Théorie d'Auslander-Reiten

En algèbre, la théorie d'Auslander-Reiten étudie la théorie des représentations des anneaux artiniens à l'aide de techniques telles que les suites d'Auslander-Reiten (également appelées suites presque scindées) et les carquois d'Auslander-Reiten. La théorie d'Auslander-Reiten a été introduite par Maurice Auslander et Iduun Reiten et développée par eux dans plusieurs articles ultérieurs.

Suite presque scindée[modifier | modifier le code]

Définition[modifier | modifier le code]

Soit $R$ une algèbre d'Artin. Une suite

0\to A\to B\to C\to 0

de modules gauches de type fini sur $R$ est appelée une suite presque scindée (ou suite d'Auslander–Reiten) si elle a les propriétés suivantes :

La suite n'est pas scindée ;
$C$ est indécomposable et tout homomorphisme d'un module indécomposable dans $C$ qui n'est pas un isomorphisme se factorise par $B$ ;
$A$ est indécomposable et tout homomorphisme de $A$ vers un module indécomposable qui n'est pas un isomorphisme se factorise par $B$ .

Pour tout module gauche de type fini $C$ qui est indécomposable mais non projectif, il existe une suite presque scindée comme ci-dessus, qui est unique à isomorphisme près. De même, pour tout module gauche de type fini $A$ qui est indécomposable mais non injectif, il existe une suitz presque scindée comme ci-dessus, qui est unique à isomorphisme près.

Le module $A$ dans la suite presque scindée est isomorphe à $D(Tr(C))$ , le dual de la transposée de $C$ .

Exemple[modifier | modifier le code]

On prend pour $R$ est l'anneau $k[x]/(x^{n})$ pour un corps $k$ et un entier $n\geq 1$ . Les modules indécomposables sont isomorphes à l'un des $k[x]/(x^{m})$ pour $1\leq m\leq n$ et le seul qui est projectif est celui pour $m=n$ . Les suites presque scindées sont isomorphes à

0\rightarrow k[x]/(x^{m})\rightarrow k[x]/(x^{m+1})\oplus k[x]/(x^{m-1})\rightarrow k[x]/(x^{m})\rightarrow 0

pour $1\leq m<n$ . Le premier morphisme envoie $a$ sur $(xa,a)$ , et le second envoie $(b,c)$ sur $b-xc$ .

Carquois d'Auslander-Reiten[modifier | modifier le code]

Le carquois d'Auslander-Reiten d'une algèbre d'Artin possède un sommet pour chaque module indécomposable et une flèche entre les sommets s'il existe un morphisme irréductible entre les modules correspondants. Il possède une application $\tau =D\ Tr$ appelée translation des sommets non projectifs vers les sommets non injectifs, où $D$ est le dual et $Tr$ la transposée.

Références[modifier | modifier le code]

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Auslander–Reiten theory » (voir la liste des auteurs).
Maurice Auslander, « A functorial approach to representation theory », Lecture Notes in Math., Berlin, New York, Springer-Verlag, vol. 944 « Representations of algebras (Puebla, 1980) »,‎ 1982, p. 105–179 (ISBN 978-3-540-11577-9, DOI 10.1007/BFb0094058, MR 672116)
Maurice Auslander, « The what, where, and why of almost split sequences », dans Proceedings of the International Congress of Mathematicians, Vol. 1 (Berkeley, Calif., 1986), Providence, R.I., Amer. Math. Soc., 1987 (MR 934232, lire en ligne), p. 338–345
Maurice Auslander, Idun Reiten et Sverre O. Smalø, Representation theory of Artin algebras, Cambridge University Press, coll. « Cambridge Studies in Advanced Mathematics » (n^o 36), 1997 (1^re éd. 1995) (ISBN 978-0-521-59923-8, MR 1314422, présentation en ligne).— Première édition en 1995
Maurice Auslander, Idun Reiten, Sverre O. Smalø et Øyvind Solberg, Selected works of Maurice Auslander. Part 1, Providence, R.I., American Mathematical Society, 1999a (ISBN 978-0-8218-0998-3, MR 1674397, présentation en ligne)
Maurice Auslander, Idun Reiten, Sverre O. Smalø et Øyvind Solberg, =Selected works of Maurice Auslander. Part 2, Providence, R.I., American Mathematical Society, 1999b (ISBN 978-0-8218-1000-2, MR 1674401, lire en ligne)
Maurice Auslander et Idun Reiten, « Representation theory of Artin algebras. III. Almost split sequences », Communications in Algebra, vol. 3, n^o 3,‎ 1975, p. 239–294 (ISSN 0092-7872, DOI 10.1080/00927877508822046, MR 0379599)
Peter Gabriel, « Auslander-Reiten sequences and representation-finite algebras », Lecture Notes in Math., Berlin, New York, Springer-Verlag, vol. 831 « Representation theory, I (Proc. Workshop, Carleton Univ., Ottawa, Ont., 1979) »,‎ 1980, p. 1-71 (ISBN 978-3-540-10263-2, DOI 10.1007/BFb0089778, MR 0607140)
Idun Reiten, « The use of almost split sequences in the representation theory of Artin algebras », Lecture Notes in Math., Berlin, New York, Springer-Verlag, vol. 944 « Representations of algebras (Puebla, 1980) »,‎ 1982, p. 29–104 (ISBN 978-3-540-11577-9, DOI 10.1007/BFb0094057, MR 672115)

Bibliographie[modifier | modifier le code]

Claire Amiot, « Raconte-moi ... un carquois », Gazette des mathématiciens, Société mathématique de France, n^o 155,‎ janvier 2018, p. 61-67 (zbMATH 1395.16007, HAL hal-02002244, lire en ligne).
(en) « Almost-split sequence », dans Michiel Hazewinkel, Encyclopædia of Mathematics, Springer, 2002 (ISBN 978-1556080104, lire en ligne)
Lidia Angeleri Hügel, « An Introduction to Auslander-Reiten Theory », Advanced School on Representation Theory and related Topics,‎ 2006 (lire en ligne)

Liens externes[modifier | modifier le code]

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