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Liste de critères de divisibilité

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Ceci est une liste de critères de divisibilité des nombres écrits en base décimale, exposés sans démonstration.

Pour les démonstrations ou les méthodes ayant permis d'établir ces critères, voir l'article « Critère de divisibilité ».

Pour la divisibilité par un nombre composé dont on connaît la décomposition en produit de facteurs premiers n = p1k1prkr, il suffit d'appliquer la règle générale : un nombre est divisible par n si et seulement s'il est divisible par chacun des piki. Par exemple : un nombre est divisible par 12 si et seulement s'il est divisible par 3 et par 4.

Dans tout cet article, un entier naturel de n + 1 chiffres est représenté par an…a1a0, où a0 est le chiffre des unités, a1 des dizaines, a2 des centaines, etc.

Puissances de 2, 5 et 10[modifier | modifier le code]

Tout nombre entier est divisible par 1.

Critère de divisibilité par 2n[modifier | modifier le code]

Un nombre est divisible par 2n si et seulement si ses n derniers chiffres forment un nombre divisible par 2n.

Exemples
Un nombre est divisible par 16 = 24 si et seulement si le nombre formé par ses 4 derniers chiffres est divisible par 16.
Un nombre est divisible par 32 = 25 si et seulement si le nombre formé par ses 5 derniers chiffres est divisible par 32. Par exemple : 87 753 216 864 est divisible par 32 car 16 864 est divisible par 32.

Critère de divisibilité par 5n[modifier | modifier le code]

Un nombre est divisible par 5n si et seulement si ses n derniers chiffres forment un nombre divisible par 5n.

Exemples
Un nombre est divisible par 25 = 52 si et seulement si si le nombre formé par ses deux derniers chiffres est divisible par 25, c'est-à-dire si son écriture « se termine » par 00, 25, 50 ou 75. Par exemple : 258 975 est divisible par 25 car il se termine par 75.
257 543 625 est divisible par 53 = 125 car 625 est divisible par 125.

Critère de divisibilité par 10n[modifier | modifier le code]

Un nombre est divisible par 10n si et seulement si ses n derniers chiffres sont égaux à 0.

Exemple
652 500 000 est divisible par 105 car ses 5 derniers chiffres sont des 0.

Entiers inférieurs à 10[modifier | modifier le code]

Divisibilité par : Énoncé du critère : Exemple :
2 Un nombre est pair, c'est-à-dire divisible par 2 = 21, si et seulement si son chiffre des unités est 0, 2, 4, 6 ou 8.

168 est pair car il se termine par 8 qui est pair.

3 Un nombre est divisible par 3 si et seulement si la somme de ses chiffres est divisible par 3. (Par récurrence, cela implique que son résidu est 3, 6, ou 9.) 168 est divisible par 3 car 1 + 6 + 8 = 15, 1 + 5 = 6 et 6 est divisible par 3.
4 Un nombre est divisible par 4 = 22 si et seulement si 2a1 + a0 est divisible par 4. 2 548 est divisible par 4 car 2 × 4 + 8 = 16 qui est divisible par 4.
5 Un nombre est divisible par 5 = 51 si et seulement si son chiffre des unités est 0 ou 5. 235 est divisible par 5 car il se termine par 5.
6 Un nombre est divisible par 6 si et seulement s'il est divisible par 2 et par 3. 168 est divisible par 6, car il est pair et divisible par 3.
7 an…a1a0 est divisible par 7 si et seulement si an…a1 – 2a0 l'est (pour d'autres critères, voir section suivante). 182 est divisible par 7 car 18 – 2 × 2 = 14 l'est.
8 Un nombre est divisible par 8 = 23 si et seulement si 4a2 + 2a1 + a0 est divisible par 8. 636 136 est divisible par 8 car 4 × 1 + 2 × 3 + 6 = 16 qui est divisible par 8.
9 Un nombre est divisible par 9 si et seulement si la somme de ses chiffres est divisible par 9. 423 est divisible par 9 car 4 + 2 + 3 = 9 l'est.
10 Un nombre est divisible par 10 = 101 si et seulement si son chiffre des unités est 0. 270 est divisible par 10 car il se termine par 0.

Critères de divisibilité par 7[modifier | modifier le code]

Lemme de divisibilité par 7[modifier | modifier le code]

Le nombre an…a1a0 est divisible par 7 si et seulement si la somme an…a1 + 5a0 de son nombre de dizaines et de cinq fois son chiffre des unités l'est. On recommence jusqu'à ce que le nombre obtenu soit strictement inférieur à 56 (= 7 × 8). Le nombre est divisible par 7 si et seulement si le résultat final l'est.

Exemple
17 381 est divisible par 7 car
1738 + 5 × 1 = 1743,
174 + 5 × 3 = 189,
18 + 5 × 9 = 63 et
6 + 5 × 3 = 21 = 7 × 3.

Critère pour un grand nombre[modifier | modifier le code]

Une deuxième méthode, basée seulement sur le fait que 103 est congru à –1 modulo 7, est de séparer ce nombre par tranches de 3 chiffres en partant des unités et d'insérer alternativement des – et des + entre les tranches. On effectue l'opération ainsi écrite et ce résultat est divisible par 7 si et seulement le nombre de départ l'était.

Exemple
Soit le nombre 5 527 579 818 992.
On le sépare par tranches de trois chiffres à partir des unités :
5 | 527 | 579 | 818 | 992.
On intercale alternativement des – et des + :
5 – 527 + 579 – 818 + 992.
On effectue l'opération ainsi écrite :
5 – 527 + 579 – 818 + 992 = 231.
On regarde si 231 est divisible à l'aide du lemme de divisibilité par 7 :
23 + 5 × 1 = 28 est divisible par 7 donc 5 527 579 818 992 l'est.

Méthode de Toja[modifier | modifier le code]

Cette quatrième méthode est, comme la deuxième, basée seulement sur le fait que 103 est congru à –1 modulo 7, dont on déduit que

{\rm si}\quad x=100^mb_m+\ldots+100^2b_2+100b_1+b_0\quad{\rm et}\quad y=10^mb_0-10^{m-1}b_1+10^{m-2}b_2\ldots+(-1)^mb_m
{\rm alors}\quad10^mx\equiv y\pmod 7

donc x est divisible par 7 si et seulement si y l'est. On peut bien sûr remplacer au passage chaque bi par n'importe quel entier qui lui est congru modulo 7. Le principe[1] est donc de découper le nombre x par tranches de 2 chiffres et chercher la distance entre chaque nombre de 2 chiffres et le multiple de 7 le plus proche (alternativement par excès et par défaut).

Exemple
Soit le nombre 5 527 579 818 992.
On le sépare par tranches de deux chiffres à partir des unités :
5|52|75|79|81|89|92.
  • À partir de la droite, le multiple de 7 le plus proche par défaut est 91 : distance 92 – 91 = 1.
  • Pour la deuxième paire, le multiple de 7 le plus proche par excès est 91 : distance 91 – 89 = 2.
  • Pour la troisième paire, le multiple de 7 le plus proche par défaut est 77 : distance 81 – 77 = 4
  • Pour la quatrième paire, distance : 84 – 79 = 5, etc.
Le nombre de départ est multiple de 7 si et seulement si
1|2|4|5|5|4|5
est multiple de 7 (les différents « restes » sont écrits dans l'ordre inverse).
On trouve de même que la divisibilité par 7 de 1 245 545 équivaut à celle de 3 136, puis de 14, donc 5 527 579 818 992 est divisible par 7.

Critère de divisibilité par 11[modifier | modifier le code]

Première méthode[modifier | modifier le code]

Pour déterminer si un nombre N est divisible par 11 :

  • on calcule la somme A des chiffres en position impaire ;
  • on calcule la somme B des chiffres en position paire ;

N est divisible par 11 si et seulement si la différence A – B (ou B – A) est divisible par 11.

Cela revient à effectuer la somme alternée de ses chiffres.

Exemple[modifier | modifier le code]

Considérons le nombre 19 382.

A = 1 + 3 + 2 = 6
B = 9 + 8 = 17
B – A = 17 – 6 = 11 est divisible par 11 donc 19 382 l'est aussi.

On peut également effectuer le calcul : 1 – 9 + 3 – 8 + 2 = –11.

« Mini-critère »[modifier | modifier le code]

Un nombre de trois chiffres est divisible par 11 si et seulement si la somme des deux chiffres extrêmes est égale au chiffre du milieu (a2 + a0 = a1) ou à 11 plus le chiffre du milieu (a2 + a0 = 11 + a1).

Exemples
374 est divisible par 11 parce que 3 + 4 = 7. Vérification : 374 = 11 × 34.
825 est divisible par 11 parce que 8 + 5 = 11 + 2. Vérification : 825 = 11 × 75.

Deuxième méthode[modifier | modifier le code]

On sépare le nombre par tranches de deux chiffres à partir des unités en intercalant des + et l'on effectue l'opération obtenue. Le résultat est divisible par 11 si et seulement si le nombre de départ l'était.

Exemple
Reprenons l'exemple précédent 19 382 ; on obtient :
1 + 93 + 82 = 176.
Comme le résultat a plus de deux chiffres, on recommence :
1 + 76 = 77.
77 est divisible par 11 donc 19 382 l'est aussi.

Critère de divisibilité par 13[modifier | modifier le code]

Lemme de divisibilité par 13[modifier | modifier le code]

Le nombre an…a1a0 est divisible par 13 si et seulement si an…a1 + 4a0 l'est. Pour voir si un nombre est divisible par 13, il suffit de répéter cette transformation jusqu'à obtenir un résultat strictement inférieur à 52 (= 4 × 13). Le nombre de départ est divisible par 13 si et seulement si le résultat final est 13, 26 ou 39.

Exemples
  • 312 est divisible par 13 car 31 + 4 × 2 = 39.
  • 1 664 est divisible par 13 car 166 + 4 × 4 = 182 et 18 + 4 × 2 = 26.

Critère pour un grand nombre[modifier | modifier le code]

Pour savoir si un grand nombre est divisible par 13, il suffit, puisque 103 est congru à –1 modulo 13 comme modulo 7, d'appliquer la même réduction que dans le deuxième des trois critères ci-dessus de divisibilité par 7 : séparer ce nombre par tranches de 3 chiffres en partant des unités et insérer alternativement des – et des + entre les tranches.

On effectue l'opération ainsi écrite et le résultat est divisible par 13 si et seulement si le grand nombre considéré l'était.

Exemple
Soit le nombre 1 633 123 612 311 854.
On le sépare par tranches de trois à partir des unités :
1 | 633 | 123 | 612 | 311 | 854.
On intercale alternativement des – et des + :
1 – 633 + 123 – 612 + 311 – 854.
On effectue l'opération ainsi écrite :
1 – 633 + 123 – 612 + 311 – 854 = –1 664.
Le résultat est négatif, mais on peut prendre sa valeur absolue 1 664 et continuer.
D'après l'exemple précédent, 1 664 est divisible par 13 donc 1 633 123 612 311 854 l'est aussi.

Critère de divisibilité par 17[modifier | modifier le code]

Lemme de divisibilité par 17[modifier | modifier le code]

Le nombre an…a1a0 est divisible par 17 si et seulement si an…a1 – 5a0 (ou sa valeur absolue) l'est. Pour voir si un nombre est divisible par 17, il suffit de répéter cette transformation jusqu'à obtenir un résultat strictement inférieur à 51 (= 3 × 17). Le nombre de départ est divisible par 17 si et seulement si le résultat final est 0, 17 ou 34.

Exemples
  • 3 723 est divisible par 17 car 372 – 5 × 3 = 357 et 35 – 5 × 7 = 0.
  • 5 954 063 est divisible par 17 car
595 406 – 5 × 3 = 595 391,
59 539 – 5 × 1 = 59 534,
5 953 – 5 × 4 = 5 933,
593 – 5 × 3 = 578 et
57 – 5 × 8 = 17.

Critère pour un grand nombre[modifier | modifier le code]

Même méthode que pour 13 mais par tranches de 8 chiffres (voir le § « Critère de divisibilité par un facteur de 10n ± 1 » ci-dessous).

Critère de divisibilité par 19[modifier | modifier le code]

Lemme de divisibilité par 19[modifier | modifier le code]

Le nombre an…a1a0 est divisible par 19 si et seulement si an…a1 + 2a0 l'est. Pour voir si un nombre est divisible par 19, il suffit de répéter cette transformation jusqu'à obtenir un résultat strictement inférieur à 38 (= 2 × 19). Le nombre de départ est divisible par 19 si et seulement si le résultat final est 19.

Exemple
6 859 est divisible par 19 car 685 + 2 × 9 = 703, 70 + 2 × 3 = 76 et 7 + 2 × 6 = 19.

Critère pour un grand nombre[modifier | modifier le code]

Même méthode que pour 13 mais par tranches de 9 chiffres (voir le § « Critère de divisibilité par un facteur de 10n ± 1 » ci-dessous).

Critère de divisibilité par 21[modifier | modifier le code]

Critère immédiat[modifier | modifier le code]

Un nombre est divisible par 21 si et seulement s'il est divisible par 7 et par 3.

Lemme de divisibilité par 21[modifier | modifier le code]

Le nombre an…a1a0 est divisible par 21 si et seulement si an…a1 – 2a0 (ou sa valeur absolue) l'est. Cette transformation est la même que la première indiquée pour la divisibilité par 7 (§ « Entiers inférieurs à 10 »). Pour voir si un nombre est divisible par 21, il suffit de la répéter jusqu'à obtenir un résultat strictement inférieur à 21. Le nombre de départ est divisible par 21 si et seulement si le résultat final est 0.

Exemple
Le nombre 5 289 417 est divisible par 21 car
528 941 – 2 × 7 = 528 927,
52 892 – 2 × 7 = 52 878,
5 287 – 2 × 8 = 5 271,
527 – 2 × 1 = 5 25,
52 – 2 × 5 = 42 et
4 – 2 × 2 = 0.

Critère pour un grand nombre[modifier | modifier le code]

Même méthode que plus loin pour 27 mais par tranches de 6 chiffres (voir le § « Critère de divisibilité par un facteur de 10n ± 1 » ci-dessous).

Critère de divisibilité par 23[modifier | modifier le code]

Lemme de divisibilité par 23[modifier | modifier le code]

Le nombre an…a1a0 est divisible par 23 si et seulement si an…a1 + 7a0 l'est. Pour voir si un nombre est divisible par 23, il suffit de répéter cette transformation jusqu'à obtenir un résultat strictement inférieur à 92 (= 4 × 23). Le nombre de départ est divisible par 23 si et seulement si le résultat final est 23, 46 ou 69.

Exemples
  • 3 151 est divisible par 23 car 315 + 7 × 1 = 322 et 32 + 7 × 2 = 46.
  • 7 476 222 611 est divisible par 23 car
747622261 + 7 × 1 = 747 622 268,
74 762 226 + 7 × 8 = 74 762 282,
7 476 228 + 7 × 2 = 7 476 242,
747 624 + 7 × 2 = 747 638,
74 763 + 7 × 8 = 74 819,
7 481 + 7 × 9 = 7 544,
754 + 7 × 4 = 782,
78 + 7 × 2 = 92 et
9 + 7 × 2 = 23.

Critère pour un grand nombre[modifier | modifier le code]

Même méthode que pour 13 mais par tranches de 11 chiffres (voir le § « Critère de divisibilité par un facteur de 10n ± 1 » ci-dessous).

Critère de divisibilité par 27[modifier | modifier le code]

Pour savoir si un nombre est divisible par 27, on le sépare par tranches de 3 chiffres à partir des unités en intercalant des +. On effectue l'opération obtenue. Le résultat est divisible par 27 si et seulement si le nombre considéré au départ l'était.

Exemple
Soit le nombre 68 748 098 828 632 988 661.
On effectue l'opération :
68 + 748 + 098 + 828 + 632 + 988 + 661 = 4 023.
Le résultat ayant plus de 3 chiffres, on peut recommencer :
4 + 023 = 27 qui est divisible par 27, donc 68 748 098 828 632 988 661 l'est aussi.

Critère de divisibilité par 29[modifier | modifier le code]

Le nombre an…a1a0 est divisible par 29 si et seulement si an…a1 + 3a0 l'est. Pour voir si un nombre est divisible par 29 il suffit de répéter cette transformation jusqu'à obtenir un résultat strictement inférieur à 58 (= 2 × 29). Le nombre de départ est divisible par 29 si et seulement si le résultat final est 29.

Exemple
751 593 est divisible par 29 car
75159 + 3 × 3 = 75168,
7516 + 3 × 8 = 7540,
754 + 3 × 0 = 754,
75 + 3 × 4 = 87 et
8 + 3 × 7 = 29.

Critère de divisibilité par 31[modifier | modifier le code]

Le nombre an…a1a0 est divisible par 31 si et seulement si an…a1 – 3a0 (ou sa valeur absolue) l'est. Pour voir si un nombre est divisible par 31, il suffit de répéter cette transformation jusqu'à obtenir un résultat strictement inférieur à 31. Le nombre de départ est divisible par 31 si et seulement si le résultat final est 0.

Exemple
16 022 567 est divisible par 31 car
1 602 256 – 3 × 7 = 1 602 235,
160 223 – 3 × 5 = 160 208,
16 020 – 3 × 8 = 15 996,
1 599 – 3 × 6 = 1 581,
158 – 3 × 1 = 155 et
15 – 3 × 5 = 0.

Critère de divisibilité par 37[modifier | modifier le code]

Même méthode que pour 27 (voir le § « Critère de divisibilité par un facteur de 10n ± 1 » ci-dessous).

Critère de divisibilité par 39[modifier | modifier le code]

Critère immédiat[modifier | modifier le code]

Un nombre est divisible par 39 si et seulement s'il est divisible par 13 et par 3.

Lemme de divisibilité par 39[modifier | modifier le code]

Le nombre an…a1a0 est divisible par 39 si et seulement si an…a1 + 4a0 l'est. Cette transformation est la même que celle pour la divisibilité par 13. Pour voir si un nombre est divisible par 39, il suffit de la répéter jusqu'à obtenir un résultat strictement inférieur à 78 (= 2 × 39). Le nombre de départ est divisible par 39 si et seulement si le résultat final est 39.

Exemple
49 803 est divisible par 39 car
4 980 + 4 × 3 = 4 992,
499 + 4 × 2 = 507,
50 + 4 × 7 = 78 et
7 + 4 × 8 = 39

Critère pour un grand nombre[modifier | modifier le code]

Même méthode que pour 27 mais par tranches de 6 chiffres (voir le § « Critère de divisibilité par un facteur de 10n ± 1 » ci-dessous).

Critère de divisibilité par 41[modifier | modifier le code]

Lemme de divisibilité par 41[modifier | modifier le code]

Le nombre an…a1a0 est divisible par 41 si et seulement si an…a1 – 4a0 (ou sa valeur absolue) l'est. Pour voir si un nombre est divisible par 41, il suffit de répéter cette transformation jusqu'à obtenir un résultat strictement inférieur à 41. Le nombre de départ est divisible par 41 si et seulement si le résultat final est 0.

Exemple
8 036 est divisible par 41 car
803 – 4 × 6 = 779,
77 – 4 × 9 = 41 et
4 – 4 × 1 = 0.

Critère pour un grand nombre[modifier | modifier le code]

Même méthode que pour 27 mais par tranches de 5 chiffres (voir le § « Critère de divisibilité par un facteur de 10n ± 1 » ci-dessous).

Critère de divisibilité par 43[modifier | modifier le code]

Le nombre an…a1a0 est divisible par 43 si est seulement si an…a2 – 3a1a0 (ou sa valeur absolue) est divisible par 43. On recommence jusqu'à ce que le nombre obtenu soit strictement inférieur à 215 (= 43 × 5). Le nombre est divisible par 43 si et seulement si le résultat final l'est.

Exemple
Le nombre 173 161 est divisible par 43 car 1731 – 61 × 3 = 1 548 et |15 – 48 × 3| = 129 = 43 × 3.

Méthode du ruban de Pascal[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Ruban de Pascal.

Cette méthode (voir l'article détaillé) permet de tester la divisibilité d'un nombre N, généralement écrit en base dix, par n'importe quel entier d. Le principe est de remplacer, dans le nombre N = an10n + … + a110 + a0, chaque puissance de 10 par son reste r dans la division euclidienne par d (on peut aussi prendre r – d au lieu de r).

Exemples
  • Pour d = 7, on peut remplacer 1, 10, 100, etc. par 1, 3, 2, −1, −3, −2, 1, 3, 2, −1, −3, −2, etc. (suite périodique) : on dit qu'une clé de divisibilité par 7 en base dix est (1, 3, 2, −1, −3, −2). Le nombre N = an…a1a0 est divisible par 7 si et seulement si le nombre suivant l'est :
    a0 + 3a1 + 2a2a3 − 3a4 − 2a5 + a6 + 3a7 + 2a8a9… = A + 3B + 2C, avec
    A = a0a3 + a6a9…, B = a1a4 + a7a10… et C = a2a5 + a8a11
  • Pour d = 13, une clé de divisibilité en base dix est (1, –3, – 4, −1, 3, 4) donc an…a1a0 est divisible par 13 si et seulement si le nombre suivant l'est :
    a0 – 3a1 – 4a2a3 + 3a4 + 4a5 + a6 – 3a7 – 4a8a9… = A – 3B – 4C, avec
    A = a0a3 + a3a3…, B = a1a4 + a7a10… et C = a2a5 + a8a11

Critère de divisibilité par un facteur de 10n ± 1[modifier | modifier le code]

Dans la méthode du ruban, pour certains d, la clé de divisibilité est plus simple lorsqu'on considère N comme écrit en base 10n pour un n bien choisi. En particulier, la clé de divisibilité en base 10n sera (1, −1) si d est un diviseur de 10n + 1, et elle sera simplement (1) si d est un diviseur de 10n – 1. On en a vu des exemples pour la divisibilité par 11 (facteur de 101 + 1 et de 102 – 1) et (pour un « grand » nombre) par 7 ou 13 (facteurs de 103 + 1) ou par 27 (facteur de 103 – 1). En résumé :

  • Si d est un diviseur de 10n + 1, pour savoir si un grand nombre est divisible par d, il suffit de séparer ce nombre par tranches de n chiffres en partant des unités et d'insérer alternativement des – et des + entre les tranches. On effectue l'opération ainsi écrite et le résultat est divisible par d si et seulement si le nombre considéré au départ l'était. On répète cette transformation autant que faire se peut.
    Exemples 
Somme alternée de tranches
Divisibilité par 11 101 7 13 77 91 143 73 137 17 19 133 23 121
Tranches de taille 1 2 3 4 8 9 11
  • Si d est un diviseur de 10n – 1 (ce qui est vrai pour n'importe quel n si d = 3 ou 9), même principe mais en n'insérant que des + entre les tranches.
    Exemples 
Somme simple de tranches
Divisibilité par 11 33 99 27 37 111 41 123 21 39 63 117 81
Tranches de taille 2 3 5 6 9

Note[modifier | modifier le code]