Série harmonique (musique)

Harmoniques d'une corde montrant les périodes des harmoniques de son pur (période = 1/fréquence) (phase nulle).

En acoustique musicale et en psychoacoustique, une série harmonique est la série des partiels harmoniques qui composent un son périodique complexe.

Les instruments de musique à hauteur déterminée (par opposition aux instruments à hauteur indéterminée) sont souvent basés sur un résonateur acoustique tel qu'une corde ou une colonne d'air, qui oscille dans de nombreux modes propres simultanément. Aux fréquences de chaque mode de vibration, des ondes se propagent dans les deux sens le long de la corde ou de la colonne d'air, se renforçant et s'annulant mutuellement pour former des ondes stationnaires. L'interaction avec l'air environnant provoque des ondes sonores audibles, qui s'éloignent de l'instrument. En raison de l'espacement typique des résonances, ces fréquences sont généralement limitées à des multiples entiers, ou harmoniques, de la fréquence la plus basse, et ces multiples forment une série harmonique.

La hauteur musicale d'une note est généralement perçue comme le partiel à la fréquence la plus basse présente (soit la fréquence fondamentale), qui peut être celle créée par la vibration sur toute la longueur de la corde ou de la colonne d'air, ou une harmonique plus élevée choisie par l'instrumentiste. Le timbre musical d'un son entretenu provenant d'un tel instrument est fortement influencé par la puissance relative de chaque harmonique.

Terminologie

Terminologies différentielles

Un « son complexe » (correspondant au son réel d'une note avec le timbre particulier de l'instrument qui la joue) « peut être décrit comme une combinaison de plusieurs ondes périodiques simples (c'est-à-dire des ondes sinusoïdales) ou « partiels », chacun ayant sa propre fréquence en vibration, amplitude et phase. » (voir aussi : analyse de Fourier).

Un partiel est n'importe laquelle des ondes sinusoïdales (ou « sons simples », comme Alexander John Ellis les appelle en 1885 dans sa traduction de Hermann von Helmholtz) dont un son complexe est composé, pas nécessairement avec un multiple entier de l'harmonique de rang le plus faible.

Un harmonique est un membre de la série harmonique, formée de partiels de fréquences multiples entiers positifs d'une fréquence fondamentale commune. La fondamentale est comptée elle-même parmi les membres de la série. Un partiel harmonique est une composante partielle réelle d'un son complexe qui correspond (ou presque) à une harmonique idéale.

Un partiel inharmonique est un partiel qui ne correspond pas à un harmonique idéal. L'inharmonicité est une mesure de l'écart d'un partiel par rapport à l'harmonique idéal le plus proche, généralement mesurée en cents pour chaque partiel.

De nombreux instruments acoustiques à hauteur définie sont conçus pour avoir des partiels qui sont proches de rapports de nombres entiers avec une inharmonicité très faible ; par conséquent, en théorie de la musique et dans la conception des instruments, il est commode, bien que pas strictement exact, de parler des partiels dans les sons de ces instruments comme « harmoniques », même s'ils peuvent avoir un certain degré d'inharmonicité. Le piano, l'un des instruments les plus importants de la tradition occidentale, contient un certain degré d'inharmonicité parmi les fréquences générées par chaque corde. D'autres instruments à hauteur, en particulier certains instruments de percussion, tels que le marimba, le vibraphone, les cloches tubulaires, les timbales et les bols chantants, contiennent principalement des partiels inharmoniques, mais peuvent donner à l'oreille une bonne idée de la hauteur grâce à quelques partiels forts qui ressemblent à des harmoniques. Les instruments à hauteur non marquée, ou à hauteur indéterminée, tels que les cymbales et les tam-tams produisent des sons (spectres) riches en sons partiels inharmoniques et ne donnent pas l'impression d'impliquer une hauteur de son particulière.

Un partiel correspond donc à toute composante supérieure à la partie la plus basse (fondamentale) du son analysé. Le terme « harmonique » n'implique pas d'harmonicité ou d'inharmonicité et n'a pas d'autre signification particulière que d'exclure la fondamentale. C'est principalement la puissance relative des différents partiels (harmoniques ou quelconques) qui donne à un instrument son timbre, sa couleur sonore ou son caractère particulier. Lorsqu'on écrit ou parle d'harmoniques et de partiels numériquement, il faut veiller à les désigner correctement pour éviter toute confusion de l'un avec l'autre : « Parce que les autres partiels sont plus hauts que le son fondamental qui donne au Clang (i.e. son complexe) son nom, on les appelle généralement overtones (en français : « partiel »). »

Certains instruments électroniques, tels que les synthétiseurs, peuvent jouer une fréquence pure sans composante (une onde sinusoïdale sans partiel). Les synthétiseurs peuvent également combiner des sons purs pour obtenir des sons plus complexes, par exemple pour émuler d'autres instruments. Certaines flûtes et certains ocarinas sont pratiquement dépourvus d'harmoniques.

Hermann von Helmholtz décrit les partiels harmoniques comme suit : « L'oreille n'entend pas seulement ce son dont la hauteur est déterminée par la période des vibrations, mais elle entend en plus de ceux-ci toute une série de sons plus élevés, que nous appelons les partiels harmoniques du son complexe (Klang), en opposition avec ce premier son, le son fondamental, qui est le plus grave et généralement le plus puissant et à partir de la hauteur duquel nous jugeons celle du son complexe tout entier. La série de ces partiels est précisément la même pour tous les sons complexes musicaux qui correspondent à un mouvement périodique uniforme de l'air. »

Citations

« Son fondamental : son musical qui donne la sensation de base de la hauteur et qui est perçu comme le premier terme de la série harmonique. »

— Arthur Honegger

« PARTIELS. - Terme utilisé en acoustique musicale. Définissent des états vibratoires différents caractéristiques d’un instrument. En fait, dans les instruments classiques les partiels sont des suites de séries harmoniques indépendantes, dont les fondamentaux sont voisins des harmoniques de la série la plus basse qui joue vis-à-vis d’eux le rôle apparent d’un fondamental. Les partiels doivent être considérés comme des 'séries harmoniques d’états différents de l’instrument (ou résonateur). Pour clarifier cette proposition nous dirions que dans un instrument à vent les différents partiels ne correspondent pas nécessairement à la même colonne d’air excitée. Leurs fréquences n’ont alors aucune raison d’être multiples de la fondamentale. On pourrait interpréter ce fait en disant que, l’énergie emmagasinée étant proportionnelle au carré de l’amplitude des déplacements et des fréquences,chaque instrument a une limite supérieure d’amplitude dans la perturbation physique. (..) »

— F. Wu et P. Pério, « La phase en acoustique musicale I. Analyse d’un signal quasi périodique », Le journal de Physique, t. 40, no 8, août 1979

Systèmes d'exemples

Harmoniques de cordes de rang pair du 2^e au 64^e (cinq octaves).

L'un des cas les plus simples à visualiser est celui d'une corde vibrante, comme dans l'illustration ; la corde a des points fixes à chaque extrémité, et chaque mode harmonique la divise en un nombre entier (1, 2, 3, 4, etc.) de sections de taille égale résonnant à des fréquences de plus en plus élevées. Des arguments similaires s'appliquent aux colonnes d'air vibrantes des instruments à vent (par exemple, "le cor d'harmonie était à l'origine un instrument sans valve qui ne pouvait jouer que les notes de la série harmonique" ou aussi cor naturel), bien qu'elles soient compliquées par la possibilité d'anti-nœuds (c'est-à-dire que la colonne d'air est fermée à une extrémité et ouverte à l'autre), conique par opposition à cylindrique. Les perces, ou les ouvertures d'extrémité qui vont du gamut à l'absence d'évasement, à l'évasement conique ou à l'évasement de forme exponentielle (comme dans les différents pavillons).

Dans la plupart des instruments de musique, la fondamentale (premier harmonique) est accompagnée d'autres harmoniques de fréquence plus élevée. Ainsi, des ondes de longueur d'onde plus courte et de fréquence plus élevée apparaissent avec une proéminence variable et donnent à chaque instrument sa signature sonore caractéristique. Le fait qu'une corde soit fixée à chaque extrémité signifie que la plus grande longueur d'onde autorisée sur la corde (qui donne la fréquence fondamentale) est le double de la longueur de la corde (un aller-retour, avec un demi-cycle entre les nœuds aux deux extrémités). Les autres longueurs d'onde autorisées sont des multiples réciproques (par exemple ¹⁄₂, ¹⁄₃, ¹⁄₄) de la fondamentale.

Théoriquement, ces longueurs d'onde plus courtes correspondent à des vibrations à des fréquences qui sont des multiples entiers (par exemple 2, 3, 4 fois) de la fréquence fondamentale. Les caractéristiques physiques du milieu vibrant et/ou du résonateur contre lequel il vibre modifient souvent ces fréquences. (Voir inharmonicité et accord étiré (en) pour les altérations spécifiques aux instruments à cordes métalliques et à certains pianos électriques). Cependant, ces altérations sont minimes et, sauf dans le cas d'un accordage précis et hautement spécialisé, il est raisonnable de considérer les fréquences de la série harmonique comme des multiples entiers de la fréquence fondamentale.

La série harmonique est une progression arithmétique (f, 2f, 3f, 4f, 5f, ...). En termes de fréquence (mesurée en cycles par seconde, ou hertz, où f est la fréquence fondamentale), la différence entre les harmoniques consécutifs est donc constante et égale à la fondamentale. Mais comme l'oreille humaine réagit au son non linéairement, les harmoniques supérieurs sont perçus comme « plus proches » que les inférieurs. D'autre part, la série des octaves est une progression géométrique (2f, 4f, 8f, 16f, ...), et les gens perçoivent ces distances comme « équivalent » au sens d'intervalle musical. En termes d'audition, chaque octave de la série harmonique est divisée en intervalles de plus en plus « petits » et de plus en plus nombreux.

Le deuxième harmonique, dont la fréquence est le double de la fondamentale, sonne une octave plus haut ; le troisième harmonique, dont la fréquence est le triple de la fondamentale, sonne une quinte juste au-dessus de la deuxième harmonique. Le quatrième harmonique vibre à quatre fois la fréquence de la fondamentale et sonne une quarte juste au-dessus du troisième harmonique (deux octaves au-dessus de la fondamentale). Le double du nombre d'harmoniques signifie le double de la fréquence (qui sonne une octave plus haut).

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  Illustration en notation musicale de la série harmonique (sur do) jusqu'au 20^e harmonique. Les nombres au-dessus de l'harmonique indiquent la différence &ndash ; en cents par rapport au tempérament égal (arrondi à l'entier le plus proche). Les notes bleues sont très bémolisées et les notes rouges sont très augmentées. Les auditeurs habitués à un accord plus tonal (en), tel que le tempérament mésotonique et les tempéraments bien tempérés, remarquent que beaucoup d'autres notes sont « décalées ».
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  Harmoniques sur le do, du 1^er (fondamental) au 32^e harmonique (cinq octaves plus haut). La notation utilisée est basée sur la notation dénommée « intonation juste étendue » de Ben Johnston.
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  La série harmonique en tant que notation musicale avec les intervalles entre les harmoniques étiquetés. Les notes bleues diffèrent le plus significativement du tempérament égal. On peut écouter A₂ (110 Hz) et 15 de ses partiels.
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  Notation des partiels 1, 3, 5, 7, 11, 13, 17, et 19 sur do. Ce sont des « nombres premiers harmoniques »..

Marin Mersenne (1588-1648) a écrit : « L'ordre des Consonances est naturel, et [...] la manière dont nous les comptons, depuis l'unité jusqu'au nombre six et au delà, est fondée sur la nature. » Cependant, pour citer Carl Dahlhaus, « l'intervalle-distance de la rangée des tons naturels partiels [...], comptant jusqu'à 20, comprend tout ce qui va de l'octave au quart de ton, (et) des tons musicaux utiles et inutiles. La série harmonique des tons naturels justifie tout, c'est-à-dire rien. »

Harmoniques et accordage

Si les harmoniques sont déplacés d'une octave et transposés dans l'espace d'une octave, certains d'entre eux sont approximés par les notes de ce que l'Occident a adopté comme échelle chromatique basée sur le ton fondamental. La gamme chromatique occidentale a été modifiée en douze demi-tons égaux, ce qui est légèrement désaccordé avec de nombreux harmoniques, en particulier les 7e, 11e et 13e harmoniques. À la fin des années 1930, le compositeur Paul Hindemith a classé les intervalles musicaux en fonction de leur dissonance relative sur la base de ces relations harmoniques et d'autres similaires.

Voici une comparaison entre les 31 premiers harmoniques et les intervalles du tempérament égal à 12 tons (12TET), déplacés d'une octave et comprimés dans l'étendue d'une octave. Les champs teintés mettent en évidence les différences supérieures à 5 cents (¹⁄₂₀ d'un demi-ton), ce qui correspond au « seuil de discrimination » de l'oreille humaine pour des notes jouées l'une après l'autre (des différences plus petites sont perceptibles avec des notes jouées simultanément).

Harmonique					Intervalle en tant que rapport	Intervalle en binaire	Intervalle 12TET	Note	Variance cents
1	2	4	8	16	1, 2	1	tonique (octave)	do	0
				17	17/16 (1.0625)	1.0001	seconde mineure	do , ré	+5
			9	18	9/8 (1.125)	1.001	seconde majeure	ré	+4
				19	19/16 (1.1875)	1.0011	tierce mineure	ré , mi	−2
		5	10	20	5/4 (1.25)	1.01	tierce majeure	mi	−14
				21	21/16 (1.3125)	1.0101	quarte	fa	−29
			11	22	11/8 (1.375)	1.011	quarte augmentée	fa , sol	−49
				23	23/16 (1.4375)	1.0111			+28
	3	6	12	24	3/2 (1.5)	1.1	quinte	sol	+2
				25	25/16 (1.5625)	1.1001	sixte mineure	sol , la	−27
			13	26	13/8 (1.625)	1.101			+41
				27	27/16 (1.6875)	1.1011	sixte majeure	la	+6
		7	14	28	7/4 (1.75)	1.11	septième mineure	la , si	−31
				29	29/16 (1.8125)	1.1101			+30
			15	30	15/8 (1.875)	1.111	septième majeure	si	−12
				31	31/16 (1.9375)	1.1111			+45

Les fréquences de la série harmonique, étant des multiples entiers de la fréquence fondamentale, sont naturellement liées les unes aux autres par des rapports de nombres entiers et les petits rapports de nombres entiers sont probablement à la base de la consonance des intervalles musicaux (voir intonation juste). Cette structure objective est renforcée par des phénomènes psychoacoustiques. Par exemple, une quinte juste, disons aux fréquences de 200 et de 300 Hz, fait qu'un auditeur perçoit un son résultant de 100 Hz (soit la différence entre 300 Hz et 200 Hz) ; c'est-à-dire une octave en dessous de la note la plus grave (celle qui sonne réellement : la fondamentale). Ce son résultant de premier ordre de 100 Hz (fréquence de battement) interagit ensuite avec les deux notes de l'intervalle pour produire des sons résultants de deuxième ordre de 200 (300 − 100) et de 100 (200 − 100) Hz et tous les autres sons combinés de troisième ordre sont tous identiques, étant formés à partir de diverses soustractions de 100, 200 et 300. Si l'on oppose à cela un intervalle dissonant tel qu'un triton (non tempéré) avec un rapport de fréquence de 7:5, on obtient, par exemple, 700 − 500 = 200 (son de combinaison de 1er ordre) et 500 − 200 = 300 (2e ordre). Les autres sons combinés sont des octaves de 100 Hz.

Tous les intervalles succombent à une analyse similaire, comme l'a démontré Paul Hindemith dans son livre The Craft of Musical Composition, bien qu'il ait rejeté l'utilisation des harmoniques à partir de la septième et au-delà.

Le mode mixolydien est consonant avec les 10 premiers harmoniques de la série harmonique (le 11e harmonique, un triton, n'est pas dans le mode mixolydien). Le mode ionien n'est consonant qu'avec les 6 premiers harmoniques de la série (le septième harmonique, une septième mineure, n'est pas dans le mode ionien). Le Rishabhapriya ragam (en) est consonant avec les 14 premiers harmoniques de la série.

Timbre des instruments de musique

Les amplitudes relatives (puissances) des différents harmoniques déterminent principalement le timbre des différents instruments et sons, bien que les transitoires, les formants, les bruits et les inharmonicités jouent également un rôle. Par exemple, la clarinette et le saxophone ont des becs et des anches similaires et produisent tous deux des sons par résonance de l'air à l'intérieur d'une chambre dont l'extrémité de l'embouchure est considérée comme fermée. Le résonateur de la clarinette étant cylindrique, les harmoniques pairs sont moins présents. Le résonateur du saxophone est conique, ce qui permet aux harmoniques pairs d'être plus présents et donc de produire un son plus complexe. L'inharmonicité du résonateur métallique de l'instrument est encore plus marquée dans les sons des cuivres.

Les oreilles humaines ont tendance à regrouper en une seule sensation les composantes de fréquence cohérentes en phase et liées par des harmoniques. Plutôt que de percevoir les partiels individuels - harmoniques et inharmoniques - d'un son musical, l'homme les perçoit ensemble comme une couleur de ton ou un timbre, et la hauteur (musique) globale est entendue comme la fondamentale de la série harmonique expérimentée. Si l'on entend un son composé ne serait-ce que de quelques sinusoïdes simultanées et si les intervalles entre ces tons font partie d'une série harmonique, le cerveau a tendance à regrouper ces données en une sensation de hauteur de la fondamentale de cette série, même si la fondamentale n'est pas présente.

Les variations de la fréquence des harmoniques peuvent également affecter la hauteur fondamentale "perçue". Ces variations, les plus clairement documentées dans le piano et d'autres instruments à cordes, mais également apparentes dans les cuivres, sont causées par une combinaison de la rigidité du métal et de l'interaction de l'air ou de la corde vibrante avec le corps résonant de l'instrument.

Puissance de l'intervalle

David Cope (en) (1997) suggère le concept de force de l'intervalle dans lequel la force, la consonance ou la stabilité d'un intervalle (voir consonance et dissonance) est déterminée par son approximation à une position plus basse et plus forte, ou plus haute et plus faible, dans la série harmonique. Voir aussi : Loi de Lipps-Meyer (en).

Ainsi, une quinte juste tempérée égale () est plus forte qu'une tierce mineure tempérée égale (), puisqu'elles se rapprochent respectivement d'une quinte juste parfaite () et d'une tierce juste mineure (). La tierce mineure apparaît entre les harmoniques 5 et 6, tandis que la quinte juste apparaît plus bas, entre les harmoniques 2 et 3.

Voir aussi

Articles connexes

• Loi acoustique d'Ohm, série de Fourier
• Klang (musique) (en)
• Otonalité et Utonalité (en)
• Inharmonicité du piano
• Échelle des harmoniques (en)
• Série de sous-harmoniques (en)

Bibliographie

• (en) Hugo Riemann (trad. de l'allemand par John South Shedlock), Dictionary of Music [« Musiklexikon »], London, Augener & Co, 1896
• (en) Manuel Op de Coul, « List of intervals (Compiled) », Huygens-Fokker Foundation centre for microtonal music (consulté le 15 juin 2016).
• (en) A. K. Datta, R. Sengupta,, N. Dey et D. Nag, Experimental Analysis of Shrutis from Performances in Hindustani Music, Kolkata, India, SRD ITC SRA, 2006 (ISBN 81-903818-0-6, lire en ligne), p. I-X, 1–103.
• (de) Hermann von Helmholtz, Die Lehre von dem Tonempfindungen. Zweite ausgabe, Braunschweig, Vieweg und Sohn, 1865 (lire en ligne), p. I–XII, 1–606 (voir l'ouvrage Sensations of Tone).
• (en) IEV, « Electropedia: The World's Online Electrotechnical Vocabulary », Commission électrotechnique internationale, 1994 (consulté le 15 juin 2016).
• (en) Horace Lamb et Hugh Chisholm (dir.), « Harmonic Analysis », dans Encyclopædia Britannica 1911, vol. 12, Londres, 1910, 11^e éd. (lire sur Wikisource), p. 956-958.
• (en) Harry Partch, Genesis of a Music: An Account of a Creative Work, Its Roots, and Its Fulfillments, New York, Da Capo Press, 1974, 2nd enlarged éd. (ISBN 0-306-80106-X, lire en ligne).
• (en) Jan Frederik Schouten, The residue, a new component in subjective sound analysis, Eindhoven, Holland, Natuurkundig Laboratorium der N. V. Philips' Gloeilampenfabrieken (communicated by Prof. G. Holst at the meeting), 24 février 1940 (lire en ligne), p. 356–65.
• (ru) Волконский, Андрей Михайлович, ru:Основы темперации, Композитор, Москва,‎ 1998 (ISBN 5-85285-184-1, lire en ligne).
• (ru) Юрий Николаевич Тюлин et Беспалова, Н. (dir.) (trad. The teaching on harmony), ru:Учение о гармонии, Moscow, Музыка,‎ 1966.

Liens externes

• Notice dans un dictionnaire ou une encyclopédie généraliste :

  • Britannica