En physique, le lagrangien d'un système dynamique est une fonction des variables dynamiques qui permettent d'écrire de manière concise les équations du mouvement du système. Son nom vient de Joseph-Louis Lagrange, qui a établi les principes du procédé (à partir de 1788).
Considérons un système dynamique repéré par des paramètres de position qi (aussi appelés coordonnées généralisées). Au cours du temps, ces paramètres varient, leur taux de variation étant
. L'ensemble des paramètres
du système est constitué des qi, des
et du temps t. Dans un grand nombre de situations, il est possible de définir une fonction
telle que, si on pose :

(la dérivée partielle étant calculée comme si les paramètres étaient indépendants entre eux), alors les équations du mouvement sont données par :

Formellement, on constate que ces équations s'obtiennent par application du principe de moindre action (ou principe d'action extrémale), qui s'écrit :

avec l'action
.
Les équations du mouvement obtenues sont alors équivalentes aux équations d'Euler-Lagrange issues du principe précédent. Un système dynamique dont les équations du mouvement peuvent s'obtenir à partir d'un lagrangien est un système dynamique lagrangien. C'est le cas de la version classique du modèle standard, des équations de Newton, des équations de la relativité générale, et de problèmes purement mathématiques comme les équations des géodésiques ou le problème de Plateau.
La mécanique lagrangienne fut historiquement une reformulation de la mécanique classique à l'aide du concept de lagrangien. Dans ce contexte, le lagrangien est généralement défini par la différence entre l'énergie cinétique Ec = T et l'énergie potentielle Ep = V :

Avec ce formalisme, l'équation de Lagrange s'écrit :

Démonstration
Considérons un système constitué de points matériels de masse mi. Les positions
de ces points sont fonction des paramètres de position qk, ces derniers variant au cours du temps. Ces points sont soumis à des forces de liaison
, la résultante des autres forces étant
. S'il n'y a pas de frottement, le travail virtuel des forces de liaison lors d'un déplacement virtuel
est nul. La vitesse de chaque particule est donnée par :

C'est une fonction de
t, des
qj et des

.
L'énergie cinétique du système est donnée par :

On a, compte tenu de l'expression précédente de

:

où l'on a noté ⟨ , ⟩ le produit scalaire entre vecteurs. On a donc :

Mais

n'est autre que

. Donc :

donc :

L'application du principe fondamental de la dynamique donne, en tenant compte que, en ce qui concerne les forces de liaisons,

:

Supposons que chaque force

dérive d'un potentiel
Ui fonction de

, de sorte que

(où

désigne le gradient). On a alors :

et donc :

en prenant pour
V la somme des
Ui. La fonction
V ne dépend que des
qk donc, si l'on pose

, on obtient :

qui est bien l'équation de Lagrange annoncée.
Pour un lagrangien
donné, s'il est possible de le réécrire comme
où F est une fonction continue et différentiable quelconque des coordonnées généralisées du système, alors
satisfait aussi les équations d'Euler-Lagrange.
Démonstration
Soit un lagrangien
. On suppose que l'on peut le réécrire comme
où
est une fonction quelconque des coordonnées généralisées et du temps (une telle fonction peut survenir en effectuant une transformation des coordonnées du système par exemple). Dans ce cas, on a :

On peut réécrire la dérivée totale de F comme :

Donc
. On insère ceci dans l'équation d'Euler-Lagrange plus haut :

et ainsi, on voit que le lagrangien
satisfait aussi les équations d'Euler-Lagrange.
Cette propriété de transformation du lagrangien démontre que le lagrangien d'un système n'est jamais unique, car on peut toujours ajouter un terme de la forme
à un lagrangien tout en conservant les équations du mouvement.
La dérivée temporelle d'une variable est indiquée par un point porté au-dessus de celle-ci. Ainsi si
est la position,
désigne la vitesse et
l'accélération.
Le lagrangien d'une particule de masse m non relativiste dans un espace euclidien à trois dimensions, soumise à un potentiel Ep s'écrit :

ou encore

où
p est la quantité de mouvement :

Appliquons les équations d'Euler-Lagrange en coordonnées cartésiennes :

où l'indice
i désigne l'une des 3 variables spatiales :
x1 = x,
x2 = y et
x3 = z. Les dérivées respectives de

donnent alors :



donc on obtient explicitement pour chaque axe spatial i :

Dans un référentiel galiléen et lorsque la force dérive du potentiel V

on retrouve bien la
deuxième loi de Newton :

Soit un espace à trois dimensions en coordonnées sphériques
, et le lagrangien :

Les équations d'Euler-Lagrange s'écrivent alors :



Soit ici :



Ici l'ensemble des paramètres
se réduit au temps
, et les variables dynamiques
sont les trajectoires
des particules.
L'intégrale du lagrangien sur le temps est l'action, notée
. Dans la théorie des champs, on distingue parfois le lagrangien
, dont l'intégrale sur le temps est l'action :

de la densité lagrangienne
, qu'on intègre sur tout l'espace-temps pour obtenir l'action :
![{\displaystyle S[\varphi _{i}]=\int {{\mathcal {L}}[\varphi _{i}(x)]\,\mathrm {d} ^{4}x}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/88f3da12c9849f2a9a696e42a1f85c347a6f014d)
Le lagrangien est ainsi l'intégrale spatiale de la densité lagrangienne. Cependant, on appelle souvent
simplement le lagrangien, surtout dans l'usage moderne. C'est plus simple dans les théories relativistes où l'espace est défini localement. Ces deux types de lagrangiens peuvent être vus comme des cas particuliers d'une formule plus générale, selon qu'on introduit la variable spatiale
dans les index
ou dans les paramètres
pour écrire
. Les théories quantiques des champs en physique des particules, comme l'électrodynamique quantique, sont généralement écrites en termes de densités de lagrangiens
, ces termes se transformant facilement pour donner les règles permettant d'évaluer les diagrammes de Feynman.
Les équations d'Euler-Lagrange en théorie des champs s'écrivent
:

Non-unicité de la densité lagrangienne en théorie des champs classique[modifier | modifier le code]
Comme pour la non-unicité du lagrangien, la densité lagrangienne en théorie des champs n'est pas unique.
En effet, soit une densité lagrangienne
alors, si on peut la réécrire comme
où
est un quadrivecteur qui dépend uniquement des champs (et non de leurs dérivées) et du vecteur d'espace-temps, alors
satisfait les mêmes équations d'Euler-Lagrange que
.
Démonstration
En partant des équations d'Euler-Lagrange de la densité lagrangienne originale, on a pour tout
:
![{\displaystyle {\begin{aligned}0&=\partial _{\mu }\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\varphi _{i})}}\right)-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \varphi _{i}}}\\&=\partial _{\mu }\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}'}{\partial (\partial _{\mu }\varphi _{i})}}\right)-{\frac {\partial {\mathcal {L}}'}{\partial \varphi _{i}}}+\partial _{\mu }\left[{\frac {\partial }{\partial (\partial _{\mu }\varphi _{i})}}\partial _{\nu }F^{\nu }\right]-{\frac {\partial }{\partial \varphi _{i}}}\partial _{\nu }F^{\nu }\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b000272e29b3e44c9c85b99a13252e58bcdf0ab)
On peut réécrire la quadridivergence du vecteur
comme :
![{\displaystyle {\begin{aligned}\partial _{\mu }F^{\mu }[\varphi _{i},x]&=\sum _{i}{\frac {\partial F^{\mu }}{\partial \varphi _{i}}}\partial _{\mu }\varphi _{i}\\\rightarrow {\frac {\partial }{\partial (\partial _{\mu }\varphi _{i})}}\partial _{\nu }F^{\nu }&={\frac {\partial F^{\nu }}{\partial \varphi _{i}}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d9320167de8f30f41211ed436244d06b59c60944)
Ainsi, en insérant cette identité dans l'équation du haut on obtient :
![{\displaystyle {\begin{aligned}0&=\partial _{\mu }\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}'}{\partial (\partial _{\mu }\varphi _{i})}}\right)-{\frac {\partial {\mathcal {L}}'}{\partial \varphi _{i}}}+\partial _{\mu }\left[{\frac {\partial F^{\mu }}{\partial \varphi _{i}}}\right]-{\frac {\partial }{\partial \varphi _{i}}}\partial _{\nu }F^{\nu }\\&=\partial _{\mu }\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}'}{\partial (\partial _{\mu }\varphi _{i})}}\right)-{\frac {\partial {\mathcal {L}}'}{\partial \varphi _{i}}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/607c682b530c536c0b6e5d9015098a6384b53d36)
et ainsi, la densité lagrangienne
satisfait les mêmes équations d'Euler-Lagrange que la densité
.
En général, en mécanique classique lagrangienne, le lagrangien vaut :

Où
T est l'énergie cinétique et
V l'énergie potentielle.
Étant donné une particule chargée électriquement de masse m et charge q, et de vitesse
dans un champ électromagnétique de potentiel scalaire
, et de potentiel vecteur
, l'énergie cinétique de la particule est :

et son énergie potentielle est :

Le lagrangien électromagnétique est alors :

Démonstration
Cet encart explique comment on peut établir l'expression du lagrangien.
Le lagrangien électromagnétique se construit à partir de l'expression de la force de Lorentz qui est, rappelons-le, une force non conservative. Si elle ne dérive pas d'un potentiel classique, elle dérive en revanche d'un potentiel dit généralisé au sens des équations de Lagrange. Son énergie potentielle V satisfait en effet l'équation suivante :

La force de Lorentz a pour expression :

D'après Maxwell :

donc :
.
Or d'après la formule de Gibbs :
![{\displaystyle \Rightarrow {\vec {F}}=q[-{\vec {\nabla }}\phi -{\frac {\partial {\vec {A}}}{\partial t}}+{\vec {\nabla }}({\vec {v}}\cdot {\vec {A}})-({\vec {v}}\cdot {\vec {\nabla }}){\vec {A}}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/110e13dac0a5e810afb07c852e37c3604056dfbd)
![{\displaystyle =-q\left[{\frac {\partial {\vec {A}}}{\partial t}}+({\vec {v}}\cdot {\vec {\nabla }}){\vec {A}}\right]+q[-{\vec {\nabla }}\phi +{\vec {\nabla }}({\vec {v}}\cdot {\vec {A}})]=-q\left[{\frac {\partial {\vec {A}}}{\partial t}}+({\vec {v}}\cdot {\vec {\nabla }}){\vec {A}}\right]+q{\vec {\nabla }}[-\phi +({\vec {v}}\cdot {\vec {A}})]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c405d632b754be57c205ff308199524f1e0eef38)
![{\displaystyle =-q\left[{\frac {\partial {\vec {A}}}{\partial t}}+({\vec {v}}\cdot {\vec {\nabla }}){\vec {A}}\right]-{\frac {\partial }{\partial {\vec {r}}}}q[\phi -({\vec {v}}\cdot {\vec {A}})].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f498dd39172bb28d0e321eed02d90c60d8d0866)
Posons :
.
Déterminons
:
.
Or :
![{\displaystyle \Rightarrow {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\partial V'}{\partial {\vec {v}}}}=-q{\frac {\mathrm {d} {\vec {A}}}{\mathrm {d} t}}=-q{\frac {\partial {\vec {A}}}{\partial t}}-q\left[+{\frac {\partial {\vec {A}}}{\partial x}}{\dot {x}}+{\frac {\partial {\vec {A}}}{\partial y}}{\dot {y}}+{\frac {\partial {\vec {A}}}{\partial z}}{\dot {z}}\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/33bb3b3e5476c5d4357c452664f46e9914d41ba5)
On peut remarquer au passage :
![{\displaystyle {\frac {\partial {\vec {A}}}{\partial x}}{\dot {x}}+{\frac {\partial {\vec {A}}}{\partial y}}{\dot {y}}+{\frac {\partial {\vec {A}}}{\partial z}}{\dot {z}}={\begin{pmatrix}{}{\dot {x}}{\frac {\partial A_{x}}{\partial x}}+{\dot {y}}{\frac {\partial A_{x}}{\partial y}}+{\dot {z}}{\frac {\partial A_{x}}{\partial z}}\\{\dot {x}}{\frac {\partial A_{y}}{\partial x}}+{\dot {y}}{\frac {\partial A_{y}}{\partial y}}+{\dot {z}}{\frac {\partial A_{y}}{\partial z}}\\{\dot {x}}{\frac {\partial A_{z}}{\partial x}}+{\dot {y}}{\frac {\partial A_{z}}{\partial y}}+{\dot {z}}{\frac {\partial A_{z}}{\partial z}}\end{pmatrix}}=({\dot {x}}{\frac {\partial }{\partial x}}+{\dot {y}}{\frac {\partial }{\partial y}}+{\dot {z}}{\frac {\partial }{\partial z}}){\begin{pmatrix}{}A_{x}\\A_{y}\\A_{z}\end{pmatrix}}=\left[{\begin{pmatrix}{}{\dot {x}}\\{\dot {y}}\\{\dot {z}}\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}{}{\frac {\partial }{\partial x}}\\{\frac {\partial }{\partial y}}\\{\frac {\partial }{\partial z}}\end{pmatrix}}\right]{\begin{pmatrix}{}A_{x}\\A_{y}\\A_{z}\end{pmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b49da9e40d3e351714fbedcfe9b3fe05559b43ec)
donc :
.
![{\displaystyle V'=q[\phi -({\vec {v}}\cdot {\vec {A}})]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0401a5110a27d16077631aacb618521cb85ca314)
satisfait l'équation de Lagrange (*) vue supra.

est donc l'énergie potentielle relative à la
force de Lorentz dont le lagrangien est
![\quad L=\frac{1}{2}m\vec {v}^2 - q[\phi -(\vec v\cdot\vec A)]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e03f5d63d1b9eccce0aab98c78609e2e88772784)
.
Autre démonstration
Cet encart propose de vérifier que le lagrangien

donne bien le principe fondamental de la dynamique pour une particule de masse m et de charge électrique q soumise à la force de Lorentz. Il constitue donc la démonstration dans le sens contraire de la précédente.
On écrit explicitement
en coordonnées cartésiennes indicées
On a donc :

avec

composante n°
i du potentiel vecteur

et
Évaluons les équations de Lagrange pour la composante n°1 :

Or la dérivée totale par rapport au temps de

est égale à sa dérivée particulaire :

D'où l'expression de l'équation du mouvement pour la composante n°1 :


En simplifiant, il reste :

Avec

et

, on reconnait à droite de l'égalité l'expression de la première composante de la force de Lorentz. On procède de même pour les autres composantes
On se place dans l'espace de Minkowski
de la relativité restreinte. En présence de termes sources
, la densité lagrangienne du champ électromagnétique est donnée par

où

est le
tenseur de Maxwell, et

est le
quadrivecteur potentiel. Le premier terme est lié à la densité d'énergie du champ dans l'espace, et est
l'invariant de Lorentz le plus simple du tenseur

.
Exemples de densité lagrangiennes en théorie quantique des champs[modifier | modifier le code]
La densité lagrangienne pour un champ de Dirac (en) est :

où

est un
spineur,

est son
adjoint de Dirac,

est la
dérivée covariante de jauge, et

est la
notation de Feynman pour

.
Le lagrangien de l'électrodynamique quantique[modifier | modifier le code]
La densité lagrangienne en QED est :

où

est le
tenseur électromagnétique.
Le lagrangien de la chromodynamique quantique[modifier | modifier le code]
La densité lagrangienne en QCD est[1],[2],[3] :

où

est la
dérivée covariante de jauge en QCD, et

est le
tenseur de la
force du champ du
gluon.
Soit
une variété de dimension
, et une variété de destination
. Soit
l'ensemble des fonctions
de
dans
, appelé espace de configuration.
Avant tout donnons quelques exemples :
- en mécanique classique, dans le formalisme d'Hamilton,
est la variété de dimension 1
, qui représente le temps, et l'espace de destination est le fibré cotangent de l'espace des positions généralisées ;
- dans la théorie des champs,
est la variété espace-temps et l'espace de destination est l'ensemble des valeurs possibles des champs en chaque point. Si, par exemple, il y a
champs scalaires réels φ1,...,φm, alors la variété de destination est
. Si l'on a un champ de vecteurs réels, la variété de destination est isomorphe à
. Il y a en fait une manière plus élégante d'utiliser le fibré tangent, mais on s'en tiendra à cette version.
Supposons maintenant qu'il existe une fonctionnelle
, qu'on appelle l'action physique. C'est une application vers
, et non vers
, pour des raisons physiques.
Pour que l'action soit locale, nous avons besoin de restrictions supplémentaires. Si
on impose que S[φ] soit l'intégrale sur M d'une fonction de φ, de ses dérivées et des positions qu'on appelle le lagrangien
. En d'autres termes,
![{\displaystyle \forall \varphi \in {\mathcal {C}}\;,\;S[\varphi ]\equiv \int _{M}d^{n}x{\mathcal {L}}(\varphi (x),\partial \varphi (x),\partial ^{2}\varphi (x),\dots ,x).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/127a26fafe36af9706bc32049bd258b0d92cfada)
La plupart du temps, on impose que le lagrangien dépende uniquement de la valeur des champs, de leurs dérivées premières, mais pas des dérivées d'ordre supérieur. C'est en fait seulement par commodité, et ce n'est pas vrai en général. Nous le supposons cependant dans le reste de cet article.
Fixons des conditions aux limites, essentiellement la donnée de φ aux frontières si M est compact, ou une limite pour φ quand x tend vers l'infini (ce qui est pratique lors d'intégrations par parties). Le sous-espace de
des fonctions φ telles que toutes les dérivées fonctionnelles de l'action S en φ soient 0 et que φ satisfasse aux conditions aux limites est l'espace des solutions physiques.
La solution est donnée par les équations d'Euler-Lagrange (en utilisant les conditions aux limites) :

On retrouve la dérivée fonctionnelle par rapport à φ de l'action dans le membre de gauche.