Nombre palindrome

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Un nombre palindrome est un nombre symétrique écrit dans une certaine base a comme ceci : .

Tous les nombres en base 10 d'un chiffre {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} sont palindromes. Il existe neuf nombres palindromes à deux chiffres :

{11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99}.

Il existe 90 nombres palindromes de trois chiffres :

{101, 111, 121, 131, 141, 151, 161, 171, 181, 191, ..., 909, 919, 929, 939, 949, 959, 969, 979, 989, 999}

et aussi 90 nombres palindromes de quatre chiffres :

{1001, 1111, 1221, 1331, 1441, 1551, 1661, 1771, 1881, 1991, ..., 9009, 9119, 9229, 9339, 9449, 9559, 9669, 9779, 9889, 9999},

donc, il existe 199 nombres palindromes inférieurs à 104. Il existe 1 099 nombres palindromes inférieurs à 105 et pour les autres exposants de 10n, nous avons : 1 999,10 999,19 999,109 999,199 999,1 099 999, ... (suite A070199 de l'OEIS). Pour certains types de nombres palindromes, ces valeurs sont indiquées dans la table ci-dessous. Ici, 0 est inclus.

101 102 103 104 105 106 107 108 109 1010
n naturel 10 19 109 199 1099 1999 10999 19999 109999 199999
n pair 5 9 49 89 489 + + + + +
n impair 5 10 60 110 610 + + + + +
n carré parfait 3 6 13 14 19 + +
n premier 4 5 20 113 781 5953
n sans carré 6 12 67 120 675 + + + + +
n avec carré (μ(n)=0) 3 6 41 78 423 + + + + +
n carré avec racine première 2 3 5
n avec un nombre pair de facteurs premiers distincts (μ(n)=1) 2 6 35 56 324 + + + + +
n avec un nombre impair de facteurs premiers distincts (μ(n)=-1) 5 7 33 65 352 + + + + +
n pair avec un nombre impair de facteurs premiers
n pair avec un nombre impair de facteurs premiers distincts 1 2 9 21 100 + + + + +
n impair avec un nombre impair de facteurs premiers 0 1 12 37 204 + + + + +
n impair avec un nombre impair de facteurs premiers distincts 0 0 4 24 139 + + + + +
n pair sans-carré avec un nombre pair de facteurs premiers distincts 1 2 11 15 98 + + + + +
n impair sans-carré avec un nombre pair de facteurs premiers distincts 1 4 24 41 226 + + + + +
n impair avec exactement deux facteurs premiers 1 4 25 39 205 + + + + +
n pair avec exactement deux facteurs premiers 2 3 11 64 + + + + +
n pair avec exactement trois facteurs premiers 1 3 14 24 122 + + + + +
n pair avec exactement trois facteurs premiers distincts
n impair avec exactement trois facteurs premiers 0 1 12 34 173 + + + + +
n nombre de Carmichael 0 0 0 0 0 1+ + + + +
n pour lequel σ(n) est palindrome 6 10 47 114 688 + + + + +

Buckminster Fuller a qualifié les nombres palindromes « nombres de Schéhérazade » dans son livre Synergetics, parce que Schéhérazade était le nom de la femme qui contait, dans Les Mille et Une Nuits.

Définition formelle[modifier | modifier le code]

Bien que les nombres palindromes soient le plus souvent représentés dans le système décimal, le concept de palindromicité peut être appliqué aux entiers naturels dans n'importe quel système de numération. Considérons un nombre n > 0 en base b ≥ 2, où il est écrit en notation standard avec k+1 chiffres tel que:

avec 0 ≤ ai < b pour tout i et ak ≠ 0. Alors n est un nombre palindrome si et seulement si ai = aki pour tout i.

Des additions ayant un palindrome pour résultat[modifier | modifier le code]

Prenez un nombre au hasard. Additionnez-le avec son symétrique en lecture. Selon le nombre, en appliquant successivement le même processus au résultat, on peut obtenir un palindrome.

1234 + 4321 = 5555, c'est un palindrome. Autre exemple : 149 + 941 = 1090 ; 1090 + 0901 = 1991, on obtient un palindrome en deux étapes.

On ne connait pas, bien que l'on en soupçonne l'existence, de nombres pour lesquels ce processus d'addition par le nombre symétrique ne donnerait pas de palindrome. De tels nombres sont appelés Nombre de Lychrel.

Des multiplications ayant un palindrome pour résultat[modifier | modifier le code]

12 multiplié par 21 donne 252.

111 111 111 multiplié par 111 111 111 donne 12 345 678 987 654 321.

Propriété[modifier | modifier le code]

Les nombres palindromes de taille paire sont multiples de 11.

En effet, la relation entraîne que . Donc, quand on calcule le reste modulo 11 d'un nombre palindrome de taille paire, ses chiffres s'annulent 2 à 2.

Ainsi 172271 est congru modulo 11 à 1-7+2-2+7-1 = 0, donc est divisible par 11.

Autres bases[modifier | modifier le code]

Les nombres palindromes peuvent être considérés dans d'autres systèmes de numération que décimale. Par exemple, les nombres palindromes binaires sont:

0, 1, 11, 101, 111, 1001, 1111, 10001, 10101, 11011, 11111, 100001, …

ou en décimal: 0, 1, 3, 5, 7, 9, 15, 17, 21, 27, 31, 33, … suite A006995 de l'OEIS. Les nombres premiers de Fermat et de Mersenne forment un sous-ensemble des premiers palindromes binaires. Tous les nombres sont palindromes dans un nombre infini de bases. Mais, il est plus intéressant de considérer des bases plus petites que le nombre lui-même - auquel cas la plupart des nombres sont palindromes dans plus d'une base, par exemple, , En base 18, certaines puissances de sept sont palindromes:

70 = 1
71 = 7
73 = 111
74 = 777
76 = 12321
79 = 1367631

Et dans la base 24, les huit premières puissances de cinq sont palindromes:

50 = 1
51 = 5
52 = 11
53 = 55
54 = 121
55 = 5A5
56 = 1331
57 = 5FF5
58 = 14641
5A = 15AA51
5C = 16FLF61

Tout nombre n est palindrome dans toutes les bases b avec bn + 1 (car n est alors un nombre à un seul chiffre), mais aussi dans la base n - 1 (car n est alors 11n - 1). Un nombre non palindrome dans toutes les bases 2 ≤ b < n - 1 est appelé un nombre strictement non palindrome.

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Articles connexes[modifier | modifier le code]

Lien externe[modifier | modifier le code]

Les nombres palindromes, par Michel Hort

Crédit d'auteurs[modifier | modifier le code]

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Palindromic number » (voir la liste des auteurs).