Classe trace

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En mathématiques, un opérateur de classe trace, ou opérateur à trace, est un opérateur compact pour lequel on peut définir une trace au sens de l’algèbre linéaire, qui est finie et ne dépend pas de la base.

Définition[modifier | modifier le code]

En s’inspirant de la définition dans le cas de la dimension finie, un opérateur borné A sur un espace de Hilbert séparable est dit de classe trace si dans une certaine base hilbertienne {ek}k (et donc dans toutes) de H, la série à termes positifs suivante converge

\|A\|_{1}= {\rm Tr}|A|:=\sum_{k} \langle (A^*A)^{1/2} \, e_k, e_k \rangle,

où (A* A)1/2 désigne la racine carrée de l'opérateur positif (en) A* A.

Dans ce cas, la somme

{\rm Tr} A:=\sum_{k} \langle A e_k, e_k \rangle

est absolument convergente et ne dépend pas du choix de la base orthonormée. Ce nombre est appelé trace de A. Quand H est de dimension finie, on retombe sur la trace usuelle.

Par extension, si A est un opérateur positif, on peut définir sa trace, quitte à ce qu’elle soit infinie, comme la série à terme positifs

\sum_{k} \langle A e_k, e_k \rangle.

Propriétés[modifier | modifier le code]

  • Si A est positif, A est de classe trace si et seulement si Tr(A) < . Ainsi, un opérateur autoadjoint est de classe trace si et seulement si ses parties positive et négative sont de classe trace.
  • La Trace est une forme linéaire sur l’ensemble des opérateurs de classe trace, i.e.\operatorname{Tr}(aA+bB)=a\,\operatorname{Tr}(A)+b\,\operatorname{Tr}(B).La forme bilinéaire \langle A, B \rangle = \operatorname{Tr}(A^* B) définit un produit scalaire sur les opérateurs de classe trace. La norme qui y est associée est appelée la norme de Hilbert-Schmidt. Le complété des opérateurs de classe trace pour cette norme forme l’espace des opérateurs de Hilbert-Schmidt (en).
  • Si A est borné et B est de classe trace, AB et BA sont aussi de classe trace et[1] \|AB\|_1=\operatorname{Tr}(|AB|)\le \|A\|\|B\|_1,\qquad \|BA\|_1=\operatorname{Tr}(|BA|)\le \|A\|\|B\|_1.De plus et sous les mêmes hypothèses, \operatorname{Tr}(AB)=\operatorname{Tr}(BA).
  • Si A est de classe trace, on peut définir le déterminant de Fredholm de I+A : {\rm det} (I+A):=\prod_{n\ge 1}[1+\lambda_n(A)]où les \{\lambda_n(A)\}_n sont les valeurs propres de A. La condition de classe trace nous assure que le produit converge. Il nous garantit aussi que  (I+A) est inversible si et seulement si  {\rm det} (I+A)\neq 0.

Théorème de Lidskii[modifier | modifier le code]

Soit A un opérateur de classe trace sur un Hilbert séparable H, et soient \{\lambda_n(A)\}_{n=1}^N, N\leq \infty ses valeurs propres comptées avec multiplicité.

Le théorème de Lidskii[2] (dû à Victor Lidskii (ru)) veut que

\sum_{n=1}^N \lambda_n(A)=\operatorname{Tr}(A).

Notes et références[modifier | modifier le code]

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Trace class » (voir la liste des auteurs)

  1. Jacques Dixmier, Les algèbres d'opérateurs dans l'espace hilbertien, Gauthier-Villars,‎ 1957, p. 104, rééd. J. Gabay, 1996 (ISBN 978-2-87647-012-5)
  2. (en) Barry Simon (en), Trace Ideals and Their Applications, AMS,‎ 2010, 2e éd. (lire en ligne), p. 32

Articles connexes[modifier | modifier le code]