Fonction de Clausen

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En mathématiques, la fonction de Clausen est définie par l'intégrale suivante :

\operatorname{Cl}_2(\theta) = - \int_0^\theta \ln|2 \sin(t/2)| \,dt.

Plus généralement, on définit

\operatorname{Cl}_s(\theta) = \sum_{n=1}^\infty \frac{\sin(n\theta)}{n^s}

Elle est reliée au polylogarithme par

\operatorname{Cl}_s(\theta)
= \Im (\operatorname{Li}_s(\exp(i \theta)))

Ernst Kummer et Rogers donnent la relation

\operatorname{Li}_2(\exp(i \theta)) = \zeta(2) - \theta(2\pi-\theta) + i\operatorname{Cl}_2(\theta)

valide pour 0\leq \theta \leq 2\pi

Pour les valeurs rationnelles de \frac{\theta}{\pi}\, (c’est-à-dire, pour \frac{\theta}{\pi}=\frac{p}{q}\, pour certains entiers p et q), la fonction \sin(n\theta)\, peut être comprise comme représentant une orbite périodique d'un élément dans le groupe cyclique, et ainsi \operatorname{Cl}_s(\theta)\, peut être exprimé comme une simple somme impliquant la fonction zêta de Hurwitz.

Accélération du calcul de la série[modifier | modifier le code]

Une des accélérations de série de la fonction de Clausen est donnée par :

\frac{\operatorname{Cl}_2(\theta)}{\theta} = 
1-\ln|\theta| - 
\sum_{n=1}^\infty \frac{\zeta(2n)}{n(2n+1)} \left(\frac{\theta}{2\pi}\right)^n

Qui est valable pour | θ | <2 π. Ici, ζ(s) est la fonction zêta de Riemann.

Une forme convergent plus rapidement est donnée par :

\frac{\operatorname{Cl}_2(\theta)}{\theta} = 
3-\ln\left[|\theta| \left(1-\frac{\theta^2}{4\pi^2}\right)\right]
-\frac{2\pi}{\theta} \ln \left( \frac{2\pi+\theta}{2\pi-\theta}\right) 
+\sum_{n=1}^\infty \frac{\zeta(2n)-1}{n(2n+1)} \left(\frac{\theta}{2\pi}\right)^n

La convergence de cette série est dû au fait que ζ(n) − 1 approche de zéro rapidement pour de grandes valeurs de n. Ces deux formes sont générées grâce aux types de techniques de somme utilisées pour obtenir la série zêta rationnelle.

Valeurs spéciales[modifier | modifier le code]

On peut noter l'évaluation suivante :

\forall k\in\mathbb{Z},\, \operatorname{Cl}_s(k\pi)=0

\operatorname{Cl}_2\left(\frac{\pi}{2}\right)=K

K est la constante de Catalan. Et plus généralement :

\operatorname{Cl}_s\left(\frac{\pi}{2}\right)=\beta(s)

\beta(x) est la fonction bêta de Dirichlet.

Références[modifier | modifier le code]