Sous-espace caractéristique

Définitions

Soient $E$ un $\mathbb {K}$-espace vectoriel de dimension finie, $u$ un endomorphisme de $E$ et $\lambda$ une valeur propre de $u$.

On appelle sous-espace caractéristique, sous-espace spectral, ou encore espace propre généralisé de $u$ associé à la valeur propre $\lambda$ le sous-espace vectoriel

$N_{\lambda }(u)=\ker \left[(u-\lambda {\rm {Id}})^{m}\right]$

Id étant l'application identité et $m$ la multiplicité de $\lambda$ dans le polynôme minimal de $u$. Cet exposant $m$ est celui pour lequel le noyau dans la formule atteint sa dimension maximale : si on le remplace par une valeur plus grande, le noyau ne change plus. Pour cette raison on pourra aussi prendre la multiplicité de $\lambda$ dans le polynôme caractéristique, car celle-ci est toujours supérieur ou égale à $m$, d'après le théorème de Cayley-Hamilton.

Un vecteur $x\in E$ est un vecteur propre généralisé de $u$ associé à $\lambda$ si $x$ est non nul et s'il existe un entier $k\geq 1$ tel que $x\in \ker \left[(u-\lambda {Id})^{k}\right]$, autrement dit si $x\in N_{\lambda }(u)\backslash \{0\}$.

Propriétés

Les sous-espaces caractéristiques sont utilisés dans la caractérisation de la trigonalisation d'un endomorphisme.

En effet, un endomorphisme $u$ d'un espace vectoriel $E$ est trigonalisable si et seulement si $E$ est la somme (directe) des sous-espaces caractéristiques de $u$, c'est-à-dire si et seulement s'il existe une base de $E$ formée de vecteurs propres généralisés de $u$. Cette caractérisation rejoint celle donnée à l'aide du polynôme caractéristique, qui doit être scindé pour que l'endomorphisme soit trigonalisable.

Articles connexes

• Sous-espace supplémentaire
• Sous-espace stable
• Sous-espace propre