Lemme de Schreier

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En mathématiques, le lemme de Schreier est un résultat de théorie des groupes permettant, à partir d'une partie génératrice d'un groupe et d'une transversale d'un sous-groupe, de construire une partie génératrice de ce sous-groupe.

Énoncé[modifier | modifier le code]

Soient :

  • G un groupe ;
  • S une partie génératrice de G ;
  • H un sous-groupe de G ;
  • T une transversale à droite de H dans G, contenant l'élément neutre.

Pour tout élément g de G, on note g l'élément de T qui a même classe à droite :

\overline g\in T\quad\text{et}\quad g\in H\overline g.

Alors, H est engendré par le sous-ensemble

\{ts(\overline{ts})^{-1}~|~t\in T, s\in S\}.

Exemple[modifier | modifier le code]

Si H est d'indice 2 dans G, alors S contient au moins un \scriptstyle q\notin H, et on peut prendre comme transversale T=\{1,q\}. On peut de plus se ramener au cas où q est le seul élément de S qui n'appartient pas à H (en remplaçant les autres par leur produit par q). On calcule alors

ts(\overline{ts})^{-1}=\begin{cases}
\text{si}~s=q\quad\text{et}&\begin{cases}
t=1:&q(\overline q)^{-1}=1\\
t=q:&q^2(\overline{q^2})^{-1}=q^2\end{cases}\\
\text{si}~s\in S\setminus\{q\}~\text{et}&\begin{cases}
t=1:&s(\overline s)^{-1}=s\\
t=q:&qs(\overline{qs})^{-1}=qsq^{-1}.\end{cases}
\end{cases}

H est donc engendré par q^2 joint aux éléments de \scriptstyle S\setminus\{q\} et à leurs conjugués par q.

Démonstration[modifier | modifier le code]

Soit h un élément du sous-groupe H. Il s'écrit

h=a_1a_2\ldots a_n,\quad\text{avec}\quad a_1,\ldots,a_n\in S\cup S^{-1}.

Posons, pour \scriptstyle k=0,1,\ldots,n :

t_k=\overline{a_1a_2\ldots a_k}.

En particulier, t_0=t_n=1, donc

h=(t_0a_1t_1^{-1})(t_1a_2t_2^{-1})\ldots(t_{n-1}a_nt_n^{-1}).

Or \scriptstyle\overline{t_{k-1}a_k}=t_k, donc chacune des n parenthèses de ce produit est de la forme

ta(\overline{ta})^{-1},\quad\text{avec}\quad t\in T\quad\text{et}\quad a\in S\cup S^{-1}.

On conclut en remarquant que si \scriptstyle t\in T et a=s^{-1}, en posant \scriptstyle t'=\overline{ta}, on obtient

ta(\overline{ta})^{-1}=\left(t'st^{-1}\right)^{-1}=\left(t's(\overline{t's})^{-1}\right)^{-1}.

Applications[modifier | modifier le code]

Source[modifier | modifier le code]

(en) Marshall Hall, Jr., The Theory of Groups [détail des éditions], p. 96-97 (à ceci près que Hall appelle classes à gauche nos classes à droite)