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Effet Magnus

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Page d’aide sur l’homonymie

Pour les articles homonymes, voir Magnus.

Effet Magnus sur un cylindre dans une soufflerie à fumées.
Mouvement 2D d'un demi-million de (très petits) disques rigides à l'encontre d'un grand disque.

L’effet Magnus, encore nommé effet Magnus-Robins, étudié par Heinrich Gustav Magnus, est un phénomène aérodynamique qui explique la déviation que subit un objet en rotation se déplaçant dans un fluide (la trajectoire de l'objet étant différente de la pseudo-parabole habituelle et pouvant, pour certaines rotations, sortir du plan où se développerait une trajectoire habituelle).

Lorsque l'effet Magnus s'applique sur des cylindres, il peut être utilisé comme moyen de sustentation ou de propulsion.

Histoire

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L’Effet Magnus a été décrit en février 1672 et finement analysé par Isaac Newton dans une de ses lettres[1],[n 1]

Le britannique Benjamin Robins met en lumière en 1742 cet effet aérodynamique et en effectue les premières mesures[n 2]. Cependant cette découverte, boudée par Euler, tombe dans l'oubli, jusqu'à ce que Heinrich Gustav Magnus redécouvre en 1852 l'effet auquel il attache longtemps son seul nom[2]. En 1877, usant de la superposition classique de deux écoulements potentiels (écoulements non-visqueux), John William Strutt Rayleigh propose une première explication théorique de l’effet observé par Robins mais à propos des trajectoires particulières de balles de tennis[n 3].

En 1877, John William Strutt Rayleigh publie un traité « Sur le vol irrégulier des balles de tennis »[3],[4],[5] où il cherche à expliquer la trajectoire courbe d’une balle en termes d'effet Magnus.

Pour ce qui est de la première utilisation pratique de l'effet Magnus, un document technique de la marine américaine[5] cite le Capitaine Lacroix qui témoigne qu'autour de 1895, à Shanghai, un missionnaire équipa un sampan d'un simple rotor mis en rotation par la force humaine. Le sampan se serait alors déplacé plus vite que les autres sampans de taille équivalente à la rame[6].

Principe de l'effet Magnus

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La rotation d'un objet placé dans un vent relatif (l'objet se déplaçant par rapport à l'air ou l'air se déplaçant par rapport à l'objet) modifie asymétriquement le champ des vitesses du fluide autour de l'objet. Dans l'animation ci-dessus à droite, où l'air vient de la droite, on voit très bien que le cylindre, lorsqu'il se met à tourner, projette l'air de la soufflerie vers le haut. La loi sur la conservation des quantités de mouvement de Newton impose alors l'existence d'une force vers le bas (cette force est donc une force de réaction).

Animation de la chute d'un cylindre en papier influencée par l'effet Magnus.
Animation montrant une boucle réalisée par effet Magnus avec deux pots de yaourts.

Cependant, cette modification asymétrique de l'écoulement ne se fait pas directement par la friction du corps contre l'air ambiant, comme il a longtemps été pensé[n 4],[n 5],[n 6].

Par principe, la couche limite qui enveloppe un corps en déplacement dans un fluide s'épaissit en s'éloignant vers l'aval depuis le point d'arrêt. Mais cet épaississement de la couche limite peut être très largement diminué si la vitesse relative entre le fluide qui s'écoule et la surface du cylindre est diminuée. Ici réside apparemment la clé de l'explication des propriétés particulières du cylindre en rotation. Du côté où la surface du cylindre se déplace dans le même sens que l'écoulement, la couche limite est très mince et ne montre aucune tendance à se séparer du cylindre. Au contraire, de l'autre côté (où la surface du cylindre va à l'encontre du fluide), la vitesse relative est beaucoup plus grande, de sorte que la couche limite se sépare rapidement du corps[7][source secondaire nécessaire]. C'est cette dissymétrie dans le comportement de la couche limite (et donc dans son décollement de la surface du cylindre) qui crée la portance et donc l'effet Magnus.

Valeur de la force de Magnus

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Courbe donnant les coefficients de Portance et de Traînée d'un cylindre rotatif se déplaçant en travers, par rapport au vent.

Le graphe ci-contre indique les coefficients de Portance et de Traînée de trois cylindres, dont deux sont équipés de disques aux extrémités. Ces coefficients de Portance et de Traînée sont établis en repère vent[n 7].

Busemann et Küchemann, cités par Friedrich Wilhelm Riegels[8], donnent le coefficient de portance de cylindres rotatifs disposant de plaques d’extrémités de 3 diamètres[n 8],[5]. L'intérêt de ces mesures est néanmoins de prolonger la courbe de portance jusqu'à des rapports de vitesses de 13[9][source secondaire nécessaire].

Écoulement autour d'un rotor de Magnus avec disques d'extrémités.

Effet Magnus sur la sphère

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Effet Magnus sur la sphère lisse, d'après Hoerner.

L'effet Magnus se développe aussi sur les sphères lisses et sur les sphères pas forcément lisses que sont les balles et les ballons de sport. L'image ci-contre montre le et le d'une sphère lisse selon le rapport de sa vitesse équatoriale avec la vitesse de l'écoulement (donc sa vitesse de déplacement dans l'air)[10]. On peut noter l'existence d'une zone d'effet Magnus inverse pour les faibles vitesses[n 9].

Balistique

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En mai 1912, A. Lafay, professeur à l'École polytechnique, écrit : « L’effet Magnus qui fournissait une explication de la déviation des projectiles a été pendant quelque temps, utilisé par l'artillerie lisse, pour augmenter la portée des boulets [sphériques]. À cet effet, on leur imprimait systématiquement une rotation autour d'un axe perpendiculaire au plan de tir et dans un sens tel que, du côté du sol, leur vitesse équatoriale soit dirigée vers le but [sens inverse d’un boulet qui roulerait sur le sol, donc]. La portée, dans certains cas, se trouvait augmentée du 1/3 de sa valeur »[11].

Visualisation des lignes de courant autour d'un cylindre, par Prandtl et Tietjens, avec un effet Magnus établi.

Ludwig Prandtl explique incidemment comment les anciens canonniers faisaient tourner leurs boulets :

« Vers 1830 [c.-à-d. avant que Gustav Magnus rende publique, en 1852, son explication, NpW], afin de contrôler ces rotations très aléatoires des boulets [et donc leur trajectoire], on utilisa des boulets dont le centre de gravité était excentré. On a alors constaté que lorsqu'un tel boulet était chargé avec le centre de gravité vers le bas, le coup était régulièrement court ; si, par contre, le centre de gravité était chargé vers le haut, le coup s’avérait long, ceci parce que la pression des gaz de poudre (étant dirigée contre le centre [géométrique] de la balle) provoquait une rotation vers le bas dans le premier cas et une rotation vers le haut dans le second cas. De même, placer le centre de gravité à droite ou à gauche provoquait une déviation correspondante vers la droite ou vers la gauche. Cette déviation ne pouvait s'expliquer par l'hypothèse d'une impulsion latérale à la bouche du canon, car des expériences avec des disques [de papier] placés à différentes distances de la bouche du canon avaient montré que le boulet était dévié tout au long de sa trajectoire et non uniquement à la sortie du canon »[12]

Dans les sports de balle

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Article détaillé : Effet Magnus et turbulence dans le football.

En jargon sportif et s'agissant des balles ou ballons, il existe plus d'un terme pour qualifier l'effet Magnus : ainsi, en tennis et ping-pong on parle d'un coup « lifté », tandis qu'en football, d'un tir « enveloppé » ou « brossé ».

Sens de l'effet Magnus

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Sens de l'effet Magnus, ici vers le bas si le ballon est vu de côté.

D'après Albert Betz : « La portance est dirigée depuis l'axe de rotation du corps vers le côté du corps où la vitesse relative entre le fluide et la surface du corps tournant est la plus petite, c'est-à-dire le côté où le mouvement périphérique, dû à la rotation, est dans la direction du courant de fluide »[13].

Animation de la règle des trois doigts indiquant le sens de la force de Magnus

Une autre façon de déterminer la direction et le sens de l'effet Magnus est d'utiliser la proposition de G. Delanghe : « Le sens de la force due à l'effet Magnus est donné par une règle que nous proposons d'appeler règle des trois doigts, main droite, par analogie avec l'électromagnétisme : si l'on place le pouce de la main droite dans le sens de la vitesse relative du vent, le médius dans le sens du vecteur rotation (dextrorsum) du cylindre, l'index se trouve dirigé suivant la force de Magnus »[14].

Couple et puissance nécessaires à la rotation du rotor

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Couple de rotation du rotor Magnus, mesuré par A. Lafay en 1912.

Après G. Magnus, beaucoup d’auteurs ont noté le peu d’énergie nécessaire pour maintenir la rotation d’un cylindre développant un effet Magnus.

Lafay écrivait : « Il est certainement très remarquable que les perturbations intenses qui caractérisent le phénomène de Magnus ne nécessitent pas une dépense d'énergie [pour la rotation du cylindre] notablement plus grande que celle qui permet d'entretenir la rotation du cylindre en air calme [c.-à-d. sans vent, NpW] »[11],[n 10].

En 1986 Borg/Luther group écrivait : « L'une des zones grises de notre connaissance de l'effet Magnus est la valeur du couple requis pour faire tourner le rotor cylindrique. La méthode utilisant le Nombre de Reynolds débouche généralement sur des puissances sous-dimensionnées alors que l'approche de Froude tend à être trop prudente »[15].

Relevé du couple nécessaire à la rotation d'un cylindre par Thom et Sengupta, en 1932.

Il est également possible d'adopter, d’après le Borg/Luther group[4] qui admet la proposition de Froude, les formules suivantes (en unités SI) donnant Couple et Puissance nécessaires à la rotation d'un rotor cylindrique (ici dans l'air)[n 11] :

…ainsi que :

…formules[n 12] où est la surface (du cylindre) soumise à la friction de l'air en , est la vitesse circonférentielle du cylindre en (vitesse de la friction, donc) et le rayon de ce cylindre en  ; le couple et la puissance sont ici donnés en et en . D’après le Borg/Luther group, ces deux formules donnent des valeurs "trop prudentes"[15].

Les mesures du couple nécessaire à la rotation d'un cylindre de Magnus

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Coefficient de friction pariétale sur le cylindre tournant, sans vent, selon le Reynolds (basé sur le diamètre et la vitesse circonférentielle.
Abaque donnant la puissance nécessaire pour mettre en rotation des cylindres lisses.

En 1932, A. Thom et S. R. Sengupta effectuent des mesures du couple nécessaire à la rotation d'un cylindre traversant la veine d'une soufflerie[16].

En 1944, Theodore Theodorsen (en) et Arthur Regier publient les mesures du moment nécessaire à la rotation de différents corps, dont des cylindres de différentes tailles dans divers fluides[17][pertinence contestée].

Existence d'un effet Magnus inverse

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Relevés de la force de Magnus, par Auguste Lafay.

L’existence d’un effet Magnus inverse est découverte en 1910 par Auguste Lafay mais expliqué seulement en 1956 par Krahn[18],[19].

Dans son texte de 1910, Lafay donne effectivement des valeurs de la portance de Magnus qui permettent de tracer le graphe ci-contre, ce que Lafay résume ainsi : « Avec un cylindre bien lisse les effets d'inversion peuvent être relativement considérables; ils diminuent d'intensité lorsque la surface du corps tournant devient de plus en plus rugueuse. »

Animation montrant la cuvette d'effet Magnus inverse selon le Reynolds.

En 1932 Thom et Sengupta écrivent, quant à eux[16] : « On observera que, alors que la portance d'un cylindre rugueux [recouvert de sable, npW] est représentée par une courbe unique et toujours positive, des portances vraiment négatives sont obtenue avec le cylindre lisse quand le rapport des vitesses est inférieur à 1/2, pourvu que le Nombre de Reynolds soit supérieur à environ 70 000 »[n 13],[n 14][pertinence contestée].

Propulsion de navires par rotors Flettner

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L'utilisation de l'effet Magnus a été proposée pour des systèmes de propulsion composés de gros cylindres verticaux en rotation capables de produire une poussée longitudinale lorsque le vent est correctement orienté.

Le Buckau (rebaptisé plus tard Baden-Baden)

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Animation de la Polaire du navire Buckau à 2 rotors de Flettner
Le Buckau, équipé de deux rotors Flettner.

L'Allemand Anton Flettner fait transformer le schooner trois mâts Buckau dans les chantiers Germania de Kiel en Allemagne, et acquiert avec lui une première expérience avec ce principe de propulsion. Le Buckau, qui fit son premier voyage d'essai en 1924 équipé de deux rotors, disposait évidemment d'un moteur auxiliaire à hélice[n 15],[20],[7]. Après plusieurs essais sous différentes conditions de vent, le Buckau, rebaptisé Baden-Baden, traverse l'Atlantique et rallia New York le [20].

Le Barbara

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Barbara au port de Barcelone.

Les chantiers navals A.G. Weser de Brême construisirent pour l'armateur hambourgeois Rob. M. Sloman jr. le Barbara jaugeant 2077 tonneaux et le mirent en service le . La marine commerciale du Reich équipa ce cargo de trois rotors Flettner pour assister le système de propulsion. Avec un vent de force 4 Beaufort, il atteignait 4 nœuds en remontant au vent, et même 9 vent en poupe. Malgré cela, le principe de la propulsion par rotors Flettner perdit vers 1930 la course à la rentabilité face à des navires à hélice ou à voiles classiques et dans le cadre du faible coût des carburants pétroliers[réf. nécessaire].

Le E-Ship

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Le E-ship.

En 2006, la société de construction d'éoliennes Enercon commande aux chantiers navals Lindenau-Werft de Kiel un cargo de 130 m de long équipé, en plus de deux moteurs Diesel, de quatre rotors Flettner. Il a été mis à l'eau en , et mis en service en . Enercon estime l’économie d'énergie réalisée grâce aux quatre rotors à 30 à 45 %[21].

Le Bull Timberwolf

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Le Bull Timberwolf (ex Maersk Pelican) est un navire pétrolier construit en 2008. Il a été équipé de deux mâts à effet Magnus en 2018. Cet équipement entraîne une diminution de 8,2 % de sa consommation de fioul[22].

L'Alcyone

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L'Alcyone à Concarneau
Article détaillé : Alcyone (bateau).

Ce navire utilise deux turbovoiles non tournantes de section elliptique de 10,2 m de haut et 2,05 m de corde, ce qui crée une surface d'aile de 21 m2 par turbovoile. Chaque turbovoile doit être orientée en fonction du vent (comme une voile), mais l'extrados de chaque turbovoile (son côté sous le vent) comporte une fente à travers laquelle l'écoulement est aspiré par une turbine, ce qui recolle cet écoulement et augmente considérablement l'effet propulsif. Le fonctionnement de la turbovoile peut être associé à l'effet Magnus, mais il est plutôt comparable au fonctionnement d'une aile épaisse à extrados aspiré.

Sustentation des aéronefs par l'effet Magnus

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Avion vraie grandeur à rotors de Flettner.
Modèle réduit utilisant l'effet Magnus.

L'effet Magnus qui est utilisé à la propulsion des navires peut être utilisé également pour la sustentation des aéronefs. S. F. Hoerner note cependant que la finesse de tels aéronefs[n 16] est de l'ordre de 5, plus faible que celle d'avions à ailes classiques qui atteignent aisément une finesse de 15 à 20[23].

Bibliographie

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Notes et références

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Notes

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  1. ↑ "Alors j'ai commencé à me demander si les Rayons [lumineux], après leur trajectoire à travers le Prisme, ne se déplaçaient pas en lignes courbes, et ne tendaient pas vers diverses parties du mur selon leur plus ou moins grande courbure. Et ma suspicion fut augmentée quand je me souvins que j'avais souvent vu une balle de tennis, frappée avec une raquette oblique, décrire une telle ligne courbe. Car un mouvement circulaire aussi bien qu'un mouvement d’avancement lui étant communiqué par cette frappe, ses parties du côté où ces deux mouvements conspirent, doivent presser et battre l'air contigu plus violemment que de l'autre [côté], et y exciter une réticence et une réaction de l'air proportionnellement plus grandes. Et pour la même raison, si les Rayons de lumière devaient éventuellement être des corps globulaires, [...]."
  2. ↑ Benjamins Robins publia en 1742 New Principles of Gunnery, ouvrage sur lequel seront basées de nombreuses recherches ultérieures dans ce domaine et où apparaissent les premières mesures de ce que l'on nommera plus tard l'effet Magnus et que pour cette raison certains nomment l'effet Magnus-Robins. Pour toutes ces études Robins est fréquemment surnommé le père de la balistique moderne. L'ouvrage New Principles of Gunnery sera traduit en allemand par un Euler enthousiaste en 1745, ce dernier ne croyant cependant pas à la portance latérale des projectiles rotatifs découverte par Robins, ce qui ôta peut-être à Robins l'antériorité de la découverte de l'effet Robins-Magnus.
  3. ↑ « On the Irregular Flight of a Tennis-Ball », dans Scientific Papers: Volume 1: 1869–1881, vol. 1, Cambridge University Press, coll. « Cambridge Library Collection - Mathematics », (ISBN 978-1-108-00542-5, lire en ligne), p. 344–346
  4. ↑ Pour cette critique de l'ancienne théorie de Kutta-Joukovski, voir le NACA TM 228 [1]
  5. ↑ Dans sa note technique NACA TN No 228 [2] consacrée au navire Buckau utilisant l'effet Magnus, F. Rizzo écrit :"Le calcul montre que, bien qu'il existe une certaine relation entre les vitesses théoriques et expérimentales [prédites pour le Buckau], celles obtenues d'après les mesures en soufflerie sont sans aucun doute plus proches des vitesses réelles du navire que celles obtenues par l'utilisation de la force propulsive théorique [trouvée par la théorie de Kutta-Joukowski]." Autrement dit : la théorie montre bien la tendance, mais les valeurs de force qu'elle prône sont irréalistes. Plus loin, Rizzo approfondit : « La principale difficulté rencontrée dans la théorie de Kutta-Joukowski, comme l'ont souligné d'éminentes autorités, réside dans la détermination de la circulation réelle et de sa distribution autour du corps ; dans le cas d'un cylindre en rotation, la circulation est en effet supposée être inversement proportionnelle à la distance r du centre et non altérée par la viscosité, le glissement ou de tels éléments nuisibles. Au contraire dans la théorie des ailes préconisée par l'école de Göttingen [(théorie qui donne de bons résultats)], la circulation autour des ailes est en fait déterminée à partir de l'état constaté de l'écoulement lui-même. »
  6. ↑ Dans son texte commandé par l’US Navy, Magnus Effect: An Overview of Its Past and Future Practical Applications [3], le groupe Borg/Luther donne comme valeur du coefficient de portance théorique  :
    …où est le rapport entre la vitesse circonférentielle du rotor et la vitesse de l’écoulement. Il ajoute : « Cette valeur théorique du coefficient de portance est beaucoup plus élevée que ce qui a été obtenu par les mesures dans des fluides réels. [...] Tout cela semblerait indiquer que le coefficient de portance théorique est peu utile dans le choix des dimensions des rotors mais les résultats d'une majorité d'expériences tendent à se situer dans une enveloppe comprise entre 50% et 25% du théorique. [...] Les approximations dans la plage de rapport de vitesse de 2 à 5 approcheraient : pour les cylindres à rapport d'aspect élevé ayant des plaques d'extrémités généreuses, et être plus proche de : pour les rotors les plus trapus. Il ne semble pas y avoir de recette technique pratique pour prédire avec précision la portance par effet Magnus pour des cylindres de proportions non testées (mais cela est également vrai pour les sections de profil aérodynamique conventionnelles). [...] Si le rapport hauteur / diamètre et / ou le diamètre des disques d'extrémités sont plus grands, alors le coefficient de portance le sera aussi et l'inverse sera également vrai. »
  7. ↑ c.-à-d. que la Portance est la projection de la force aérodynamique totale sur la normale au vent et à l'axe des cylindres et que la Traînée est la projection de la même force aérodynamique totale sur l'axe du vent. Ces mêmes coefficients sont établis en référence à la pression dynamique créée par le vent de la soufflerie ainsi qu'en référence à la surface frontale DL des cylindres.
  8. ↑ Dans la mise ne pratique de l'effet Magnus, ce diamètre de disques d’extrémités est beaucoup trop fort car il induit la nécessité de trop fortes puissances pour l’entraînement en rotation du rotor
  9. ↑ Cette partie négative de la courbe de portance n'a pas été vue par certains des premiers chercheurs, mais A. Lafay y avait été confronté très tôt dans son étude de l'effet Magnus sur le cylindre et avait noté que cette inversion de la portance était très sensible à l'état de surface du cylindre et s'annulait avec la rugosité de celui-ci (CONTRIBUTION EXPÉRIMENTALE À L'AÉRODYNAMIQUE DU CYLINDRE ET À L'ÉTUDE DU PHÉNOMÈNE DE MAGNUS, par M. Lafay, professeur à l'École polytechnique, REVUE DE MÉCANIQUE, mai 1912. [4]).
  10. ↑ Lafay, toujours, écrit en janvier 1912 dans le même texte à propos de l’influence sur les écoulements de leur frottement sur les parois des corps :" Quoi qu'il en soit, la possibilité de produire des changements importants dans la nature et les effets du champ aérodynamique sans payer ce résultat par une dépense d'énergie en rapport avec les perturbations obtenues montre bien, il me semble, le véritable mode d'action à la fois indirect et profond des frottements en aérodynamique." [Ce constat de Lafay est tout à fait en accord avec la notion de Couche limite de Prandtl, qui date de 1904, ainsi qu’avec les explications de la crise de traînée du cylindre.]
  11. ↑ Dans l'eau, les scalaires doivent simplement être remplacés par .
  12. ↑ Attention au fait que le coefficient n'est en rien un scalaire : il a une dimension, comme le montre une rapide analyse dimensionnelle. Pour un rotor tournant dans l'eau, ce coefficient doit être remplacé par .
  13. ↑ Voir à ce sujet le graphe de Thom et Sengupta.
  14. ↑ On peut noter sur l'animation ci-contre que Swanson relève des portances négatives au-dessus du Reynolds diamétral du souffle 100 000, alors que sur le graphe de Lafay ci-contre, on peut l'estimer à ~120 000.
  15. ↑ ...ne serait-ce que parce qu'il fallait une (petite) source d'énergie électrique pour faire tourner les deux rotors.
  16. ↑ La finesse aérodynamique d'un aéronef est son rapport Portance/Traînée et quantifie son rendement énergétique donc sa consommation en service.

Références

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  1. ↑ A letter of Mr. Isaac Newton, of the University of Cambridge, containing his new theory about light and color, Philosophical Transactions of the Royal Society 6 (1671), 3075–3087 [5]
  2. ↑ Ueber die Abweichung der Geschosse 1852
  3. ↑ Lord Rayleigh "On the Irregular Flight of a Tennis Ball,"(a) Scientific Papers, vol. 1, 1857, p. 344-346. (b) Messenger of Mathematics, vol. 7, 1877, p. 14.
  4. ↑ a et b Borg/Luther Group, Magnus Effect 1986, p. 61
  5. ↑ a b et c ADAMagnus 1986, p. 118
  6. ↑ Capitaine L. Lacroix, Les Écraseurs de crabes sur les derniers voiliers caboteurs, Nantes, Aux Portes Du Large, , p. 337-338
  7. ↑ a et b (en) Jakob Ackeret, « Recent experiments at the Gottingen Aerodynamic Institute » [« Traduit en anglais dans le Technical Memorendum NACA TM No 323 »], Zeitschrift fur Flugtechnik und Motorluftschiffahrt,‎ , p. 44-52 (lire en ligne [PDF])
  8. ↑ AEROFOIL SECTIONS, Results from wint-tunnel investigations, Theoretical foundations, by Dr Friederich Wilhem Riegels, translated from the German by D. G. Randall, London, Butterworths, 1961 [6]
  9. ↑ Voir, pour ces apports ce graphe.
  10. ↑ Hoerner 1965, p. 140.
  11. ↑ a et b A. Lafay, « Contribution expérimentale à l'aérodynamique du cylindre et à l’étude du phénomène de Magnus », sur Gallica, Revue de mécanique, (consulté le )
  12. ↑ NACA TM No 367, Application of the Magnus effect to the wind propulsion of ships, L. Prandtl [7]
  13. ↑ (en) Albert Betz, « The "Magnus Effect", the Principle of Flettner Rotor », Zeitschrift des Vereins deutscher Ingenieure, traduit dans le NACA REPORT no 310,‎ (lire en ligne [PDF])
  14. ↑ G. Delanghe, « Les théories de l'aérodynamique moderne : Sur l'effet Magnus et les voiles tournantes Flettner », sur Gallica, Génie Civil, (consulté le ), p. 455
  15. ↑ a et b Borg/Luther Group, Magnus Effect 1986, p. 74
  16. ↑ a et b A. Thom et S. R. Sengupta, « Air torque on a cylinder rotating in an air stream », ARC R&M, no 1520,‎ (lire en ligne)
  17. ↑ NACA REPORT No. 793 1944
  18. ↑ Krahn, E., "Negative Magnus Force", J. Aeronaut. Sci., April 1956, p. 377-378
  19. ↑ AGARDMagnus 1973, p. 8
  20. ↑ a et b (en) Ludwig Prandtl, « Application of the "Magnus effect" to the wind propulsion of ships : Traduit en anglais dans le Technical Memorendum NACA TM No 367 » [« Magnuseffekt und Windkraftschiff »], Die Naturwissenschaft,‎ , p. 93-108 (lire en ligne [PDF])
  21. ↑ https://www.ouest-france.fr/bretagne/brest-29200/e-ship-1-un-cargo-propulsion-eolienne-4240707
  22. ↑ (en) Ankur Kundu, « Maersk sells first tanker with rotor sails », sur FleetMon, (consulté le )
  23. ↑ Sighard F. Hoerner (en), Résistance à l'avancement dans les fluides, Gauthier-Villars, , p. 130

Voir aussi

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Articles connexes

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