une coupure le long de l'axe réel de zéro à l'infini, l'axe réel étant sur la moitié inférieure de la feuille (\Im(t) \le 0).
    • Pour le cas où \mu est réel et positif, nous pouvons simplement ajouter la contribution limitante du pôle :
    •  : 
Li_s(e^\mu)=-{{\Gamma(1-s)}\over{2\pi i}}\oint_H {{(-t)^{s-1}}\over{e^{t-\mu}}-1}dt
+ 2\pi i R
    •  : où R est le résidu du pôle :
    •  : 
R = {{\Gamma(1-s)(-\mu)^{s-1}}\over{2\pi}}
  • La relation carrée est facilement vue à partir de l'équation :
(voir aussi Clunie 1954 et Schrödinger 1952)

Li_s(-z) + Li_s(z) = 2^{1-s} ~ Li_s(z^2)
La fonction de Kummer obéit à une formule de duplication très similaire.

Relation de parenté avec les autres fonctions[modifier | modifier le code]

Li_s(1) = \zeta(s)~~~~~~~~~~~~~(\textrm{Re}(s)>1)

Li_s(-1) = \eta\left(s\right)
\eta(s) est la fonction êta de Dirichlet.
Pour des arguments imaginaires purs, nous avons :

Li_s(\pm i) = 2^{-s}\eta(s)\pm i \beta(s)
\beta(s) est la fonction bêta de Dirichlet.
  • Le polylogarithme est équivalent à l'intégrale de Fermi-Dirac (GNU)

F_s(\mu)=-Li_{s+1}(-e^\mu)\,
Li_s(z)=z~\Phi(z,s,1)

Li_s(e^{2\pi i x})+(-1)^s Li_s(e^{-2\pi i x})={(2\pi i)^s \over \Gamma(s)}~\zeta\left
(1-s,x\right)
\Gamma(s) est la fonction Gamma d'Euler. Ceci est valable pour
\textrm{Re}(s)>1, \textrm{Im}(x)\ge 0, 0 \le \textrm{Re}(x) < 1
et aussi pour
\textrm{Re}(s)>1, \textrm{Im}(x)\le 0, 0 <   \textrm{Re}(x) \le 1
(L'équation équivalente d'Erdélyi et al. 1981, § 1.11-16 n'est pas correcte si nous supposons que les branches principales du polylogarithme et le logarithme sont utilisés simultanément).
Cette équation fournit le prolongement analytique de la représentation en série du polylogarithme au-delà de son cercle de convergence |z|=1.

\zeta(-n,x)=-{B_{n+1}(x) \over n+1}
qui reste valable pour tous les x et n=0,1,2,3,... il peut être remarqué que :

Li_{n}(e^{2\pi i x})+ (-1)^n Li_{n}(e^{-2\pi i x}) 
= -{(2 \pi i)^n\over n!} B_n\left({x}\right)
sous les mêmes contraintes sur s et x comme ci-dessus. (L'équation correspondante d'Erdélyi et al. 1981, § 1.11-18 n'est pas correcte) Pour les valeurs entières négatives du paramètre, nous avons pour tous les z (Erdélyi et al. 1981, § 1.11-17) :

Li_{-n}(z)+ (-1)^n Li_{-n}\left(1/z\right)=0~~~~~n=1,2,3\ldots

Li_s(e^{\pm i \theta}) = Ci_s(\theta) \pm i Si_s(\theta)
  • La fonction tangente intégrale inverse Ti_s(z) (Lewin 1958, ch. VII, § 1.2) peut être exprimée en termes de polylogarithmes :

Li_s(\pm iy)=2^{-s}Li_s(-y^2)\pm i\,Ti_s(y)

\chi_s(z)={1 \over 2}~[Li_s(z)-Li_s(-z)]

Li_{n}(e^\mu)=\sum_{k=0}^{n-1}Z_{n-k}(-\mu){\mu^k \over k!}~~~~~~(n=1,2,3,\ldots)
Une expression remarquablement similaire relie la fonction de Debye au polylogarithme :

Z_n(\mu)=\sum_{k=0}^{n-1}Li_{n-k}(e^{-\mu}){\mu^k \over k!}~~~~~~(n=1,2,3,\ldots)

Représentations en séries[modifier | modifier le code]

  • Nous pouvons représenter le polylogarithme comme une série de puissances pour \mu=0 comme suit (Robinson 1951). Considérons la transformation de Mellin :
    
M_s(r)
=\int_0^\infty \textrm{Li}_s(fe^{-u})u^{r-1}~\mathrm du
={1 \over \Gamma(s)}\int_0^\infty\int_0^\infty
{t^{s-1}u^{r-1} \over e^{t+u}/f-1}~\mathrm dt~\mathrm du
    Le changement de variables t=ab, u=a(1-b) permet à l'intégrale d'être séparée :
    
M_s(r)={1 \over \Gamma(s)}\int_0^1 b^{r-1}
(1-b)^{s-1}~\mathrm db\int_0^\infty{a^{s+r-1} \over e^a/f-1}~\mathrm da
= \Gamma(r)\textrm{Li}_{s+r}(f)
    pour f=1 nous avons, à travers la transformation inverse de Mellin :
    
Li_{s}(e^{-u})={1 \over 2\pi i}\int_{c-i\infty}^{c+i\infty}\Gamma(r)
\zeta(s+r)u^{-r}~\mathrm dr
    c est une constante à droite des pôles de l'intégrande.
    Le chemin d'intégration peut être converti en un contour fermé (en), et les pôles de l'intégrande sont ceux de \Gamma(r) à r=0,-1,-2,… et de \zeta(s+r) à r=1-s. Sommer les résidus donne, pour |\mu|<2\pi et s \ne 1,2,3,\ldots
    
Li_s(e^\mu) =
\Gamma(1-s)(-\mu)^{s-1} +
\sum_{k=0}^\infty {\zeta(s-k) \over k!}~\mu^k
    Si le paramètre s est un entier positif, n, ainsi que le k=n-1e terme, la fonction gamma devient infinie, bien que leur somme ne l'est pas. Pour un entier k>0, nous avons :
    
\lim_{s\rightarrow k+1}\left[{\zeta(s-k)\mu^k \over k!}+\Gamma(1-s)(-\mu)^{s-1}\right]
= {\mu^k \over k!}\left(\sum_{m=1}^k{1 \over m}-\textrm{Ln}(-\mu)\right)
    et pour k=0 :
    
\lim_{s\rightarrow 1}\left[\zeta(s)+\Gamma(1-s)(-\mu)^{s-1}\right]
= -\textrm{Ln}(-\mu)
    Ainsi, pour s=nn est un entier positif et |\mu|<2\pi, nous avons :
    
Li_{n}(e^\mu) =
{\mu^{n-1} \over (n-1)!}\left(H_{n-1}-\textrm{Ln}(-\mu)\right) +
    
\sum_{k=0,k\ne n-1}^\infty {\zeta(n-k) \over k!}~\mu^k 
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~(n=2,3,4,\ldots)
    
Li_{1}(e^\mu) =-\textrm{Ln}(-\mu)+
\sum_{k=1}^\infty {\zeta(1-k) \over k!}~\mu^k 
~~~~~~~~~~(n=1)
    H_{n-1} est un nombre harmonique :
    
H_{n-1}=\sum_{k=1}^{n-1}{1\over k}
    Le problème des termes contient maintenant -ln(-\mu) qui, lorsqu'ils sont multipliés par \mu^k, tendront vers zéro quand \mu tend vers zéro, excepté pour k=0. Ceci reflète le fait qu'il existe une vraie singularité logarithmique en Li_s(z) en s=1 et z=1, puisque :
    
\lim_{\mu\rightarrow 0}\Gamma(1-s)(-\mu)^{s-1}=0~~~~~(\textrm{Re}(s)>1)
    En utilisant la parenté entre la fonction zêta de Riemann et les nombres de Bernoulli B_k
    
\zeta(-n)=(-1)^n{B_{n+1} \over n+1}~~~~~~~~~~~(n=0,1,2,3,\ldots)
    nous obtenons pour les valeurs entières négatives de s et |\mu|<2\pi :
    
Li_{-n}(z) =  {n! \over (-\mu)^{n+1}}-
\sum_{k=0}^{\infty} { B_{k+n+1}\over k!~(k+n+1)}~\mu^k
~~~~~~~~~~~(n=1,2,3,\ldots)
    puisque, excepté pour B_1, tous les nombres de Bernoulli sont égaux à zéro. Nous obtenons le terme n=0 en utilisant \zeta(0)=B_1=-\frac12. Encore, l'équation équivalent d'Erdélyi et al. 1981, § 1.11-15 n'est pas correcte si nous supposons que les branches principales du polylogarithme et le logarithme sont utilisées simultanément, puisque \ln(\frac1z) n'est pas uniformément égal à -ln(z).
  • L'équation définie peut être étendue aux valeurs négatives du paramètre s en utilisant une intégrale sur un contour de Hankel (en) (Wood 1992 et Gradshteyn et Ryzhik 1980) :
    
Li_s(e^\mu)=-{\Gamma(1-p) \over 2\pi i}\oint_H{(-t)^{s-1} \over e^{t-\mu}-1}dt
    H est le contour de Hankel qui peut être modifié pour qu'il entoure les pôles de l'integrande, à t-\mu=2k\pi i, l'intégrale peut être évaluée comme la somme des résidus :
    
Li_s(e^\mu)=\Gamma(1-s)\sum_{k=-\infty}^\infty (2k\pi i-\mu)^{s-1}
    Ceci restera valable pour \textrm{Re}(s)<0 et tous les z excepté pour z=1.
  • Pour les entiers négatifs s, le polylogarithme peut être exprimé comme une série impliquent les nombres eulériens
    
Li_{-n}(z) =  
{1 \over (1-z)^{n+1}} \sum_{i=0}^{n-1}\left\langle{n\atop i}\right\rangle
z^{n-i} ~~~~~~~~~~~~~(n=1,2,3,\ldots)
    \left\langle{n\atop i}\right\rangle sont les nombres eulériens.
  • Une autre formule explicite pour les entiers négatifs s est (Wood 1992) :
    
Li_{-n}(z) =  
\sum_{k=1}^{n+1}{(-1)^{n+k+1}(k-1)!S(n+1,k) \over (1-z)^k}
~~~~~~~~~~(n=1,2,3,\ldots)
    S(n,k) sont les nombres de Stirling de deuxième espèce.

Comportement aux limites[modifier | modifier le code]

Les limites suivantes restent valables pour le polylogarithme (Wood 1992) :


\lim_{|z|\rightarrow 0} Li_s(z) = \lim_{s \rightarrow \infty}
Li_s(z) = z


\lim_{\mathrm{Re}(\mu) \rightarrow \infty} Li_s(e^\mu) = -{\mu^s \over \Gamma(s+1)}
~~~~~~(s\ne -1, -2,-3,\ldots)


\lim_{\mathrm{Re}(\mu) \rightarrow \infty} Li_{n}(e^\mu) = -(-1)^ne^{-\mu}
~~~~~~(n=1,2,3,\ldots)


\lim_{|\mu|\rightarrow 0} Li_s(e^\mu) =  \Gamma(1-s)(-\mu)^s~~~~~~(s<1)

Échelles de polylogarithmes[modifier | modifier le code]

Leonard Lewin a découvert une remarquable généralisation d'un grand nombre de relations classiques sur les polylogarithmes pour des valeurs particulières. Celles-ci sont maintenant appelées les échelles de polylogarithmes. Définissons \rho=\frac{(\sqrt5-1)}2 comme l'inverse du nombre d'or. Alors, deux exemples simples des résultats issus des échelles incluent

Li_2(\rho^6)=4Li_2(\rho^3)+3Li_2(\rho^2)-6Li_2(\rho)+\frac{7\pi^2}{30}

donné par Coxeter en 1935, et[1]

Li_2(\rho)=\frac{\pi^2}{10} - \log^2\rho

donné par Landen. Les échelles de polylogarithmes apparaissent naturellement et profondément en K-théorie.

Note et références[modifier | modifier le code]

Bibliographie[modifier | modifier le code]

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  • (en) David H. Bailey et David J. Broadhurst, « A Seventeenth-Order Polylogarithm Ladder », 1999, Texte en accès libre sur arXiv : math.CA/9906134.
  • (en) Jonathan M. Borwein (en), David M. Bradley, David J. Broadhurst et Petr Lisonek, « Special Values of Multidimensional Polylogarithms », Trans. Amer. Math. Soc., vol. 353,‎ 2001, p. 907-941 (lire en ligne), Texte en accès libre sur arXiv : math.CA/9910045.
  • (en) B. C. Berndt (de), Ramanujan's Notebooks, Part IV, Springer,‎ 1994, p. 323-326
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  • (en) Eugen Jahnke (de) et Fritz Emde (de), Tables of Functions with Formulae and Curves, Dover,‎ 1945
  • (en) K. S. Kölbig, J. A. Mignaco et E. Remiddi, « On Nielsen's generalized polylogarithms and their numerical calculation », BIT, vol. 10,‎ 1970, p. 38-74
  • (en) K. S. Kölbig, « Nielsen's Generalized Polylogarithms », SIAM J. Math. Anal., vol. 17,‎ 1986, p. 1232-1258
  • (en) L. Lewin, Polylogarithms and Associated Functions, North-Holland,‎ 1981
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  • (en) B. Markman, « The Riemann Zeta Function », BIT, vol. 5,‎ 1965, p. 138-141
  • (de) N. Nielsen (de), « Der Eulersche Dilogarithmus und seine Verallgemeinerungen », Nova Acta Leopoldina, vol. 90,‎ 1909, p. 123-211
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  • (en) C. Truesdell, « On a function which occurs in the theory of the structure of polymers », Ann. of Math., 2e série, vol. 46, no 1,‎ 1945, p. 144-1457
  • (en) Don Zagier, « Appendix A : Special Values and Functional Equations of Polylogarithms », dans L. Lewin (éd.), Structural Properties of Polylogarithms, AMS,‎ 1991