« Carquois (théorie des catégories) » : différence entre les versions

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Un carquois est une collection d'arcs joignant des couples de points. En ce sens, il s'agit d'un graphe orienté, mais la notion intervient en physique théorique ainsi qu'en théorie des représentations, des groupes et des catégories de manière naturelle. En effet, une catégorie est un carquois doté d'une structure supplémentaire : nommément la présence d'identités et de compositions. On parle donc de carquois lorsque l'on souhaite évoquer ce contexte catégorique (ou de représentation), plutôt que de (multi-di-)graphe orienté.

Le nom « carquois » provient du fait qu'il s'agit essentiellement d'une collection de flèches.

Définition

On appelle carquois libre (ou catégorie de Kronecker) la catégorie X formée :

de deux objets E et V (correspondant aux arcs et aux points, respectivement) ;
de deux morphismes $s,t:E\to V$ (source et destination, respectivement) ;
des deux morphismes identité.

Soit C une catégorie, un carquois sur C est un foncteur $X\to C$ .

La catégorie des carquois sur C, notée ${\mathsf {Quiv}}(C)$ , est la catégorie de foncteurs $C^{X}$ dont :

les objets sont les carquois, $X\to C$ ;
les morphismes sont les transformations naturelles entre ces foncteurs ;

Si C est la catégorie des ensembles, alors la catégorie des carquois correspond à la catégorie des préfaisceaux sur la catégorie duale $X^{\mathrm {op} }$ .

Catégories libres

On obtient un carquois à partir d'une catégorie en retirant les morphismes identité et en « oubliant » la composition. En d'autres termes, on a un foncteur d'oubli :

U:{\mathsf {Cat}}\to {\mathsf {Quiv}}

de la catégorie des (petites) catégories dans la catégorie des carquois. Ce foncteur est adjoint à droite au foncteur qui associe, à un carquois, la catégorie libre correspondante :

F:{\mathsf {Quiv}}\to {\mathsf {Cat}}

De fait, il est souvent intéressant de travailler sur le carquois d'une catégorie libre, plutôt que sur la catégorie elle-même : les isomorphismes de carquois s'identifient aux équivalences entre les catégories libres correspondantes.

Représentations de carquois

Si $Q$ est un carquois, une représentation de $Q$ est un foncteur $F(Q)\to {\mathsf {Vect}}_{k}$ de la catégorie libre engendrée par $Q$ dans la catégorie des $k$ -espaces vectoriels. Autrement dit, chaque point se voit associé à un $k$ -espace vectoriel, et chaque arc correspond à une transformation linéaire d'un espace à l'autre.

Catégorie des représentations de carquois

Si $Q=(Q_{0},Q_{1},s,t)$ est un carquois et si $X=(X_{i},\varphi _{\alpha })_{i\in Q_{0},\alpha \in Q_{1}}$ et $Y=(Y_{i},\psi _{\alpha })_{i\in Q_{0},\alpha \in Q_{1}}$ sont deux représentations de $Q$ sur un corps $k$ , on définit un morphisme de représentations $f$ entre $X$ et $Y$ comme une famille $(f_{i})_{i\in Q_{0}}$ d'applications linéaires $f_{i}:X_{i}\to Y_{i}$ telles que pour toute arête $\alpha \in Q_{1}$ , le diagramme :

commute, c'est-à-dire : $f_{t(\alpha )}\circ \varphi _{\alpha }=\psi _{\alpha }\circ f_{s(\alpha )}$ .
On peut alors définir la catégorie ${\mathsf {Rep}}_{k}(Q)$ la catégorie des $k$ -représentations de $Q$ dont les objets sont morphismes sont tels que définis plus haut, l'identité la famille des identités, et la composition est simplement la composition composante par composante.

Algèbre des chemins

Étant donné un carquois $Q$ et un corps k, on peut définir l'algèbre de chemins $kQ$ de $Q$ comme l'algèbre dont la $k$ -base est donnée par les chemins de $Q$ (y compris les chemins triviaux), la composition étant la concaténation si les chemins considérés peuvent être mis bout à bout, et donnant l'objet nul sinon.

Un $kQ$ -module n'est rien d'autre qu'une représentation de $Q$ , au sens où la catégorie ${\mathsf {mod}}_{kQ}$ des $kQ$ -modules est équivalente^[1] à la catégorie ${\mathsf {Rep}}_{k}(Q)$ des $k$ -représentations de $Q$ .

Classification

Le théorème de Gabriel donne une classification des carquois ayant un nombre fini de représentations indécomposables en termes de diagrammes de Dynkin.

Articles connexes

Classification ADE
Représentation d'algèbre de Lie
Théorie d'Auslander-ReitenThéorie d'Auslander-Reiten

Références

↑ (en) Ralf Schiffler, « Bound Quiver Algebras », dans Quiver Representations, Springer International Publishing, coll. « CMS Books in Mathematics », 2014 (ISBN 978-3-319-09204-1, DOI 10.1007/978-3-319-09204-1_5, lire en ligne), p. 133–151

Bibliographie

(en) V. G. Kac, Infinite dimensional Lie algebras, CUP, 1985
B. Keller, « Représentations de carquois »
(en) C. M. Ringel, « Quiver », dans Michiel Hazewinkel, Encyclopædia of Mathematics, Springer, 2002 (ISBN 978-1556080104, lire en ligne)

Portail des mathématiques

[1] (en) Ralf Schiffler, « Bound Quiver Algebras », dans Quiver Representations, Springer International Publishing, coll. « CMS Books in Mathematics », 2014 (ISBN 978-3-319-09204-1, DOI 10.1007/978-3-319-09204-1_5, lire en ligne), p. 133–151

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 == Représentations de carquois ==
-Si ''K'' est un carquois, une représentation de ''K'' est un foncteur <math>F(K) \to \mathsf{Vect}</math> de la catégorie libre engendrée par ''K'' dans la catégorie des [[espace vectoriel|espaces vectoriels]]. Autrement dit, chaque point se voit associé à un espace vectoriel (généralement complexe), et chaque arc correspond à une transformation linéaire d'un espace à l'autre.
+Si <math>Q</math> est un carquois, une représentation de <math>Q</math> est un foncteur <math>F(Q) \to \mathsf{Vect}_k</math> de la catégorie libre engendrée par <math>Q</math> dans la catégorie des <math>k</math>-[[espace vectoriel|espaces vectoriels]]. Autrement dit, chaque point se voit associé à un <math>k</math>-espace vectoriel, et chaque arc correspond à une transformation linéaire d'un espace à l'autre.
+=== Catégorie des représentations de carquois ===
+Si <math>Q=(Q_0, Q_1, s, t)</math> est un carquois et si <math>X = (X_i, \varphi_{\alpha})_{i \in Q_0, \alpha \in Q_1}</math> et <math>Y = (Y_i, \psi_{\alpha})_{i \in Q_0, \alpha \in Q_1}</math> sont deux représentations de <math>Q</math> sur un corps <math>k</math>, on définit un morphisme de représentations <math>f</math> entre <math>X</math> et <math>Y</math> comme une famille <math>(f_i)_{i \in Q_0}</math> d'applications linéaires <math>f_i : X_i \to Y_i</math> telles que pour toute arête <math>\alpha \in Q_1</math>, le diagramme :
+<center>[[File:Morphisme de représentations de carquois.svg]]</center>
-Étant donné un [[corps (mathématiques)|corps]] ''k'', on peut définir une algèbre de chemins <math>kK</math> comme l'algèbre dont la ''k''-base est donnée par les suites finies d'arcs consécutifs de ''K'' (et le chemin nul), la composition étant naturelle si les chemins considérés peuvent être mis bout à bout, et donnant l'objet nul sinon.
+commute, c'est-à-dire : <math>f_{t(\alpha)} \circ \varphi_{\alpha} = \psi_{\alpha} \circ f_{s(\alpha)}</math>.<br>
+On peut alors définir la catégorie <math>\mathsf{Rep}_k(Q)</math> la catégorie des <math>k</math>-représentations de <math>Q</math> dont les objets sont morphismes sont tels que définis plus haut, l'identité la famille des identités, et la composition est simplement la composition composante par composante.
+=== Algèbre des chemins ===
+Étant donné un carquois <math>Q</math> et un [[corps (mathématiques)|corps]] ''k'', on peut définir l'algèbre de chemins <math>kQ</math> de <math>Q</math> comme l'algèbre dont la <math>k</math>-base est donnée par les [[Chemin_(théorie_des_graphes)|chemins]] de <math>Q</math> (y compris les chemins triviaux), la composition étant la concaténation si les chemins considérés peuvent être mis bout à bout, et donnant l'objet nul sinon.
+Un <math>kQ</math>-module n'est rien d'autre qu'une représentation de <math>Q</math>, au sens où la catégorie <math>\mathsf{mod}_{kQ}</math> des <math>kQ</math>-modules est équivalente<ref>{{Chapitre|langue=en|prénom1=Ralf|nom1=Schiffler|titre chapitre=Bound Quiver Algebras|titre ouvrage=Quiver Representations|éditeur=Springer International Publishing|collection=CMS Books in Mathematics|date=2014|isbn=978-3-319-09204-1|doi=10.1007/978-3-319-09204-1_5|lire en ligne=https://doi.org/10.1007/978-3-319-09204-1_5|consulté le=2021-05-14|passage=133–151}}</ref> à la catégorie <math>\mathsf{Rep}_k(Q)</math> des <math>k</math>-représentations de <math>Q</math>.
-Un <math>kK</math>-module n'est rien d'autre qu'une représentation de ''K'' (il y a un isomorphisme de catégories).
 == Classification ==
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 == Références ==
+<references/>
+== Bibliographie==
 * {{Ouvrage|langue=en|nom1=[[Victor Kac|V. G. Kac]]|titre=Infinite dimensional Lie algebras|éditeur=[[Cambridge University Press|CUP]]|année=1985|isbn=}}