Nombre palindrome

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Un nombre palindrome est un nombre symétrique écrit dans une certaine base a comme ceci : a_1 a_2 a_3 \cdots|\cdots a_3 a_2 a_1\,.

Tous les nombres en base 10 d'un chiffre {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} sont palindromes. Il existe neuf nombres palindromes à deux chiffres :

{11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99}.

Il existe 90 nombres palindromes de trois chiffres :

{101, 111, 121, 131, 141, 151, 161, 171, 181, 191, ..., 909, 919, 929, 939, 949, 959, 969, 979, 989, 999}

et aussi 90 nombres palindromes de quatre chiffres :

{1001, 1111, 1221, 1331, 1441, 1551, 1661, 1771, 1881, 1991, ..., 9009, 9119, 9229, 9339, 9449, 9559, 9669, 9779, 9889, 9999},

donc, il existe 199 nombres palindromes inférieurs à 104. Il existe 1 099 nombres palindromes inférieurs à 105 et pour les autres exposants de 10n, nous avons : 1 999,10 999,19 999,109 999,199 999,1 099 999, ... (suite A070199 de l'OEIS). Pour certains types de nombres palindromes, ces valeurs sont indiquées dans la table ci-dessous. Ici, 0 est inclus.

101 102 103 104 105 106 107 108 109 1010
n naturel 10 19 109 199 1099 1999 10999 19999 109999 199999
n pair 5 9 49 89 489 + + + + +
n impair 5 10 60 110 610 + + + + +
n carré parfait 3 6 13 14 19 + +
n premier 4 5 20 113 781 5953
n sans carré 6 12 67 120 675 + + + + +
n avec carré (μ(n)=0) 3 6 41 78 423 + + + + +
n carré avec racine première 2 3 5
n avec un nombre pair de facteurs premiers distincts (μ(n)=1) 2 6 35 56 324 + + + + +
n avec un nombre impair de facteurs premiers distincts (μ(n)=-1) 5 7 33 65 352 + + + + +
n pair avec un nombre impair de facteurs premiers
n pair avec un nombre impair de facteurs premiers distincts 1 2 9 21 100 + + + + +
n impair avec un nombre impair de facteurs premiers 0 1 12 37 204 + + + + +
n impair avec un nombre impair de facteurs premiers distincts 0 0 4 24 139 + + + + +
n pair sans-carré avec un nombre pair de facteurs premiers distincts 1 2 11 15 98 + + + + +
n impair sans-carré avec un nombre pair de facteurs premiers distincts 1 4 24 41 226 + + + + +
n impair avec exactement deux facteurs premiers 1 4 25 39 205 + + + + +
n pair avec exactement deux facteurs premiers 2 3 11 64 + + + + +
n pair avec exactement trois facteurs premiers 1 3 14 24 122 + + + + +
n pair avec exactement trois facteurs premiers distincts
n impair avec exactement trois facteurs premiers 0 1 12 34 173 + + + + +
n nombre de Carmichaël 0 0 0 0 0 1+ + + + +
n pour lequel σ(n) est palindrome 6 10 47 114 688 + + + + +

Buckminster Fuller a qualifié les nombres palindromes « nombres de Schéhérazade » dans son livre Synergetics, parce que Schéhérazade était le nom de la femme qui contait, dans Les Mille et Une Nuits.

Des additions ayant un palindrome pour résultat[modifier | modifier le code]

Prenez un nombre au hasard. Additionnez-le avec son symétrique en lecture. Selon le nombre, en appliquant successivement le même processus au résultat, on peut obtenir un palindrome.

1234 + 4321 = 5555, c'est un palindrome. Autre exemple : 149 + 941 = 1090 ; 1090 + 0901 = 1991, on obtient un palindrome en deux étapes.

On ne connait pas, bien que l'on en soupçonne l'existence, de nombres pour lesquels ce processus d'addition par le nombre symétrique ne donnerait pas de palindrome. De tels nombres sont appelés Nombre de Lychrel.

Des multiplications ayant un palindrome pour résultat[modifier | modifier le code]

111 111 111 multiplié par 111 111 111 donne 12 345 678 987 654 321.

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Articles connexes[modifier | modifier le code]

Lien externe[modifier | modifier le code]

Les nombres palindromes, par Michel Hort


(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Palindromic number » (voir la liste des auteurs)