Implication réciproque

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Page d'aide sur l'homonymie Ne pas confondre avec la notion d'application réciproque ni avec la notion de contraposée.

En mathématiques, plus précisément en calcul propositionnel, une implication réciproque est une proposition renversant la prémisse et la conclusion d'une implication. La réciproque de la réciproque est alors l'implication initiale.

Lorsque l'implication comporte plusieurs prémisses, l'interversion de la conclusion avec seulement une partie des prémisses est parfois aussi appelée réciproque, comme pour le théorème de Thalès où les conditions d'alignement restent en prémisse pour la réciproque.

Exemple  :
  • implication : « S'il y a du feu alors il y a de la fumée. »
  • réciproque : « S'il y a de la fumée alors il y a du feu. »

Contrairement à la contraposée d’une implication, la réciproque ne se déduit pas de cette implication. Le faire sans précaution conduit au sophisme de l’affirmation du conséquent.

Notation logique et interprétation[modifier | modifier le code]

L'implication « si A alors B  » soit A \Rightarrow B a pour réciproque, « si B alors A  » soit B \Rightarrow A. et vice-versa.

On étend parfois cette notion d'implication réciproque au calcul des prédicats en disant que : \forall x (Ax \Rightarrow Bx) soit « tout A est B » et \forall x (Bx \Rightarrow Ax) soit « tout B est A » sont des implications réciproques l'une de l'autre.

Cependant, une phrase de la forme « aucun A n'est B » est équivalente à « aucun B n'est A ». Leur réciproque commune peut s'énoncer sous la forme « tout ce qui n'est pas A est B ».

tables de vérités d’une implication et de sa réciproque
P Q PQ QP (réciproque)
V V V V
V F F V
F V V F
F F V V

Voir aussi[modifier | modifier le code]

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