Conjecture jacobienne

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En mathématiques, et plus précisément en géométrie algébrique, la conjecture jacobienne est une conjecture concernant les polynômes à plusieurs variables. Elle fut proposée en 1939 par Ott-Heinrich Keller (en), et Shreeram Abhyankar lui donna par la suite son nom actuel, la popularisant comme un exemple d'une question de géométrie algébrique ne demandant que peu de connaissances pour être énoncée.

La conjecture jacobienne est également célèbre pour le grand nombre de tentatives de preuves qu'elle a suscitées, et qui contenaient des erreurs subtiles. En 2014, aucune démonstration n'est reconnue pour valide.

Formulation[modifier | modifier le code]

Pour N > 1, soient N polynômes Fi (pour 1 ≤ iN) dans les variables X1, …, XN, et dont les coefficients appartiennent à un corps algébriquement clos k (on peut en fait supposer que k=C, le corps des nombres complexes). Considérons cette suite de polynômes comme une fonction vectorielle F: kNkN dont les composantes sont les Fi . Le jacobien J de F est par définition le déterminant de la matrice jacobienne N × N formée des dérivées partielles des Fi par rapport aux Xj : J= \det\left(\frac{\partial F_i}{\partial X_j}\right). J est lui-même une fonction des N variables X1, …, XN ; et même une fonction polynomiale.

La condition J ≠ 0 assure (pour des fonctions régulières, et donc en particulier pour des polynômes) l'existence d'un inverse local pour F (c'est le théorème des fonctions implicites) en chaque point où elle est vérifiée. Comme k est algébriquement clos, et que J est un polynôme, J s'annule pour certaines valeurs des X1, …, XN, sauf si J est constante. On en déduit facilement que :

Si F possède une fonction inverse (globale), c'est-à-dire s'il existe G : kNkN telle que G∘F=F∘G=identité (de kN ), alors J est une constante non nulle.

La conjecture jacobienne affirme que la réciproque (un peu renforcée) est vraie, c'est-à-dire que :

Si J est une constante non nulle, F admet un inverse G : kNkN, et G est régulière, c'est-à-dire que ses composantes sont données par des polynômes.

Résultats[modifier | modifier le code]

En 1980, Wang[1] démontra la conjecture jacobienne pour les polynômes de degré 2, et en 1982, Bass, Connell et Wright[2] démontrèrent que le cas général est conséquence du cas particulier des polynômes de degré 3. La conjecture a été vérifiée par Moh[3] pour les polynômes à deux variables de degré au plus 100.

La conjecture jacobienne est équivalente à la conjecture de Dixmier (en)[4].

Notes et références[modifier | modifier le code]

  • (en) P. K. Adjamagbo et A. van den Essen, « A proof of the equivalence of the Dixmier, Jacobian and Poisson conjectures », Acta Math. Vietnam, vol. 32, no 2–3,‎ 2007, p. 205–214
  • (en) Hyman Bass, Edwin H. Connell et David Wright, « The Jacobian conjecture: reduction of degree and formal expansion of the inverse », Bull. Amer. Math. Soc. (New Series), vol. 7, no 2,‎ 1982, p. 287–330 (ISBN 9791982150327[à vérifier : ISBN invalide], DOI 10.1090/S0273-0979-1982-15032-7), lien Math Reviews
  • (en) Alexei Belov-Kanel et Maxim Kontsevich, « The Jacobian conjecture is stably equivalent to the Dixmier conjecture », Moscow Mathematical Journal, vol. 7, no 2,‎ 2007, p. 209–218 (Bibcode 2005math.....12171B), lien Math Reviews. Texte en accès libre sur arXiv : math/0512171.
  • (en) A. van den Essen, Jacobian conjecture, Springer
  • (de) Ott-Heinrich Keller, « Ganze Cremona-Transformationen », Monatshefte für Mathematik und Physik, vol. 47, no 1,‎ 1939, p. 299–306 (ISSN 0026-9255, DOI 10.1007/BF01695502, lire en ligne)
  • (en) T. T. Moh, « On the Jacobian conjecture and the configurations of roots », J. reine angew. Math., vol. 340,‎ 1983, p. 140–212 (ISSN 0075-4102, lire en ligne)
  • (en) A. van den Essen, Polynomial automorphisms and the Jacobian conjecture
  • (en) S. Wang, « A jacobian criterion for separability », J. Algebra, vol. 65,‎ 1980, p. 453-494

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Article connexe[modifier | modifier le code]

Problèmes de Smale

Lien externe[modifier | modifier le code]

(en) Page de T. T. Moh sur la conjecture