Arbre couvrant

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Un arbre couvrant (arêtes épaissies, en bleu) d'un graphe en forme de grille

Dans le domaine mathématique de la théorie des graphes, un arbre couvrant d'un graphe non orienté et connexe est un arbre inclus dans ce graphe et qui connecte tous les sommets du graphe.

De façon équivalente, c'est un sous-graphe acyclique maximal, ou encore, un sous-graphe couvrant connexe minimal.

Aspects combinatoires[modifier | modifier le code]

Dans certains cas, le nombre a(G) d'arbre couvrant d'un graphe connexe G est facilement calculable. Par exemple, si G lui-même est un arbre, alors a(G)=1, tandis que si G est un n-cycle, alors a(G)=n. Pour un graphe quelconque, a(G) peut-être calculé grâce au théorème de Kirchhoff.

La formule de Cayley permet aussi de calculer directement a(G) pour un graphe complet K_n. On obtient que a(G)=n^{n-2}.

Si G est un graphe biparti complet K_{p,q}, alors a(G)=p^{q-1}q^{p-1}

Utilisations et applications[modifier | modifier le code]

Les arbres couvrants sont étudiés en informatique théorique pour leurs applications à des réseaux. Ils peuvent par exemple être une structure pour faire passer une information depuis un nœud d'un réseau vers tous les autres, on parle de routage. Un problème algorithmique classique est alors de trouver, dans un graphe pondéré, un arbre couvrant de poids minimal.

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Bibliographie[modifier | modifier le code]

  • Eppstein, David (1999). « Spanning trees and spanners » Elsevier Handbook of Computational Geometry: 425–461, Elsevier. 
  • (en) Garey, Michael R.; Johnson, David S., Computers and Intractability: A Guide to the Theory of NP-Completeness, W.H. Freeman,‎ 1979 (ISBN 0-7167-1045-5) A2.1: ND2, pg.206.
  • (en) Wu, Bang Ye; Chao, Kun-Mao, Spanning Trees and Optimization Problems, CRC Press,‎ 2004 (ISBN 1-58488-436-3)
  • (en) Gabow, Harold N.; Myers, Eugene W., « Finding All Spanning Trees of Directed and Undirected Graphs », SIAM J. Comput., vol. 7, no 280,‎ 1978 (lire en ligne)

Crédits de traduction[modifier | modifier le code]

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Spanning tree » (voir la liste des auteurs)