Utilisateur:Ovosilawalisovo/Brouillon

Le graphe d'une fonction arbitraire $y=f(x)$ (bleu). Graphiquement, la dérivée de $f$ en $x\approx 1.8$ est la pente de la droite orange (tangente à la courbe en $x\approx 1.8$).

En mathématiques, le calcul différentiel est un sous-domaine de l'analyse qui étudie les variations infinitésimales d'une fonction. Ce domaine permet donc d'étudier comment se comporte localement une fonction.

La différentielle d'une fonction est donc l'un des principaux objets d'étude du calcul différentiel, elle généralise notamment la notion de dérivée d'une fonction d'une variable réelle aux fonction de plusieurs variables. Géométriquement, la dérivée en un point d'une fonction à valeurs réelles est la pente de la tangente au graphe de la fonction en ce point.

Le calcul différentiel est l'un des deux domaines traditionnels de l'analyse, l'autre étant le calcul intégral, utilisé notamment pour calculer l'aire sous une courbe. Le calcul différentiel et le calcul intégral sont reliés par le théorème fondamental de l'analyse: la dérivation est le processus inverse de l'intégration.

Histoire

Le principe de tangente à une courbe est assez ancien, les premières traces, entre 300 av. J.-C. et 190 av. J.-C. proviennent des mathématiciens grecques antiques, dont Euclide, Archimède, et Apollonios de Perga. Archimède utilisait d'ailleurs la Méthode des indivisibles. On peut voir cette méthode comme l'ancêtre du calcul intégral, mais Archimède l'employait plutôt pour le calcul d'aire et de volume. L'utilisation des infinitésimaux pour étudier un taux de variation en un point a été surtout développé par Bhāskara II. On a notamment découvert que beaucoup de résultats de calcul différentiel ont été retrouvés dans son travail (comme le théorème de Rolle).

Dérivée

En mathématiques, la dérivée d'une fonction d'une variable réelle mesure l'ampleur du changement de l’image de la fonction (valeur de sortie) par rapport à un petit changement de son argument (valeur d'entrée). Le calcul de dérivées est un outil fondamental du calcul infinitésimal.

La différentielle généralise l'idée de dérivée en un point aux fonction de plusieurs variables ou à valeurs vectorielles, mais n'est pas traitée ici (voir l'article sur la différentielle).

Définition formelle

Soit ${\textstyle f:I\to \mathbb {R} }$ une application de ${\textstyle I}$, un intervalle réel d’intérieur ${\stackrel {\ \circ }{I}}$ non-vide dans l'ensemble des nombres réels. On dira que ${\textstyle f}$ est dérivable en un point $x_{0}\in {\stackrel {\ \circ }{I}}$ si le taux d'accroissement de $f$ en $x_{0}$ admet une limite en $0$:

$$\lim _{h\to 0}{\frac {f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{x_{0}+h-x_{0}}}=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}}.$$

Si ${\textstyle f}$ est dérivable en ${\textstyle x_{0}}$, sa dérivée en ${\textstyle x_{0}}$ est égale à la limite du taux d'accroissement. On la note alors $f'(x_{0})$ ou ${\dfrac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} x}}(x_{0})$. Enfin, si ${\textstyle f}$ est dérivable en tous points de $I$, on définit la fonction dérivée de $f$ comme l'application :

$${\begin{aligned}f':I&\longrightarrow \mathbb {\mathbb {R} } \\x&\longmapsto f'(x)\end{aligned}}$$

Applications

La dérivation a des applications dans presque tous les domaines quantitatifs. Par exemple, les dérivées sont fréquemment utilisées pour trouver les extremums (maximums et minimums, ou maxima et minima en français latin) d'une fonction.

Équations différentielles

Les équations impliquant des dérivées sont appelées équations différentielles. Elles sont fondamentales pour décrire les phénomènes naturels et utilisées dans de nombreuses disciplines scientifiques.

En physique

En mécanique, la vitesse d'un objet est définie par la dérivée de la position de l'objet par rapport au temps. L'accélération est la dérivée de la vitesse par rapport au temps. D'après la deuxième loi de Newton, appelée principe fondamental de la dynamique, la masse, supposée constante, d'un objet multipliée par la dérivée du vecteur vitesse de cet objet par rapport au temps est égale à la somme vectorielle des forces appliquées à cet objet, ce qui s'écrit mathématiquement par l'équation différentielle :

$m{d{\vec {v}} \over dt}=\sum {{\vec {\mathrm {F} }}_{i}}$.

Autres

En chimie, la vitesse d'une réaction est donnée par la dérivée de la concentration des espèces chimiques impliquées par rapport au temps.

En écologie, l'évolution des abondances des espèces au cours du temps est décrite par des équations différentielles. Ces équations impliquent généralement un taux de natalité et un taux de mortalité, et parfois les autres espèces du système (proies ou prédateurs). Les équations de Malthus, de Verhulst et de Lotka-Volterra sont des exemples classiques de modèles utilisés en dynamique des populations.

En recherche opérationnelle, les dérivées permettent de déterminer les moyens les plus efficaces de transporter des matériaux et de concevoir des usines.

Les dérivées et leurs généralisations apparaissent dans de nombreux domaines des mathématiques, tels que l'analyse complexe, l'analyse fonctionnelle, la géométrie différentielle, la théorie de la mesure et l'algèbre abstraite.

Voir aussi

• Différentielle
• Dérivée partielle
• Primitive

Notes et références

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Differencial calculus » (voir la liste des auteurs).