Théorème de Noether (physique)

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Emmy Noether est une mathématicienne allemande connue pour ses contributions majeures en algèbre abstraite et en physique théorique.

Le théorème de Noether exprime l'équivalence qui existe entre les lois de conservation et l'invariance du lagrangien d'un système par certaines transformations (appelées symétries) des coordonnées.

Démontré en 1915 et publié en 1918 par la mathématicienne Emmy Noether à Göttingen, ce théorème fut qualifié par Albert Einstein de « monument de la pensée mathématique » dans une lettre envoyée à David Hilbert en vue de soutenir la carrière de la mathématicienne[1].

Il est abondamment utilisé aujourd'hui par la physique théorique, où tout phénomène est abordé, chaque fois que possible, en matière de symétrie d'espace, de charges électriques, et même de temps.

Énoncés[modifier | modifier le code]

Théorème de Noether — À toute transformation infinitésimale qui laisse invariante l'intégrale d'action correspond une grandeur qui se conserve.

Un autre énoncé équivalent est :

Théorème — À toute transformation infinitésimale qui laisse le lagrangien d'un système invariant à une dérivée temporelle totale près correspond une grandeur physique conservée.

Chaque « invariance » traduit le fait que les lois de la physique ne changent pas lorsqu'une expérience subit la transformation correspondante, et donc, qu'il n'y a pas de référence absolue pour mener une telle expérience[2].

Démonstrations[modifier | modifier le code]

Remarque : Dans le cas général, on a pas nécessairement un unique paramètre mais plutôt un jeu de paramètres auxquels vont correspondre les invariants

Exemples[modifier | modifier le code]

Propriété du système physique Symétrie Invariant
Espace homogène Invariance par translation dans l'espace Conservation de l'impulsion
Espace isotrope Invariance par rotation dans l'espace Conservation du moment cinétique
Système indépendant du temps Invariance par translation dans le temps (les lois sont les mêmes tout le temps) Conservation de l'énergie
Pas d'identité propre des particules Permutation de particules identiques Statistique de Fermi-Dirac, Statistique de Bose-Einstein
Pas de référence absolue pour la phase des particules chargées Invariance par changement de phase Conservation de la charge électrique

Détaillons quelques-uns de ces exemples.

Quantité de mouvement[modifier | modifier le code]

Prenons tout d'abord le cas d'une particule libre, on a donc le lagrangien

invariant par translation. On voit bien ici que si on change l'origine des coordonnées, cela ne va pas modifier la physique de notre particule libre. Le lagrangien est donc invariant par la transformation de translation

avec les les composantes du vecteur décrivant la translation. On voit ici que l'on a, pour une translation infinitésimale d'un vecteur , une variation de nos coordonnées généralisées qui vaut . Les quantités conservées associée à cette transformation sont donc

avec le delta de Kronecker, on retrouve bien les composantes du vecteur quantité de mouvement.

Moment cinétique[modifier | modifier le code]

Considérons maintenant le cas d'un système invariant par rotation, prenons par exemple une particule placée dans un potentiel central , on a alors . Le système étant invariant par rotation (la norme de la vitesse est invariante par rotation), il semble pertinent de se placer en coordonnées sphériques, on a alors

La transformation associée à la rotation en coordonnées sphériques peut s'écrire comme , avec et les deux angles caractérisant la transformation. Pour une transformation infinitésimale on a donc et . On voit donc ici que les deux quantités conservées vont être

c'est à dire les deux composantes angulaires du moment cinétique multipliées par la masse. Attention cependant aux indices, on a et , et on a bien sûr par définition du produit vectoriel.

Énergie[modifier | modifier le code]

Si on a cette fois un système qui est invariant dans le temps, on a alors un lagrangien qui est indépendant du temps , . La transformation est ici une translation dans le temps, et se traduit pour les coordonnées temporelles par

ce qui conduit à la quantité conservée

Le lagrangien étant conservé aussi, on a la quantité totale

qui est conservée, or ce n'est rien d'autre que le hamiltonien du système. Le hamiltonien (l'énergie) est donc conservé pour les systèmes indépendants (explicitement) du temps.

Théorie des champs classique[modifier | modifier le code]

Le théorème de Noether est aussi valide en théorie des champs classique où le lagrangien est remplacé par une densité lagrangienne qui dépend de champs plutôt que de variables dynamiques. La formulation du théorème reste sensiblement la même[3] :

Théorème de Noether — À toute transformation infinitésimale qui laisse la densité lagrangienne d'un système invariante à une quadridivergence près correspond une quantité conservée.

Invariance de jauge et second théorème de Noether[modifier | modifier le code]

On considère de manière générale pour une densité de lagrangien quelconque

dont l'action associée doit être stationnaire pour toute transformation infinitésimale des champs selon le Principe de Hamilton. On a donc

où on a utilisé la convention d'Einstein pour la sommation sur les indices répétés, et où on a mis de coté les possibles transformations de l'espace temps (on a pris ). On voit donc que l'on peut reformuler ce résultat de manière générale comme

avec représentant donc les équations du mouvement pour le champ .

On s'intéresse maintenant à une densité de lagrangien invariante sous une transformation de jauge, c'est à dire une transformation locale des champs. Dans ce cas on va voir que l'on applique cette fois le second théorème de Noether.

Plus précisément on considère ici une densité de lagrangien invariante sous un groupe de transformation de dimension infinie et dépendant continûment de fonctions , groupe que l'on notera . On voit que dans le cas d'une telle transformation la variation infinitésimale des champs dans l'équation ci dessus se décompose comme

où la notation dénote le fait que l'on considère un infinitésimal. On voit donc que l'on peut reprendre l'équation précédente sous forme intégrale pour obtenir

or on voit ici que le second terme de la seconde équation est un terme de bord, et les fonctions étant arbitraires on peut toujours les choisir de sorte que ce terme s'annule. On obtient alors le second théorème de Noether[4]

Théorème — Si l'action S est invariante sous un groupe de transformation alors il existe relations .

Exemple[modifier | modifier le code]

Considérons par exemple la densité de Lagrangien

ne dépend que des dérivées première de (dans le cas abélien du moins). Elle est invariante sous la transformation de jauge locale

où voit qu'ici on a une seule fonction continue dans notre groupe de transformation, que l'on a noté . Cette transformation correspond sous forme infinitésimale à

on a alors

On en déduit que dans le cas de cette densité de Lagrangien on a la relation

On voit alors ici que si les équations du mouvement sont satisfaites pour les deux champs de masse et on a alors

or sachant que l'on a et on en déduit qu'ici le courant est conservé. Cela implique notamment que soit complètement antisymétrique, et donc construit à partir de .

De même si à l'inverse on impose que les équations de l'électromagnétisme soient satisfaites c'est à dire on obtient l'équation de conservation du quadri courant électrique usuel

Symétries internes[modifier | modifier le code]

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. (en) Leon M. Lederman et Christopher T. Hill, Symmetry and the Beautiful Universe, Prometheus Book, , 363 p. (ISBN 978-1-59102-575-7, lire en ligne), p. 73.
  2. « Aperçu sur la relation entre le Théorème de Noether et le Lagrangien », sur www-cosmosaf.iap.fr (traduction libre par J. Fric de Noether's Theorem in a Nutshell de J. Baez).
  3. (en) Herbert Goldstein, Classical Mechanics, p. 589.
  4. (en) Katherine Brading et Harvey R. Brown, « Noether’s Theorems and Gauge Symmetries », arXiv,‎ (lire en ligne).

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Bibliographie[modifier | modifier le code]

Article original[modifier | modifier le code]

  • [Noether 1918] (de) Emmy Noether, « Invariante Variationsprobleme » [« Problèmes variationnels invariants »], Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, Mathematisch-Physikalische Klasse, vol. , no 2,‎ , p. 235-257 (lire sur Wikisource, lire en ligne).

Dictionnaires et encyclopédies[modifier | modifier le code]

  • [Alekseevskii 1995] (en) D. V. Alekseevskii, « Noether theorem : 1) Noether's first theorem », dans Michiel Hazewinkel (éd.), Encyclopaedia of mathematics : an updated and annotated translation of the Soviet Mathematical encyclopaedia [« Encyclopédie de mathématiques : traduction, mise à jour et annotée, de l’Encyclopédie de mathématiques soviétique »], t. IV : Monge-Ampère equation – Rings and algebras [« Équation de Monge-Ampère – Anneaux et algèbres »], Dordrecht et Boston, Kluwer Academic, (réimpr. en 6 vol.), 1re éd., 1 vol., 929 p., fig., 21 × 29,7 cm (ISBN 1-556-08010-7 et 978-0-7923-2975-6, EAN 9781556080104, OCLC 36917086, DOI 10.1007/978-1-4899-3791-9, SUDOC 030253195, lire en ligne), s.v. Noether theorem : 1) Noether's first theorem [« Théorème de Noether : 1) Premier théorème de Noether »], p. 113-114.

Articles connexes[modifier | modifier le code]

Liens externes[modifier | modifier le code]