Liste de critères de divisibilité
Ceci est une liste de critères de divisibilité pour des nombres écrits en base décimale, premiers ou puissances de nombre premier, inférieurs à .
Ces critères sont exposés sans démonstration. Pour les démonstrations ou les méthodes ayant permis d'établir ces critères, voir l'article « Critère de divisibilité ».
Pour la divisibilité par un nombre composé dont on connaît la décomposition en produit de facteurs premiers , il suffit d'appliquer la règle générale : un nombre est divisible par si et seulement s'il est divisible par chacun des . Par exemple : un nombre est divisible par seulement s'il est divisible par et par .
Dans tout cet article, un entier naturel de chiffres est représenté par , où est le chiffre des unités, des dizaines, des centaines, etc.
Critère de divisibilité par 2, 5 ou 10 élevés à une puissance n
[modifier | modifier le code]Tout nombre entier est divisible par .
Critère de divisibilité par 2n
[modifier | modifier le code]Un nombre est divisible par si et seulement si ses derniers chiffres forment un nombre divisible par .
- Exemples
- Un nombre est divisible par si et seulement si le nombre formé par ses derniers chiffres est divisible par .
- Un nombre est divisible par si et seulement si le nombre formé par ses derniers chiffres est divisible par .
- Application : est divisible par car est divisible par .
Critère de divisibilité par 5n
[modifier | modifier le code]Un nombre est divisible par si et seulement si ses derniers chiffres forment un nombre divisible par .
- Exemples
- Un nombre est divisible par si et seulement si le nombre formé par ses deux derniers chiffres est divisible par , c'est-à-dire si son écriture « se termine » par , , ou .
- Application : est divisible par car il se termine par .
- est divisible par car est divisible par .
Critère de divisibilité par 10n
[modifier | modifier le code]Pour non nul, un nombre est divisible par 10n si et seulement si ses derniers chiffres sont égaux à .
- Exemple
- est divisible par car ses derniers chiffres sont des .
- est divisible par car son dernier chiffre est un .
Entiers inférieurs à 10
[modifier | modifier le code]Divisibilité par : | Énoncé du critère : | Exemple : |
---|---|---|
2 | Un nombre est pair, c'est-à-dire divisible par 2 = 21, si et seulement si son chiffre des unités est ou . |
est pair car il se termine par qui est pair. |
3 | Un nombre est divisible par si et seulement si la somme de ses chiffres est divisible par . (Par récurrence, cela implique que son résidu est ou .) | est divisible par car , et est divisible par . |
4 | Un nombre est divisible par 4 = 22 si et seulement si est divisible par . | est divisible par car qui est divisible par . |
5 | Un nombre est divisible par 5 = 51 si et seulement si son chiffre des unités est ou . | est divisible par car il se termine par . |
6 | Un nombre est divisible par si et seulement s'il est divisible par et par . | est divisible par , car il est pair et divisible par . |
7 | est divisible par si et seulement si l'est (pour d'autres critères, voir section suivante). | est divisible par car l'est. |
8 | Un nombre est divisible par 8 = 23 si et seulement si est divisible par . | est divisible par car qui est divisible par . |
9 | Un nombre est divisible par si et seulement si la somme de ses chiffres est divisible par . | est divisible par car l'est. |
10 | Un nombre est divisible par 10 = 101 si et seulement si son chiffre des unités est . | est divisible par car il se termine par . |
Critères de divisibilité par 7
[modifier | modifier le code]Lemmes de divisibilité par 7
[modifier | modifier le code]Première méthode : Un nombre est divisible par si et seulement si la somme de son nombre de dizaines et de cinq fois son chiffre des unités l'est. On recommence jusqu'à ce que le nombre obtenu soit strictement inférieur à . Le nombre est divisible par si et seulement si le résultat final l'est.
- Exemple
- est divisible par car
- ,
- ,
- et
- .
Deuxième méthode : Un nombre est divisible par si et seulement si la différence entre son nombre de dizaines et le double de son chiffre des unités l'est. Si cette différence est négative, on peut la remplacer par sa valeur absolue. En répétant cette transformation jusqu'à obtenir un résultat strictement inférieur à , le nombre de départ est divisible par si et seulement si le résultat final est ou .
- Exemple
- est divisible par car
- ,
- ,
- et
- .
Critère pour un grand nombre
[modifier | modifier le code]Une méthode, basée seulement sur le fait que est congru à –1 modulo 7, est de séparer ce nombre par tranches de chiffres en partant des unités et d'insérer alternativement des et des entre les tranches. On effectue l'opération ainsi écrite et ce résultat est divisible par si et seulement si le nombre de départ l'était.
- Exemple
- Soit le nombre .
- On le sépare par tranches de trois chiffres à partir des unités :
- .
- On intercale alternativement des et des :
- .
- On effectue l'opération ainsi écrite :
- .
- On regarde si est divisible à l'aide du lemme de divisibilité par :
- est divisible par donc l'est.
Comme est le produit de et , la même méthode s'applique pour 11 et 13.
Méthode de Toja
[modifier | modifier le code]Cette méthode est basée sur le fait que est congru à modulo , dont on déduit que
donc est divisible par si et seulement si l'est. On peut bien sûr remplacer au passage chaque par n'importe quel entier qui lui est congru modulo . Le principe[1] est donc de découper le nombre par tranches de chiffres et chercher la distance entre chaque nombre de chiffres et le multiple de le plus proche (alternativement par excès et par défaut).
- Exemple
- Soit le nombre .
- On le sépare par tranches de deux chiffres à partir des unités :
- .
- À partir de la droite, le multiple de le plus proche par défaut est : distance .
- Pour la deuxième paire, le multiple de le plus proche par excès est : distance .
- Pour la troisième paire, le multiple de le plus proche par défaut est 77 : distance .
- Pour la quatrième paire, distance : , etc.
- Le nombre de départ est multiple de si et seulement si
- est multiple de (les différents « restes » sont écrits dans l'ordre inverse).
- On trouve de même que la divisibilité par de équivaut à celle de , puis de , donc est divisible par .
Méthode rapide
[modifier | modifier le code]Comme dans le calcul du nombre modulo par la méthode de Toja, on va regrouper les chiffres par groupe de , en partant de la droite. Ici on va utiliser le fait que vaut modulo .
La première étape, valable d'ailleurs pour toutes les méthodes, consiste à remplacer tous les chiffres par leur valeur modulo . Autrement dit à remplacer le par , le par , le par .
- Soit le nombre .
- On le remplace par .
Dans la deuxième étape on regroupe les chiffres par pour créer des nombres de à .
- .
On les calcule modulo
- .
C'est l'écriture du nombre base , avec des chiffres de à . On va utiliser la méthode de Horner : on dépile le chiffre le plus à gauche que l'on ajoute au nombre en cours ( au départ) et on multiplie par .
Chaque ligne de calcul se fait aisément de tête, et chaque résultat intermédiaire peut être inscrit sur une seconde ligne :
On obtient , le nombre est divisible par .
Utilisation d'un diagramme
[modifier | modifier le code]Cette technique[2] s'appuie sur l'écriture du nombre en base et sur les congruences modulo . L'utilisation d'un diagramme est proposée en par David Wilson[3],[4]. Sur un cercle, on dispose tous les nombres de à , c'est-à-dire tous les restes possibles modulo . On relie ensuite par une flèche chaque reste avec le reste modulo de .
Le diagramme s'utilise alors de la manière suivante : pour l'entier , égal à ,
- on se place sur la case et l'on se déplace sur le cercle de cases. On obtient ainsi le reste de an modulo ;
- on emprunte alors la flèche qui part de la case où l'on se trouve et, à partir du point d'arrivée de la flèche, on se déplace sur le cercle de cases. On obtient ainsi le reste de modulo ;
- on recommence alors le processus (emprunt d'une flèche, puis déplacement sur le cercle) jusqu'à . On obtient alors le reste modulo de .
Le nombre est divisible par si et seulement si la case d'arrivée est la case .
- Exemple
- Pour le nombre .
- On passe de à .
- On emprunte la flèche qui mène de à et l'on se déplace de cases (i. e. on reste sur place). On se trouve en .
- On emprunte la flèche qui mène de à et l'on se déplace de cases. On se trouve en .
- On emprunte la flèche qui mène de à et l'on se déplace de cases (i. e. on se déplace d'une case). On se trouve en .
- On emprunte la flèche qui mène de à et l'on se déplace d'une case. On se trouve en . Le nombre est bien divisible par .
Remarque : cette méthode peut se généraliser à toute autre divisibilité par et à toute autre base en construisant le diagramme adapté (les nombres de à sur le cercle, des flèches reliant au reste modulo de ).
Critère de divisibilité par 11
[modifier | modifier le code]Première méthode
[modifier | modifier le code]Pour déterminer si un nombre est divisible par :
- on calcule la somme des chiffres en position impaire ;
- on calcule la somme des chiffres en position paire ;
est divisible par si et seulement si la différence (ou ) est divisible par .
Cela revient à effectuer la somme alternée de ses chiffres.
Exemple
[modifier | modifier le code]Considérons le nombre .
- est divisible par donc l'est aussi.
On peut également effectuer le calcul : .
« Mini-critère »
[modifier | modifier le code]Un nombre de trois chiffres est divisible par si et seulement si la somme des deux chiffres extrêmes est égale au chiffre du milieu () ou à plus le chiffre du milieu ().
- Exemples
- est divisible par parce que . Vérification : .
- 825 est divisible par parce que . Vérification : .
Deuxième méthode
[modifier | modifier le code]On sépare le nombre par tranches de deux chiffres à partir des unités en intercalant des et l'on effectue l'opération obtenue. Le résultat est divisible par si et seulement si le nombre de départ l'était.
- Exemple
- Reprenons l'exemple précédent ; on obtient :
- .
- Comme le résultat a plus de deux chiffres, on recommence :
- .
- est divisible par donc l'est aussi.
Troisième méthode
[modifier | modifier le code]Un nombre est divisible par si et seulement si la différence entre son nombre de dizaines et son chiffre des unités est divisible par .
Exemples
[modifier | modifier le code]est divisible par car , et est divisible par .
n'est pas divisible par car , , et n'est pas un multiple de .
Démonstration
Soit un entier naturel alors s'écrit de manière unique où est le nombre de dizaines et le chiffre des unités.
et donc congru à modulo est équivalent à congru à modulo .
Critère de divisibilité par 13
[modifier | modifier le code]Le critère de divisibilité par 13
[modifier | modifier le code]Le nombre est divisible par si et seulement si l'est. Pour voir si un nombre est divisible par , il suffit de répéter cette transformation jusqu'à obtenir un résultat strictement inférieur à (). Le nombre de départ est divisible par si et seulement si le résultat final est ou .
- Exemples
-
- est divisible par car .
- est divisible par car et .
Critère pour un grand nombre
[modifier | modifier le code]Pour savoir si un grand nombre est divisible par , il suffit, puisque est congru à modulo comme modulo , d'appliquer la même réduction que dans le deuxième des trois critères ci-dessus de divisibilité par 7 : séparer ce nombre par tranches de chiffres en partant des unités et insérer alternativement des et des entre les tranches.
On effectue l'opération ainsi écrite et le résultat est divisible par si et seulement si le grand nombre considéré l'était.
- Exemple
- Soit le nombre .
- On le sépare par tranches de trois à partir des unités :
- .
- On intercale alternativement des et des :
- .
- On effectue l'opération ainsi écrite :
- .
- Le résultat est négatif, mais on peut prendre sa valeur absolue et continuer.
- D'après l'exemple précédent, est divisible par donc l'est aussi.
Critère de divisibilité par 15
[modifier | modifier le code]Un nombre est divisible par si et seulement si (ou sa valeur absolue) l'est. Pour le démontrer, il suffit de remarquer que et ce pour tout ce qui se démontre bien par récurrence. Si le nombre résultant du calcul est trop grand, il suffit de répéter l'opération.
- Exemples
-
- est divisible par car est divisible par .
- n'est pas divisible par car n'est pas divisible par .
Critère de divisibilité par 17
[modifier | modifier le code]Un nombre est divisible par si et seulement si (ou sa valeur absolue) l'est. Pour voir si un nombre est divisible par , il suffit de répéter cette transformation jusqu'à obtenir un résultat strictement inférieur à (). Le nombre de départ est divisible par si et seulement si le résultat final est ou .
- Exemples
-
- est divisible par car et .
- est divisible par car et .
Critère de divisibilité par 19
[modifier | modifier le code]Le nombre est divisible par si et seulement si l'est. Pour voir si un nombre est divisible par , il suffit de répéter cette transformation jusqu'à obtenir un résultat strictement inférieur à (). Le nombre de départ est divisible par si et seulement si le résultat final est .
- Exemple
- est divisible par car , et .
Critère de divisibilité par 21
[modifier | modifier le code]Critère immédiat
[modifier | modifier le code]Un nombre est divisible par si et seulement s'il est divisible par 7 et par 3.
Lemme de divisibilité par 21
[modifier | modifier le code]Le nombre est divisible par si et seulement si (ou sa valeur absolue) l'est. Cette transformation est la même que la première indiquée pour la divisibilité par (§ « Entiers inférieurs à 10 »). Pour voir si un nombre est divisible par , il suffit de la répéter jusqu'à obtenir un résultat strictement inférieur à . Le nombre de départ est divisible par si et seulement si le résultat final est .
- Exemple
- est divisible par car
- ,
- et
- .
Critère pour un grand nombre
[modifier | modifier le code]Même méthode que plus loin pour 27 mais par tranches de chiffres (voir le § « Critère de divisibilité par un facteur de 10n ± 1 » ).
Critère de divisibilité par 23
[modifier | modifier le code]Première méthode
[modifier | modifier le code]Le nombre est divisible par si et seulement si l'est. Pour voir si un nombre est divisible par , il suffit de répéter cette transformation jusqu'à obtenir un résultat strictement inférieur à (). Le nombre de départ est divisible par si et seulement si le résultat final est ou .
- Exemple
- est divisible par car et .
Deuxième méthode
[modifier | modifier le code]Le nombre est divisible par si et seulement si l'est. On recommence jusqu'à ce que le nombre obtenu soit strictement inférieur à (). Le nombre est divisible par si et seulement si le résultat final l'est.
- Exemple
- Reprenons l'exemple précédent : est divisible par car et .
Critère de divisibilité par 27
[modifier | modifier le code]Pour savoir si un nombre est divisible par , on le sépare par tranches de chiffres à partir des unités en intercalant des . On effectue l'opération obtenue. Le résultat est divisible par si et seulement si le nombre considéré au départ l'était.
- Exemple
- Soit le nombre .
- On effectue l'opération :
- .
- Le résultat ayant plus de chiffres, on peut recommencer :
- qui est divisible par , donc l'est aussi.
Critère de divisibilité par 29
[modifier | modifier le code]Le nombre est divisible par si et seulement si l'est. Pour voir si un nombre est divisible par il suffit de répéter cette transformation jusqu'à obtenir un résultat strictement inférieur à (). Le nombre de départ est divisible par si et seulement si le résultat final est .
- Exemple
- est divisible par car
- ,
- ,
- et
- .
Critère de divisibilité par 31
[modifier | modifier le code]Le nombre est divisible par si et seulement si (ou sa valeur absolue) l'est. Pour voir si un nombre est divisible par , il suffit de répéter cette transformation jusqu'à obtenir un résultat strictement inférieur à . Le nombre de départ est divisible par si et seulement si le résultat final est .
- Exemple
- est divisible par car
- ,
- et
- .
Critère de divisibilité par 37
[modifier | modifier le code]Même méthode que pour 27 (voir le § « Critère de divisibilité par un facteur de 10n ± 1 » ): On découpe le nombre par tranche de trois chiffres et on fait la somme des tranches.
Quand le nombre est un nombre à trois chiffres , comme est un multiple de , on peut retrancher aux trois chiffres le plus petit d'entre eux pour faire apparaître un ou plusieurs zéros sans changer la divisibilité. Si le nombre obtenu contient deux zéros, le nombre de départ n'est pas divisible par ; si le nombre obtenu vaut , le nombre de départ est divisible par .
Sinon, le nombre obtenu contient un seul zéro, que l'on enlève pour obtenir un nombre à chiffres.
- Si le était en position extrême, le nombre de départ est divisible par si et seulement si le nombre final vaut ou
- si le était en position centrale, le nombre de départ est divisible par si et seulement si le nombre final vaut ou .
- Exemple
- est divisible par car
- le plus petit chiffre est , on le retranche à chaque chiffre :
- le est central, et le nombre final est , donc le nombre initial est divisible par
On peut aussi utiliser le critère général de divisibilité : le nombre est divisible par si et seulement si l'est. Pour voir si un nombre est divisible par , il suffit de répéter cette transformation. Le nombre de départ est divisible par si et seulement si le reste est un multiple de
- Exemple
- est divisible par car
Critère de divisibilité par 39
[modifier | modifier le code]Critère immédiat
[modifier | modifier le code]Un nombre est divisible par si et seulement s'il est divisible par 13 et par 3.
Lemme de divisibilité par 39
[modifier | modifier le code]Le nombre est divisible par si et seulement si l'est. Cette transformation est la même que celle pour la divisibilité par 13. Pour voir si un nombre est divisible par , il suffit de la répéter jusqu'à obtenir un résultat strictement inférieur à (). Le nombre de départ est divisible par si et seulement si le résultat final est .
- Exemple
- est divisible par car
- ,
- et
Critère pour un grand nombre
[modifier | modifier le code]Même méthode que pour 27 mais par tranches de chiffres (voir le § « Critère de divisibilité par un facteur de 10n ± 1 » ).
Critère de divisibilité par 41
[modifier | modifier le code]Lemme de divisibilité par 41
[modifier | modifier le code]Le nombre est divisible par si et seulement si (ou sa valeur absolue) l'est. Pour voir si un nombre est divisible par , il suffit de répéter cette transformation jusqu'à obtenir un résultat strictement inférieur à . Le nombre de départ est divisible par si et seulement si le résultat final est .
- Exemple
- est divisible par car
- ,
- et
- .
Critère pour un grand nombre
[modifier | modifier le code]Même méthode que pour 27 mais par tranches de chiffres (voir le § « Critère de divisibilité par un facteur de 10n ± 1 »).
Critère de divisibilité par 43
[modifier | modifier le code]Le nombre est divisible par si et seulement si (ou sa valeur absolue) l'est. On recommence jusqu'à ce que le nombre obtenu soit strictement inférieur à (). Le nombre est divisible par si et seulement si le résultat final l'est.
- Exemple
- est divisible par car et .
Critère de divisibilité par 47
[modifier | modifier le code]Le nombre est divisible par si et seulement si l'est. On recommence jusqu'à ce que le nombre obtenu soit strictement inférieur à (). Le nombre est divisible par si et seulement si le résultat final l'est.
- Exemple
- n'est pas divisible par car et .
Critère de divisibilité par 49
[modifier | modifier le code]Le nombre est divisible par si et seulement si la somme l'est. On recommence jusqu'à ce que le nombre obtenu soit strictement inférieur à (). Le nombre est divisible par 49 si et seulement si le résultat final est .
Exemple
est divisible par car
,
,
,
,
,
et
.
Critère de divisibilité par 53
[modifier | modifier le code]Le nombre est divisible par si et seulement si (ou sa valeur absolue) l'est. On recommence jusqu'à ce que le nombre obtenu soit strictement inférieur à . On passe ensuite au second critère de divisibilité : le nombre est divisible par si et seulement si l'est. Il suffit de répéter cette transformation jusqu'à obtenir un résultat strictement inférieur à (). Le nombre de départ est divisible par si et seulement si le résultat final est ou .
- Exemple
- est divisible par car et .
Critère de divisibilité par 59
[modifier | modifier le code]Le nombre est divisible par si et seulement si l'est. On recommence jusqu'à ce que le nombre obtenu soit strictement inférieur à (). Le nombre est divisible par si et seulement si le résultat final est .
- Exemple
- n'est pas divisible par car et .
Critère de divisibilité par 61
[modifier | modifier le code]Le nombre est divisible par si est seulement si (ou sa valeur absolue) l'est. On recommence jusqu'à ce que le nombre obtenu soit strictement inférieur à . Le nombre est divisible par si et seulement si résultat final est .
- Exemple
- n'est pas divisible par car et .
Critère de divisibilité par 67
[modifier | modifier le code]Un nombre est divisible par si et seulement si (ou sa valeur absolue) l'est. On recommence jusqu'à ce que le nombre obtenu soit strictement inférieur à (). Le nombre est divisible par si et seulement si le résultat final est 0 ou .
- Exemple
- est divisible par car
- ,
- et
- .
Critère de divisibilité par 71
[modifier | modifier le code]Le nombre est divisible par si et seulement si l'est. On recommence jusqu'à ce que le nombre obtenu soit strictement inférieur à . Le nombre est divisible par si et seulement si le résultat final est .
Exemple : n'est pas divisible par car
- ,
- et
- .
Critère de divisibilité par 73
[modifier | modifier le code]Même méthode que pour 13 mais par tranches de chiffres (voir le § « Critère de divisibilité par un facteur de 10n ± 1 » ).
Critère de divisibilité par 79
[modifier | modifier le code]Le nombre est divisible par si et seulement si l'est. On recommence jusqu'à ce que le nombre obtenu soit strictement inférieur à (). Le nombre est divisible par 79 si et seulement si le résultat final est .
- Exemple
- est divisible par car
- ,
- et
- .
Critère de divisibilité par 83
[modifier | modifier le code]Le nombre est divisible par si et seulement si l'est. On recommence jusqu'à ce que le nombre obtenu soit strictement inférieur à (). Le nombre est divisible par si et seulement si le résultat final est ou .
Exemple
est divisible par car et et .
Critère de divisibilité par 89
[modifier | modifier le code]Le nombre est divisible par si et seulement si l'est. On recommence jusqu'à ce que le nombre obtenu soit strictement inférieur à (). Le nombre est divisible par si et seulement si le résultat final est .
Exemple : est divisible par car et .
Critère de divisibilité par 97
[modifier | modifier le code]Le nombre est divisible par si et seulement si (ou sa valeur absolue) l'est . On recommence jusqu'à ce que le nombre obtenu soit strictement inférieur à (). Le nombre est divisible par si et seulement si le résultat final est ou .
Exemple
est divisible par car
- ,
- et
- .
Méthode du ruban de Pascal
[modifier | modifier le code]Cette méthode (voir l'article détaillé) permet de tester la divisibilité d'un nombre , généralement écrit en base dix, par n'importe quel entier . Le principe est de remplacer, dans le nombre , chaque puissance de par son reste dans la division euclidienne par (on peut aussi prendre au lieu de ).
- Exemples
-
- Pour , on peut remplacer , etc. par , etc. (suite périodique) : on dit qu'une clé de divisibilité par en base dix est (). Le nombre est divisible par si et seulement si le nombre suivant l'est :
, avec
et - Pour , une clé de divisibilité en base dix est () donc est divisible par si et seulement si le nombre suivant l'est :
, avec
et
- Pour , on peut remplacer , etc. par , etc. (suite périodique) : on dit qu'une clé de divisibilité par en base dix est (). Le nombre est divisible par si et seulement si le nombre suivant l'est :
Critère de divisibilité par un facteur de 10n ± 1
[modifier | modifier le code]Dans la méthode du ruban, pour certains , la clé de divisibilité est plus simple lorsqu'on considère comme écrit en base pour un bien choisi. En particulier, la clé de divisibilité en base sera () si est un diviseur de , et elle sera simplement () si est un diviseur de . On en a vu des exemples pour la divisibilité par (facteur de et de ) et (pour un « grand » nombre) par ou (facteurs de ) ou par (facteur de ). En résumé :
- Si est un diviseur de , pour savoir si un grand nombre est divisible par , il suffit de séparer ce nombre par tranches de chiffres en partant des unités et d'insérer alternativement des et des entre les tranches. On effectue l'opération ainsi écrite et le résultat est divisible par si et seulement si le nombre considéré au départ l'était. On répète cette transformation autant que faire se peut.
- Exemples
Divisibilité par | 11 | 101 | 7 | 13 | 77 | 91 | 143 | 73 | 137 | 17 | 19 | 133 | 23 | 121 |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Tranches de taille | 1 | 2 | 3 | 4 | 8 | 9 | 11 |
- Si est un diviseur de (ce qui est vrai pour n'importe quel si ou ), même principe mais en n'insérant que des entre les tranches.
- Exemples
Divisibilité par | 11 | 33 | 99 | 27 | 37 | 111 | 41 | 123 | 21 | 39 | 63 | 117 | 81 | 53 | 79 | 31 |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Tranches de taille | 2 | 3 | 5 | 6 | 9 | 13 | 15 |
Notes et références
[modifier | modifier le code]- (en) Gustavo Gerald Toja Frachia, « Brief method for determining if a number is divisible by 7 » (version du sur Internet Archive).
- Le principe sur un exemple est détaillé dans (en) Boris A. Kordemsky (en), The Moscow Puzzles: 359 Mathematical Recreations, Dover Publications, 2014 (1re éd. 1971), p. 140, aperçu sur Google Livres.
- (en) David Wilson, « Divisibility by 7 is a Walk on a Graph », sur Tanya Khovanova's Math Blog, (consulté le ).
- (en) David Wilson, « Divisibility by 7 is a Walk on a Graph. II », sur Tanya Khovanova's Math Blog, (consulté le ).