Théorème de Noether (physique)

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Emmy Noether est une mathématicienne allemande connue pour ses contributions majeures en algèbre abstraite et en physique théorique.

Le théorème de Noether exprime l'équivalence qui existe entre les lois de conservation et l'invariance des lois physiques en ce qui concerne certaines transformations (typiquement appelées symétries).

Démontré en 1915 et publié en 1918 par la mathématicienne Emmy Noether à Göttingen, ce théorème fut qualifié par Albert Einstein de « monument de la pensée mathématique » dans une lettre envoyée à David Hilbert en vue de soutenir la carrière de la mathématicienne[1].

Il est abondamment utilisé aujourd'hui par la physique théorique, où tout phénomène est abordé, chaque fois que possible, en matière de symétrie d'espace, de charges électriques, et même de temps.

Énoncé[modifier | modifier le code]

Théorème de Noether — À toute transformation infinitésimale qui laisse invariante l'intégrale d'action correspond une grandeur qui se conserve.

Un autre énoncé équivalent est:

Théorème de Noether — À toute transformation infinitésimale qui laisse le Lagrangien d'un système invariant à une dérivée temporelle totale près correspond une grandeur physique conservée.

Chaque « invariance » traduit le fait que les lois de la physique ne changent pas lorsqu'une expérience subit la transformation correspondante, et donc, qu'il n'y a pas de référence absolue pour mener une telle expérience[2].

De plus, à chaque fois qu'une symétrie continue existe, il existe une relation d'incertitude entre la grandeur physique conservée et la grandeur mesurant l'amplitude de la transformation[3].

L'invariance du Lagrangien à une dérivée temporelle totale près se traduit par une invariance des équations du mouvement d'un système.

Applications[modifier | modifier le code]

Relativité Symétrie Invariant Principe d'incertitude
Pas de position spatiale absolue Invariance par translation dans l'espace (les lois sont les mêmes partout) Conservation de l'impulsion
Pas de temps absolu Invariance par translation dans le temps (les lois sont les mêmes tout le temps) Conservation de l'énergie
Pas d'orientation absolue Invariance par rotation dans l'espace (il n'y a pas de direction privilégiée dans l'espace) Conservation du moment cinétique
Pas de vitesse absolue par rapport à celle de la lumière (relativité restreinte) Invariance du cône de lumière passant par un point de l'espace-temps. Transformations du groupe de Lorentz Conservation de l'intervalle d'espace temps
Pas d'accélération absolue (relativité générale) Difféomorphismes (Covariance générale) Action d'Einstein-Hilbert
Pas d'identité propre des particules Permutation de Particules identiques Statistique de Fermi-Dirac, Statistique de Bose-Einstein
Pas de référence absolue pour la phase des particules chargées Invariance par changement de phase Conservation de la charge électrique Fonction d'onde

Symétries internes[modifier | modifier le code]

Démonstrations[modifier | modifier le code]

Théorie des Champs Classique[modifier | modifier le code]

Le théorème de Noether est aussi valide en Théorie des Champs classique où le Lagrangien est remplacé par une densité Lagrangienne qui dépend de champs plutôt que de variables dynamiques. La formulation du théorème reste sensiblement la même[4]:

Théorème de Noether — À toute transformation infinitésimale qui laisse la densité Lagrangienne d'un système invariante à une quadridivergence près correspond une quantité conservée.

Remarque[modifier | modifier le code]

Le théorème s'applique à certaines classes de théories décrites soit par un lagrangien, soit par un hamiltonien, ce qui est le cas de la plupart des théories en physique.

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. (en) Leon M. Lederman et Christopher T. Hill, Symmetry and the Beautiful Universe, (ISBN 9781591025757, lire en ligne), p. 73.
  2. Aperçu sur la relation entre le Théorème de Noether et le Lagrangien
  3. Théorème de Noether, Université Louis Pasteur de Strasbourg, sept. 1999.
  4. (en) Herbert Goldstein, Classical Mechanics, p. 589

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Articles connexes[modifier | modifier le code]

Bibliographie[modifier | modifier le code]

  • Amaury Mouchet, L'Élégante Efficacité des symétries, chap. 10, Dunod, 2013 (ISBN 9782100589371) 240 pages
  • (en) Nina Byers, « E. Noether's Discovery of the Deep Connection Between Symmetries and Conservation Laws », Proceedings of a Symposium on the Heritage of Emmy Noether, Université Bar-Ilan, Israël,‎ , Texte en accès libre sur arXiv : physics/9807044.
  • (en) G. Sardanashvily (en), Noether conservation laws in classical mechanics, 2003. Texte en accès libre sur arXiv : math-ph/0302027.
  • (en) G. Sardanashvily, Noether conservation laws in quantum mechanics, 2003. Texte en accès libre sur arXiv : quant-ph/0302123.
  • Yvette Kosmann-Schwarzbach (de), Les Théorèmes de Noether : invariance et lois de conservation au XXe siècle. Avec une traduction de l'article original, « Invariante Variationsprobleme », avec la collaboration de Laurent Meersseman, École Polytechnique, 2e éd., 2004

Liens externes[modifier | modifier le code]