« Théorème de Nielsen-Schreier » : différence entre les versions

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En théorie des groupes – une branche des mathématiques – le théorème de Nielsen-Schreier, nommé d'après Jakob Nielsen et Otto Schreier, est un résultat essentiel de la théorie combinatoire des groupesthéorie combinatoire des groupes, qui traite des groupes discrets (le plus souvent infinis). Il affirme que tout sous-groupe d'un groupe libre est un groupe libre^[1]^,^[2]^,^[3]. En plus de cet énoncé qualitatif, la version quantitative relie l'indice et le rangrang d'un groupe d'un tel sous-groupe. Une conséquence surprenante est qu'un groupe libre du rang supérieur ou égal à 2 possède des sous-groupes de tout rang entier, et même de rang infini (dénombrable).

Ce théorème peut être démontré de façon particulièrement élégante et instructive par des méthodes de topologie algébrique, en considérant le groupe fondamental d'un revêtement de graphe.

Exemple

Dans le groupe libre F₂ à deux générateurs a et b (liés par aucune relation), soit H le sous-groupe constitué de tous les mots réduits (sur l'alphabet {a, b, a^–1, b^–1}) de longueur paire. Ce sous-groupe est clairement engendré par les six éléments p=aa, q=ab, r=ab^–1, s=a^–1b, t=ba et u=bb. Mais ceci ne constitue pas une présentation de H comme groupe libre, car ces générateurs sont liés par les relations s=p^–1q, t=r^–1p et u=r^–1q, qui permettent d'engendrer H par seulement p, q et r. On démontre^[4] que ces trois générateurs ne vérifient aucune relation, si bien que H est isomorphe au groupe libre F₃. Cet exemple montre aussi que le rang du sous-groupe peut être strictement supérieur à celui du groupe.

Esquisse d'une preuve topologique

On peut démontrer ce théorème à l'aide de la topologie^[1]. En effet, tout groupe libre G est le groupe fondamental d'un bouquet de cercles, qui s'interprète comme un graphe à un seul sommet et autant d'arêtes que de générateurs^[5]. Tout sous-groupe H de G est alors le groupe fondamental d'un graphe de Schreier (en) (éventuellement infini) qui revêt de ce bouquet^[6] (ses sommets sont les classes à droite suivant H). Or lorsqu'on contracte les arêtes d'un arbre couvrant d'un graphe, on obtient un nouveau graphe qui a même groupe fondamental, et lorsqu'on applique cette construction générale au graphe de Schreier ci-dessus, ce nouveau graphe est – d'après le lemme de Schreier – un bouquet de cercles^[7]. Comme H en est le groupe fondamental, il est libre^[5].

Liens avec l'axiome du choix

Les différentes preuves du théorème de Nielsen-Schreier dépendent toutes de l'axiome du choix. Par exemple, celle exposée ci-dessus l'utilise dans l'affirmation que tout graphe connexe possède un arbre couvrant. Ce recours à l'axiome du choix est inéluctable ; en effet, il existe des modèles de la théorie des ensembles de Zermelo-Fraenkel dans lesquels le théorème de Nielsen-Schreier est faux^[8]. Réciproquement, ce théorème implique une version faible de l'axiome du choix, pour les ensembles finis^[9].

Histoire

Le théorème de Nielsen-Schreier est un analogue non abélien d'un résultat antérieur de Richard Dedekind, selon lequel tout sous-groupe d'un groupe abélien libre est un groupe abélien libre^[3].

Jakob Nielsen a d'abord démontré une version restreinte du théorème^[10], limitée aux sous-groupes de type fini. Sa preuve consistait à effectuer une suite de transformations de NielsenTransformation de Nielsen sur une partie génératrice du sous-groupe pour réduire la « taille » de cette famille (en termes des longueurs des mots réduits – sur les générateurs du groupe libre – dont elle est constituée)^[1]^,^[11]. Otto Schreier a démontré le théorème général en 1926 dans sa thèse d'habilitation^[12]^,^[13].

Max Dehn reconnut les liens de ce théorème avec la topologie algébrique et fut le premier à en donner une preuve topologique^[14]. Kurt Reidemeister exposa ce développement en 1932 dans son ouvrage sur la topologie combinatoire^[15]. Celle présentée ci-dessus est due à Reinhold BaerReinhold Baer et Friedrich LeviFriedrich Wilhelm Levi^[16]. Une variante, basée sur la théorie de Bass-Serre (en) des actions de groupes sur des arbres, a été publiée par Jean-Pierre Serre^[17]^,^[18].

Notes et références

↑ ^{a b et c} Stillwell 1993, Section 2.2.4, The Nielsen-Schreier Theorem, p. 103-104
↑ Magnus-Karass-Solitar 1976, Corollary 2.9, p. 95
↑ ^{a et b} Johnson 1980, Section 2, The Nielsen-Schreier Theorem, p. 9-23
↑ Johnson 1997, ex. 15, p. 12
↑ ^{a et b} Stillwell 1993, Section 2.1.8, Freeness of the Generators, p. 97
↑ Stillwell 1993, Section 2.2.2, The Subgroup Property, p. 100-101
↑ Stillwell 1993, Section 2.2.6, Schreier Transversals, p. 105-106
↑ Läuchli 1962 donne l'exemple du sous-groupe dérivé de F_S, où S est un ensemble qui ne peut pas être bien ordonné.
↑ Howard 1985
↑ Nielsen 1921
↑ Magnus-Karass-Solitar 1976, Section 3.2, A Reduction Process, p. 121-140
↑ Aussi publiée dans Schreier 1927
↑ Vagn Lundsgaard 1986, p. 117
↑ Magnus et Moufang 1954
↑ Reidemeister 1932
↑ Baer et Levi 1936
↑ Serre 1969
↑ Rotman 1995, The Nielsen-Schreier Theorem, p. 383-387

(de) Reinhold BaerReinhold Baer et Friedrich LeviFriedrich Wilhelm Levi, « Freie Produkte und ihre Untergruppe », CompositioCompositio Mathematica, vol. 3,‎ 1936, p. 391-398
(en) Marshall Hall, Jr., The Theory of Groups [détail des éditions], chap. 7
(en) Paul E. Howard, « Subgroups of a free group and the axiom of choice », JSLJournal of Symbolic Logic, vol. 50, n^o 2,‎ 1985, p. 458-467 (DOI 10.2307/2274234)
(en) D. L. Johnson, Topics in the Theory of Group Presentations, CUP, coll. « LMS Lecture Note Series » (n^o 42), 1980 (ISBN 978-0-521-23108-4)
(en) D. L. Johnson, Presentations of Groups, vol. 15, CUP, coll. « LMS Student Texts », 1997 (ISBN 978-0-521-58542-2)
(de) Hans Läuchli, « Auswahlaxiom in der Algebra », Comment. Math. Helvet.Commentarii Mathematici Helvetici, vol. 37,‎ 1962, p. 1-18 (lire en ligne)
(en) Wilhelm MagnusWilhelm Magnus, Abraham Karrass et Donald Solitar, Combinatorial Group Theory, Dover, 1976
(de) Wilhelm Magnus et Ruth Moufang, « Max Dehn zum Gedächtnis », Math. Ann., vol. 127, n^o 1,‎ 1954, p. 215–227 (DOI 10.1007/BF01361121, lire en ligne)
(da) Jakob Nielsen, « Om regning med ikke-kommutative faktorer og dens anvendelse i gruppeteorien », Math. Tidsskrift B,‎ 1921, p. 78-94 (JFM 48.0123.03)
(de) Kurt Reidemeister, Einführung in die kombinatorische Topologie, 1932 (lire en ligne)
(en) Joseph J. Rotman, An Introduction to the Theory of Groups [détail des éditions]
(de) Otto Schreier, « Die Untergruppen der freien Gruppen », Abh. Math. Sem. Hamburg, vol. 5,‎ 1927, p. 161-183 (DOI 10.1007/BF02952517)
M. P. Schützenberger, « Nouvelle démonstration du théorème de Schreier… », dans Séminaire Dubreil, 1957-58
Jean-Pierre Serre, Groupes discrets, Collège de France, 1969
(en) John StillwellJohn Stillwell, Classical Topology and Combinatorial Group Theory, Springer, coll. « GTMGraduate Texts in Mathematics » (n^o 72), 1993
(en) Hansen Vagn Lundsgaard, Jakob Nielsen, Collected Mathematical Papers: 1913-1932, Birkhäuser, 1986 (ISBN 9780817631406)

(en)/(de) Cet article est partiellement ou en totalité issu des articles intitulés en anglais « Nielsen–Schreier theorem » (voir la liste des auteurs) et en allemand « Satz von Nielsen-Schreier » (voir la liste des auteurs).

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[stillwell-1] {a b et c} Stillwell 1993, Section 2.2.4, The Nielsen-Schreier Theorem, p. 103-104

[2] Magnus-Karass-Solitar 1976, Corollary 2.9, p. 95

[j80-3] {a et b} Johnson 1980, Section 2, The Nielsen-Schreier Theorem, p. 9-23

[4] Johnson 1997, ex. 15, p. 12

[still-bouquet-5] {a et b} Stillwell 1993, Section 2.1.8, Freeness of the Generators, p. 97

[6] Stillwell 1993, Section 2.2.2, The Subgroup Property, p. 100-101

[7] Stillwell 1993, Section 2.2.6, Schreier Transversals, p. 105-106

[8] Läuchli 1962 donne l'exemple du sous-groupe dérivé de F_S, où S est un ensemble qui ne peut pas être bien ordonné.

[9] Howard 1985

[10] Nielsen 1921

[11] Magnus-Karass-Solitar 1976, Section 3.2, A Reduction Process, p. 121-140

[12] Aussi publiée dans Schreier 1927

[13] Vagn Lundsgaard 1986, p. 117

[14] Magnus et Moufang 1954

[15] Reidemeister 1932

[16] Baer et Levi 1936

[17] Serre 1969

[rotman-18] Rotman 1995, The Nielsen-Schreier Theorem, p. 383-387

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 {{Ébauche|algèbre}}
-En théorie des [[Groupe (mathématiques)|groupes]] – une branche des [[mathématiques]] – le '''théorème de Nielsen-Schreier''', nommé d'après [[Jakob Nielsen (mathématicien)|Jakob Nielsen]] et [[Otto Schreier]], affirme que tout [[sous-groupe]] d'un [[groupe libre]] est un groupe libre<ref name=stillwell>{{harvsp|Stillwell 1993}}, Section 2.2.4, The Nielsen-Schreier Theorem, p. 103-104</ref>{{,}}<ref>{{harvsp|Magnus-Karass-Solitar 1976}}, Corollary 2.9, p. 95</ref>{{,}}<ref name=j80>{{harvsp|Johnson|1980}}, Section 2, The Nielsen-Schreier Theorem, p. 9-23</ref>.
+En théorie des [[Groupe (mathématiques)|groupes]] – une branche des [[mathématiques]] – le '''théorème de Nielsen-Schreier''', nommé d'après [[Jakob Nielsen (mathématicien)|Jakob Nielsen]] et [[Otto Schreier]], est un résultat essentiel de la {{Lien|trad=Combinatorial group theory|théorie combinatoire des groupes}}, qui traite des [[Groupe discret|groupes discrets]] (le plus souvent infinis). Il affirme que tout [[sous-groupe]] d'un [[groupe libre]] est un groupe libre<ref name=stillwell>{{harvsp|Stillwell 1993}}, Section 2.2.4, The Nielsen-Schreier Theorem, p. 103-104</ref>{{,}}<ref>{{harvsp|Magnus-Karass-Solitar 1976}}, Corollary 2.9, p. 95</ref>{{,}}<ref name=j80>{{harvsp|Johnson|1980}}, Section 2, The Nielsen-Schreier Theorem, p. 9-23</ref>. En plus de cet énoncé qualitatif, la version quantitative relie l'[[Indice d'un sous-groupe|indice]] et le {{Lien|trad=Rank of a group|rang d'un groupe|texte=rang}} d'un tel sous-groupe. Une conséquence surprenante est qu'un groupe libre du rang supérieur ou égal à 2 possède des sous-groupes de tout rang entier, et même de rang infini ([[Ensemble dénombrable|dénombrable]]).
+Ce théorème peut être démontré de façon particulièrement élégante et instructive par des méthodes de [[topologie algébrique]], en considérant le [[groupe fondamental]] d'un [[Revêtement (mathématiques)|revêtement]] de [[Théorie des graphes|graphe]].
 ==Exemple==
-Dans le groupe libre ''F''<sub>2</sub> à [[Présentation d'un groupe|deux générateurs ''a'' et ''b'' (liés par aucune relation)]], soit ''H'' le sous-groupe constitué de tous les [[Mot (mathématiques)|mots]] [[Groupe libre#Construction|réduits]] (sur l'alphabet {''a'', ''b'', ''a''<sup>–1</sup>, ''b''<sup>–1</sup>}) de longueur paire. Ce sous-groupe est clairement [[Partie génératrice d'un groupe|engendré par]] les six éléments ''p=aa'', ''q=ab'', ''r=ab''<sup>–1</sup>, ''s=a''<sup>–1</sup>''b'', ''t=ba'' et ''u=bb''. Mais ceci ne constitue pas une présentation de ''H'' comme groupe libre, car ces générateurs sont liés par les relations ''s=p''<sup>–1</sup>''q'', ''t=r''<sup>–1</sup>''p'' et ''u=r''<sup>–1</sup>''q'', qui permettent d'engendrer ''H'' par seulement ''p, q'' et ''r''. On démontre<ref>{{harvsp|Johnson|1997}}, ex. 15, [http://books.google.fr/books?id=RYeIcopMH-IC&pg=PA12 p. 12]</ref> que ces trois générateurs ne vérifient aucune relation, si bien que ''H'' est [[Isomorphisme de groupes|isomorphe]] au groupe libre ''F''<sub>3</sub>. Cet exemple montre aussi que le {{Lien|trad=Rank of a group|rang d'un groupe|texte=rang}} du sous-groupe peut être strictement supérieur à celui du groupe.
+Dans le groupe libre ''F''<sub>2</sub> à [[Présentation d'un groupe|deux générateurs ''a'' et ''b'' (liés par aucune relation)]], soit ''H'' le sous-groupe constitué de tous les [[Mot (mathématiques)|mots]] [[Groupe libre#Construction|réduits]] (sur l'alphabet {''a'', ''b'', ''a''<sup>–1</sup>, ''b''<sup>–1</sup>}) de longueur paire. Ce sous-groupe est clairement [[Partie génératrice d'un groupe|engendré par]] les six éléments ''p=aa'', ''q=ab'', ''r=ab''<sup>–1</sup>, ''s=a''<sup>–1</sup>''b'', ''t=ba'' et ''u=bb''. Mais ceci ne constitue pas une présentation de ''H'' comme groupe libre, car ces générateurs sont liés par les relations ''s=p''<sup>–1</sup>''q'', ''t=r''<sup>–1</sup>''p'' et ''u=r''<sup>–1</sup>''q'', qui permettent d'engendrer ''H'' par seulement ''p, q'' et ''r''. On démontre<ref>{{harvsp|Johnson|1997}}, ex. 15, [http://books.google.fr/books?id=RYeIcopMH-IC&pg=PA12 p. 12]</ref> que ces trois générateurs ne vérifient aucune relation, si bien que ''H'' est [[Isomorphisme de groupes|isomorphe]] au groupe libre ''F''<sub>3</sub>. Cet exemple montre aussi que le rang du sous-groupe peut être strictement supérieur à celui du groupe.
 ==Esquisse d'une preuve topologique==
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 Jakob Nielsen a d'abord démontré une version restreinte du théorème<ref>{{harvsp|Nielsen|1921}}</ref>, limitée aux sous-groupes [[Groupe de type fini|de type fini]]. Sa preuve consistait à effectuer une suite de {{Lien|trad=Nielsen transformation|Transformation de Nielsen|texte=transformations de Nielsen}} sur une partie génératrice du sous-groupe pour réduire la « taille » de cette famille (en termes des longueurs des mots réduits – sur les générateurs du groupe libre – dont elle est constituée)<ref name=stillwell/>{{,}}<ref>{{harvsp|Magnus-Karass-Solitar 1976}}, Section 3.2, A Reduction Process, p. 121-140</ref>. Otto Schreier a démontré le théorème général en 1926 dans sa thèse d'[[Habilitation universitaire|habilitation]]<ref>Aussi publiée dans {{harvsp|Schreier|1927}}</ref>{{,}}<ref>{{harvsp|Vagn Lundsgaard|1986|p=117}}</ref>.
-La preuve topologique présentée ci-dessus est due à {{Lien|lang=de|Reinhold Baer}} et {{Lien|Friedrich Wilhelm Levi|texte=Friedrich Levi}}<ref>{{harvsp|Baer-Levi 1936}}</ref>. Une autre preuve topologique, basée sur la {{Lien|trad=Bass–Serre theory|théorie de Bass-Serre}} des [[Action de groupe (mathématiques)|actions de groupes]] sur des [[Arbre (graphe)|arbres]], a été publiée par [[Jean-Pierre Serre]]<ref>{{harvsp|Serre|1969}}</ref>{{,}}<ref name=rotman>{{harvsp|Rotman 1995}}, The Nielsen-Schreier Theorem, p. 383-387</ref>.
+[[Max Dehn]] reconnut les liens de ce théorème avec la [[topologie algébrique]] et fut le premier à en donner une preuve topologique<ref>{{harvsp|Magnus|Moufang|1954}}</ref>. [[Kurt Reidemeister]] exposa ce développement en 1932 dans son ouvrage sur la [[topologie combinatoire]]<ref>{{harvsp|Reidemeister|1932}}</ref>. Celle présentée ci-dessus est due à {{Lien|lang=de|Reinhold Baer}} et {{Lien|Friedrich Wilhelm Levi|texte=Friedrich Levi}}<ref>{{harvsp|Baer et Levi 1936}}</ref>. Une variante, basée sur la {{Lien|trad=Bass–Serre theory|théorie de Bass-Serre}} des [[Action de groupe (mathématiques)|actions de groupes]] sur des [[Arbre (graphe)|arbres]], a été publiée par [[Jean-Pierre Serre]]<ref>{{harvsp|Serre|1969}}</ref>{{,}}<ref name=rotman>{{harvsp|Rotman 1995}}, The Nielsen-Schreier Theorem, p. 383-387</ref>.
 ==Notes et références==
 {{références|colonnes=2}}
-*{{article|id=Baer-Levi 1936|lang=de|nom1={{Lien|lang=de|Reinhold Baer}}|nom2={{Lien|Friedrich Wilhelm Levi|texte=Friedrich Levi}}|titre=Freie Produkte und ihre Untergruppe|revue={{Lien|Compositio Mathematica|texte=Compositio}}|volume=3|year=1936|p.=391-398}}
+*{{article|id=Baer et Levi 1936|lang=de|nom1={{Lien|lang=de|Reinhold Baer}}|nom2={{Lien|Friedrich Wilhelm Levi|texte=Friedrich Levi}}|titre=Freie Produkte und ihre Untergruppe|revue={{Lien|Compositio Mathematica|texte=Compositio}}|volume=3|year=1936|p.=391-398}}
 * {{Hall1}}, chap. 7
 *{{article|lang=en|nom=Howard|prénom=Paul E.|doi=10.2307/2274234|issue=2|revue={{Lien|Journal of Symbolic Logic|texte=JSL}}|p.=458-467|titre=Subgroups of a free group and the axiom of choice|volume=50|année=1985}}
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 *{{article|lang=de|nom=Läuchli|prénom=Hans|revue={{Lien|Commentarii Mathematici Helvetici|texte=Comment. Math. Helvet.}}|p.=1-18|titre=Auswahlaxiom in der Algebra|volume=37|year=1962|url=http://retro.seals.ch/digbib/view?rid=comahe-002:1962-1963:37::5}}
 *{{ouvrage|id=Magnus-Karass-Solitar 1976|lang=en|nom1={{Lien|lang=de|Wilhelm Magnus}}|nom2=Karrass|prénom2=Abraham|prénom3=Donald|nom3=Solitar|édition=2, révisée|titre=Combinatorial Group Theory|éditeur=Dover|lien éditeur=Dover Publications|année=1976}}
+*{{article|lang=de|nom1=Magnus|prénom1=Wilhelm|prénom2=Ruth|nom2=Moufang|lien auteur2=Ruth Moufang|titre=Max Dehn zum Gedächtnis|lien périodique=Mathematische Annalen|revue=Math. Ann.|volume=127|issue=1|p.=215–227|year=1954|url=http://www.springerlink.com/content/l657774u3w864mp3|doi=10.1007/BF01361121}}
 *{{article|lang=da|nom=Nielsen|prénom=Jakob|lien auteur=Jakob Nielsen (mathématicien)|titre=Om regning med ikke-kommutative faktorer og dens anvendelse i gruppeteorien| jfm=48.0123.03 |year=1921|revue=Math. Tidsskrift B|year=1921|p.=78-94}}
+*{{ouvrage|lang=de|nom=Reidemeister|prénom=Kurt|titre=Einführung in die kombinatorische Topologie|année=1932|url=http://books.google.fr/books?id=Oh7YJmhzFOYC}}
 *{{ouvrage|id=Rotman 1995|lang=en|prénom=Joseph J.|nom1=Rotman|titre=An Introduction to the Theory of Groups|référence=Référence:Rotman1}}
 * {{article|lang=de|nom=Schreier|prénom=Otto|lien auteur=Otto Schreier|titre=Die Untergruppen der freien Gruppen|revue=Abh. Math. Sem. Hamburg|volume=5|year=1927|p.=161-183|doi=10.1007/BF02952517}}
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 *{{ouvrage|id=Stillwell 1993|lang=en|titre=Classical Topology and Combinatorial Group Theory|nom1={{Lien|lang=de|John Stillwell}}|collection={{Lien|Graduate Texts in Mathematics|texte=GTM}}|numéro dans collection=72|édition=2|année=1993|éditeur=Springer|lien éditeur=Springer Verlag}}
 *{{ouvrage|lang=en|titre=Jakob Nielsen, Collected Mathematical Papers: 1913-1932|nom1=Vagn Lundsgaard|prénom=Hansen|éditeur=Birkhäuser|année=1986|isbn=9780817631406}}
-{{Traduction/Référence|en|Nielsen–Schreier theorem|464269186}}
+{{Traduction/Référence|lang1=en|art1=Nielsen–Schreier theorem|id1=464269186|lang2=de|art2=Satz von Nielsen-Schreier|id2=96784083}}
+<!--
+== Aussage des Satzes ==
+Ist <math>F</math> eine freie Gruppe, dann ist jede Untergruppe <math>U</math> von <math>F</math> ebenfalls frei.
+Diese qualitative Aussage gilt ganz allgemein; im endlichen Fall gilt zudem folgende quantitative Aussage:
+Ist <math>F</math> eine freie Gruppe von endlichem Rang <math>r</math> und ist <math>U</math>
+eine Untergruppe von endlichem Index <math>n</math>, dann ist <math>U</math> frei vom Rang <math>1 - n(1-r)</math>.
+== Beweise ==
+Der Satz lässt sich wahlweise mit algebraischen oder topologischen Argumenten beweisen.
+Der topologische Beweis gilt als besonders elegant, und soll im Folgenden skizziert werden.
+Er benutzt auf raffinierte Weise die Darstellung freier Gruppen als Fundamentalgruppen von Graphen
+und ist ein Paradebeispiel für die fruchtbare Wechselwirkung zwischen Algebra und Topologie.
+=== Freie Gruppen als Fundamentalgruppen von Graphen ===
+Sei <math>\Gamma</math> ein zusammenhängender [[Graph (Graphentheorie)|Graph]].
+Diesen realisieren wir als topologischen Raum, wobei jede Kante einem [[Weg (Mathematik)|Weg]] zwischen den angrenzenden Ecken entspricht.
+Die entscheidende Feststellung ist nun, dass die Fundamentalgruppe <math>\pi_1(\Gamma,*)</math> eine freie Gruppe ist.
+Um dieses Ergebnis explizit zu machen und damit auch zu beweisen, wählt man einen maximalen [[Baum (Graphentheorie)|Baum]]
+<math>T \subset \Gamma</math>, also einen Baum, der alle Ecken von <math>\Gamma</math> enthält.
+Die verbleibenden Kanten <math>S = \Gamma \setminus T</math> liefern eine Basis von <math>\pi_1(\Gamma,*)</math>,
+indem man für jede Kante <math>s \in S</math> einen Weg <math>w_s</math> wählt, der vom Fußpunkt <math>*</math>
+im Baum <math>T</math> bis zur Kante <math>s</math> läuft, diese überquert und anschließend
+in <math>T</math> wieder zum Fußpunkt zurückkehrt.  (Man wählt als Fußpunkt zweckmäßigerweise
+eine Ecke von <math>\Gamma</math>; diese liegt dann automatisch in jedem maximalen Baum <math>T</math>.)
+Die Tatsache, dass die [[Homotopie]]klassen <math>[w_s]</math> mit <math>s \in S</math>
+eine Basis von <math>\pi_1(\Gamma,*)</math> bilden, kann man mittels kombinatorischer
+Homotopie beweisen, oder durch explizite Konstruktion der [[Überlagerung (Topologie)|universellen Überlagerung]] des Graphen <math>\Gamma</math>.
+Dieses Ergebnis können wir quantitativ fassen, wenn <math>\Gamma</math>
+ein endlicher Graph mit <math>e</math> Ecken und <math>k</math> Kanten ist.
+Er hat dann die Euler-Charakteristik <math>\chi(\Gamma) = e-k</math>.
+Jeder maximale Baum <math>T \subset \Gamma</math> enthält dann genau <math>e</math> Ecken
+und <math>e-1</math> Kanten, und hat insbesondere die Euler-Charakteristik <math>\chi(T) = 1</math>.
+Es verbleiben die Kanten <math>\Gamma \setminus T = \{x_1,\dots,x_r\}</math> und deren Anzahl ist <math>r = k-e+1 = 1 - \chi(\Gamma)</math>.
+Die Fundamentalgruppe <math>\pi_1(\Gamma,*)</math> ist demnach eine freie Gruppe vom Rang <math>r = 1-\chi(\Gamma)</math>.
+=== Topologischer Beweis des Satzes von Nielsen-Schreier ===
+Qualitative Fassung :
+Jede freie Gruppe <math>F</math> lässt sich darstellen als Fundamentalgruppe <math>\pi_1(\Gamma,*)</math> eines Graphen <math>\Gamma</math>.
+Zu jeder Untergruppe <math>U \subset F</math> gehört eine Überlagerung <math>\tilde\Gamma \to \Gamma</math>.
+Der Überlagerungsraum <math>\tilde\Gamma</math> ist dann wieder ein Graph,
+also ist die Gruppe <math>U = \pi_1(\tilde\Gamma,*)</math> frei.
+Quantitative Fassung :
+Jede freie Gruppe <math>F</math> von endlichem Rang <math>r</math> lässt sich darstellen als Fundamentalgruppe
+<math>\pi_1(\Gamma,*)</math> eines endlichen Graphen <math>\Gamma</math> mit Euler-Charakteristik <math>\chi(\Gamma) = 1-r</math>.
+Zu jeder Untergruppe <math>U \subset F</math> von Index <math>n</math> gehört dann
+eine <math>n</math>-blättrige Überlagerung <math>\tilde\Gamma \to \Gamma</math>.
+Der überlagernde Graph <math>\tilde\Gamma</math> hat also die Euler-Charakteristik <math>\chi(\tilde\Gamma) = n\chi(\Gamma) = n(1-r)</math>,
+und die Gruppe <math>U = \pi_1(\tilde\Gamma,*)</math> ist demnach frei vom Rang <math>1 - \chi(\tilde\Gamma) = 1-n(1-r)</math>.
+== Folgerungen ==
+=== Untergruppen der ganzen Zahlen ===
+Für den Rang <math>r=0</math> ist <math>F</math> die triviale Gruppe,
+die nur aus dem neutralen Element besteht, und die Aussage des Satzes ist leer.
+Die erste interessante Anwendung finden wir im Rang <math>r=1</math>.
+Hier ist <math>F \cong \Z</math> die freie abelsche Gruppe, und
+wir finden die Klassifikation der Untergruppen von <math>\Z</math> wieder:
+Die triviale Untergruppe <math>\{0\}</math> ist frei vom Rang <math>0</math>,
+jede andere Untergruppe <math>I \subset \Z</math> ist von der Form <math>I = \langle n \rangle</math>
+vom Index <math>n</math> und selbst wieder frei abelsch vom Rang <math>1</math>.
+=== Untergruppen nicht-abelscher freier Gruppen ===
+Für eine freie Gruppe <math>F</math> vom Rang <math>r \ge 2</math> folgt aus dem (quantitativen) Satz von Nielsen-Schreier,
+dass <math>F</math> freie Untergruppen von beliebigem endlichen Rang enthält.
+(Man kann sogar eine Untergruppe von abzählbar unendlichem Rang konstruieren.)
+Diese erstaunliche Eigenschaft steht im Gegensatz zu freien abelschen Gruppen
+(wo der Rang einer Untergruppe stets kleiner oder gleich dem Rang der gesamten Gruppe ist)
+oder Vektorräumen über einem Körper (wo die Dimension eines Unterraums stets kleiner oder gleich der Dimension des gesamten Raums ist).
+=== Untergruppen endlich erzeugter Gruppen ===
+Der Satz von Nielsen-Schreier handelt zwar zunächst nur von freien Gruppen,
+seine quantitative Fassung hat aber auch interessante Konsequenzen für beliebige, endliche erzeugte Gruppen.
+Ist eine Gruppe <math>G</math> endlich erzeugt (von einer Familie mit <math>r</math> Elementen aus <math>G</math>),
+und ist <math>H \subset G</math> eine Untergruppe von endlichem Index <math>n</math>,
+dann ist auch <math>H</math> endlich erzeugt (von einer Familie mit <math>1-n(1-r)</math> Elementen aus <math>H</math>).
+Wie schon im Fall freier Gruppen muss man im Allgemeinen also damit rechnen,
+dass eine Untergruppe <math>H \subset G</math> mehr Erzeuger benötigt als die gesamte Gruppe <math>G</math>.
+-->
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