Alternative de Fredholm

En analyse fonctionnelle — une branche des mathématiques —, l’alternative de Fredholm, qui généralise l'un des théorèmes d'Ivar Fredholm — systématisés par Friedrich Riesz —, est un résultat de la théorie de Fredholm (en) donc de la théorie spectrale des opérateurs compacts (en). Motivée par l'étude de certaines équations intégrales, elle a fait émerger la notion d'opérateur de Fredholm. Elle énonce entre autres que tout scalaire non nul du spectre d'un opérateur compact est une valeur propre de cet opérateur.

Énoncé

L'alternative de Fredholm est la suivante :

Théorème — Soient E un espace vectoriel normé réel ou complexe, T un opérateur compact de E dans E et λ un scalaire non nul. Alors,T – λId_E est soit non injectif, soit surjectif.

Autrement dit : T – λId_E est injectif si et seulement s'il est surjectif.

Plus précisément :

• T – λId_E est un opérateur de Fredholm d'indice 0, c'est-à-dire que la codimension de son image et la dimension de son noyau sont égales et finies ;
• dans le cas où T – λId_E est bijectif, sa bijection réciproque est continue.

Remarques

• Puisque T/λ est encore compact, il revient au même d'énoncer le théorème seulement pour λ = 1.
• Le cas particulier où T est un endomorphisme de rang fini est un simple corollaire du théorème du rang, selon lequel codim(kerT) = rang(T) (sur un corps quelconque).En effet, si F est un supplémentaire de ker(T – Id_E) ⊕ kerT alors il est isomorphe à son image par T – Id_E et
  im(T – Id_E) = (T – Id_E)(kerT) ⊕ (T – Id_E)(F) = kerT ⊕ (T – Id_E)(F) donc
  codim(im(T – Id_E)) + dim(F) = codim(ker(T)) = dim(ker(T – Id_E)) + dim(F).
• L'hypothèse supplémentaire « E complet » est classique mais superflue.
• L'image im(T – Id_E) est fermée et son orthogonal dans E' est ker(^tT – Id_E). Si E est un espace de Hilbert, les sous-espaces im(T – Id_E) et ker(T* – Id_E) sont supplémentaires orthogonaux l'un de l'autre.

Démonstration

Notons Φ := T – Id_E.

Lemme 1

$\exists C\in \mathbb {R} \quad \forall x\in E\quad d(x,\ker \Phi )\leq C\|\Phi (x)\|.$

Démonstration

Sinon, il existerait une suite (x_n) de vecteurs telle que $\|\Phi (x_{n})\|=1$ et $d_{n}:=d(x_{n},\ker \Phi )\to +\infty$ puis des $y_{n}\in \ker \Phi$ tels que $d_{n}\leq \|x_{n}-y_{n}\|\leq 2d_{n}.$ Les vecteurs unitaires $z_{n}:={\tfrac {x_{n}-y_{n}}{\|x_{n}-y_{n}\|}}$ satisferaient alors les deux conditions $\Phi (z_{n})\to 0\quad {\rm {et}}\quad d(z_{n},\ker \Phi )\geq {\tfrac {1}{2}},$ qui interdisent à (z_n) d'avoir une valeur d'adhérence, donc aussi à (T(z_n)) puisque la différence de ces deux suites tend vers 0. Ceci contredirait la compacité de T.

Lemme 2

Le sous-espace im(Φ) est fermé.

Démonstration

Supposons que $\Phi (x_{n})\to y$ et montrons que $y\in {\rm {im}}\Phi$. D'après le lemme 1, la suite d(x_n, kerΦ) est bornée. Quitte à translater les x_n par des éléments de kerΦ, on peut donc supposer que (x_n) est bornée puis, par extraction d'une sous-suite, que (T(x_n)) converge vers un certain x. Alors, $x_{n}=T(x_{n})-\Phi (x_{n})\to x-y\quad {\rm {donc}}\quad y=\lim \Phi (x_{n})=\Phi (x-y).$

Lemme 3

Il existe un entier naturel m tel que im(Φ^m+1) = im(Φ^m) et ker(Φ^m+1) = ker(Φ^m).

Démonstration

Remarquons d'abord que les im(Φ^k) sont fermés (d'après le lemme 2 appliqué à Φ^k qui, comme Φ, est égal à ±Id_E à un compact près) et montrons que cette suite (décroissante) est stationnaire. Sinon, d'après le lemme de Riesz, il existerait une suite de vecteurs unitaires $y_{n}\in {\rm {im}}(\Phi ^{n})$ tels que $d(y_{n},{\rm {im}}(\Phi ^{n+1}))\geq {\tfrac {1}{2}}$ donc tels que $\forall k>n\quad {\tfrac {1}{2}}\leq \|y_{n}-(y_{k}+\Phi (y_{k})-\Phi (y_{n}))\|=\|T(y_{n})-T(y_{k})\|,$ ce qui contredirait la compacité de T.

On montre de la même façon que la suite (croissante) des ker(Φ^k) est stationnaire.

Lemme 4

Pour un entier m comme dans le lemme 3, les sous-espaces im(Φ^m) et ker(Φ^m) sont supplémentaires.

Démonstration

• $\ker \Phi ^{2m}=\ker \Phi ^{m}\Rightarrow {\rm {im}}\Phi ^{m}\cap \ker \Phi ^{m}=\{0\}.$
• ${\rm {im}}\Phi ^{m}={\rm {im}}\Phi ^{2m}\Rightarrow {\rm {im}}\Phi ^{m}+\ker \Phi ^{m}=E.$

Preuve du théorème

Conséquence immédiate du lemme 4.

Compléments

• Le lemme 1 montre que dans le cas où Φ est bijectif, Φ⁻¹ est continu.
• Le lemme 4 permet, pour prouver que codim(imΦ) et dim(kerΦ) sont égales et finies, de remplacer Φ par sa restriction à ker(Φ^m). La conclusion résulte alors du fait que le noyau de Φ^m est de dimension finie (car Φ^m est, comme Φ, égal à ±Id_E à un compact près).

Formulations particulières

Équations intégrales

Soient

• I un intervalle réel,
• K une fonction de I × I dans ℝ ou ℂ telle que l'opérateur à noyau T associé, défini sur L²(I) par$(T\phi )(x)=\int _{I}K(x,y)\phi (y)\,{\rm {d}}y,$soit compact — une condition suffisante pour cela est qu'il soit de Hilbert-Schmidt, c'est-à-dire que |K| soit de carré intégrable — et
• λ un scalaire non nul.

Considérons l'équation intégrale de Fredholm du premier type (c'est-à-dire homogène), $T\phi -\lambda \phi =0$ ainsi que sa version du second type, $T\phi -\lambda \phi =f.$

L'alternative de Fredholm dit que soit la première équation a une solution non nulle, soit la seconde admet une solution pour tout  f.

Spectre

L'alternative de Fredholm peut se reformuler de la sorte :

Soient E un espace vectoriel normé réel ou complexe et T un opérateur compact de E dans E. Un scalaire non nul est soit valeur propre de T, soit dans le domaine de définition de sa résolvante $\lambda \mapsto R(\lambda ,T)=(T-\lambda \operatorname {Id} _{E})^{-1}.$

Notes et références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Fredholm alternative » (voir la liste des auteurs).