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Liste de critères de divisibilité

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Ceci est une liste de critères de divisibilité pour des nombres écrits en base décimale, premiers ou puissances de nombre premier, inférieurs à 100.

Ces critères sont exposés sans démonstration. Pour les démonstrations ou les méthodes ayant permis d'établir ces critères, voir l'article « Critère de divisibilité ».

Pour la divisibilité par un nombre composé dont on connaît la décomposition en produit de facteurs premiers n = p1k1prkr, il suffit d'appliquer la règle générale : un nombre est divisible par n si et seulement s'il est divisible par chacun des piki. Par exemple : un nombre est divisible par 12 si et seulement s'il est divisible par 3 et par 4.

Dans tout cet article, un entier naturel de n + 1 chiffres est représenté par an…a1a0, où a0 est le chiffre des unités, a1 des dizaines, a2 des centaines, etc.

Sommaire

Puissances de 2, 5 et 10[modifier | modifier le code]

Tout nombre entier est divisible par 1.

Critère de divisibilité par 2n[modifier | modifier le code]

Un nombre est divisible par 2n si et seulement si ses n derniers chiffres forment un nombre divisible par 2n.

Exemples
Un nombre est divisible par 16 = 24 si et seulement si le nombre formé par ses 4 derniers chiffres est divisible par 16.
Un nombre est divisible par 32 = 25 si et seulement si le nombre formé par ses 5 derniers chiffres est divisible par 32. Par exemple : 87 753 216 864 est divisible par 32 car 16 864 est divisible par 32.

Critère de divisibilité par 5n[modifier | modifier le code]

Un nombre est divisible par 5n si et seulement si ses n derniers chiffres forment un nombre divisible par 5n.

Exemples
Un nombre est divisible par 25 = 52 si et seulement si si le nombre formé par ses deux derniers chiffres est divisible par 25, c'est-à-dire si son écriture « se termine » par 00, 25, 50 ou 75. Par exemple : 258 975 est divisible par 25 car il se termine par 75.
257 543 625 est divisible par 53 = 125 car 625 est divisible par 125.

Critère de divisibilité par 10n[modifier | modifier le code]

Un nombre est divisible par 10n si et seulement si ses n derniers chiffres sont égaux à 0.

Exemple
652 500 000 est divisible par 105 car ses 5 derniers chiffres sont des 0.

Entiers inférieurs à 10[modifier | modifier le code]

Divisibilité par : Énoncé du critère : Exemple :
2 Un nombre est pair, c'est-à-dire divisible par 2 = 21, si et seulement si son chiffre des unités est 0, 2, 4, 6 ou 8.

168 est pair car il se termine par 8 qui est pair.

3 Un nombre est divisible par 3 si et seulement si la somme de ses chiffres est divisible par 3. (Par récurrence, cela implique que son résidu est 3, 6, ou 9.) 168 est divisible par 3 car 1 + 6 + 8 = 15, 1 + 5 = 6 et 6 est divisible par 3.
4 Un nombre est divisible par 4 = 22 si et seulement si 2a1 + a0 est divisible par 4. 2 548 est divisible par 4 car 2 × 4 + 8 = 16 qui est divisible par 4.
5 Un nombre est divisible par 5 = 51 si et seulement si son chiffre des unités est 0 ou 5. 235 est divisible par 5 car il se termine par 5.
6 Un nombre est divisible par 6 si et seulement s'il est divisible par 2 et par 3. 168 est divisible par 6, car il est pair et divisible par 3.
7 an…a1a0 est divisible par 7 si et seulement si an…a1 – 2a0 l'est (pour d'autres critères, voir section suivante). 182 est divisible par 7 car 18 – 2 × 2 = 14 l'est.
8 Un nombre est divisible par 8 = 23 si et seulement si 4a2 + 2a1 + a0 est divisible par 8. 636 136 est divisible par 8 car 4 × 1 + 2 × 3 + 6 = 16 qui est divisible par 8.
9 Un nombre est divisible par 9 si et seulement si la somme de ses chiffres est divisible par 9. 423 est divisible par 9 car 4 + 2 + 3 = 9 l'est.
10 Un nombre est divisible par 10 = 101 si et seulement si son chiffre des unités est 0. 270 est divisible par 10 car il se termine par 0.

Critères de divisibilité par 7[modifier | modifier le code]

Lemme de divisibilité par 7[modifier | modifier le code]

Le nombre an…a1a0 est divisible par 7 si et seulement si la somme an…a1 + 5a0 de son nombre de dizaines et de cinq fois son chiffre des unités l'est. On recommence jusqu'à ce que le nombre obtenu soit strictement inférieur à 56 (= 7 × 8). Le nombre est divisible par 7 si et seulement si le résultat final l'est.

Exemple
17 381 est divisible par 7 car
1738 + 5 × 1 = 1743,
174 + 5 × 3 = 189,
18 + 5 × 9 = 63 et
6 + 5 × 3 = 21 = 7 × 3.

Critère pour un grand nombre[modifier | modifier le code]

Une deuxième méthode, basée seulement sur le fait que 103 est congru à –1 modulo 7, est de séparer ce nombre par tranches de 3 chiffres en partant des unités et d'insérer alternativement des – et des + entre les tranches. On effectue l'opération ainsi écrite et ce résultat est divisible par 7 si et seulement le nombre de départ l'était.

Exemple
Soit le nombre 5 527 579 818 992.
On le sépare par tranches de trois chiffres à partir des unités :
5 | 527 | 579 | 818 | 992.
On intercale alternativement des – et des + :
5 – 527 + 579 – 818 + 992.
On effectue l'opération ainsi écrite :
5 – 527 + 579 – 818 + 992 = 231.
On regarde si 231 est divisible à l'aide du lemme de divisibilité par 7 :
23 + 5 × 1 = 28 est divisible par 7 donc 5 527 579 818 992 l'est.

Méthode de Toja[modifier | modifier le code]

Cette quatrième méthode est, comme la deuxième, basée seulement sur le fait que 103 est congru à –1 modulo 7, dont on déduit que

{\rm si}\quad x=100^mb_m+\ldots+100^2b_2+100b_1+b_0\quad{\rm et}\quad y=10^mb_0-10^{m-1}b_1+10^{m-2}b_2\ldots+(-1)^mb_m
{\rm alors}\quad10^mx\equiv y\pmod 7

donc x est divisible par 7 si et seulement si y l'est. On peut bien sûr remplacer au passage chaque bi par n'importe quel entier qui lui est congru modulo 7. Le principe[1] est donc de découper le nombre x par tranches de 2 chiffres et chercher la distance entre chaque nombre de 2 chiffres et le multiple de 7 le plus proche (alternativement par excès et par défaut).

Exemple
Soit le nombre 5 527 579 818 992.
On le sépare par tranches de deux chiffres à partir des unités :
5|52|75|79|81|89|92.
  • À partir de la droite, le multiple de 7 le plus proche par défaut est 91 : distance 92 – 91 = 1.
  • Pour la deuxième paire, le multiple de 7 le plus proche par excès est 91 : distance 91 – 89 = 2.
  • Pour la troisième paire, le multiple de 7 le plus proche par défaut est 77 : distance 81 – 77 = 4
  • Pour la quatrième paire, distance : 84 – 79 = 5, etc.
Le nombre de départ est multiple de 7 si et seulement si
1|2|4|5|5|4|5
est multiple de 7 (les différents « restes » sont écrits dans l'ordre inverse).
On trouve de même que la divisibilité par 7 de 1 245 545 équivaut à celle de 3 136, puis de 14, donc 5 527 579 818 992 est divisible par 7.

Utilisation d'un diagramme[modifier | modifier le code]

Cette technique[2] s'appuie sur l'écriture du nombre en base 10 et sur les congruences modulo 7. L'utilisation d'un diagramme est proposée en 2009 par David Wilson[3],[4]. Sur un cercle, on dispose tous les nombres de 0 à 6, c'est-à-dire tous les restes possibles modulo 7. On relie ensuite par une flèche chaque reste r avec le reste modulo 7 de r ×10.

Le diagramme s'utilise alors de la manière suivante : pour l'entier an…a1a0, égal à (…((an × 10 + an–1) × 10 + an–2) × 10 + …) × 10 + a0,

  • on se place sur la case 0 et l'on se déplace sur le cercle de an cases. On obtient ainsi le reste de an modulo 7 ;
  • on emprunte alors la flèche qui part de la case où l'on se trouve et, à partir du point d'arrivée de la flèche, on se déplace sur le cercle de an–1 cases. On obtient ainsi le reste de an × 10 + an–1 modulo 7 ;
  • on recommence alors le processus (emprunt d'une flèche, puis déplacement sur le cercle) jusqu'à a0. On obtient alors le reste modulo 7 de (…((an × 10 + an–1) × 10 + an–2) × 10 + …) × 10 + a0.

Le nombre est divisible par 7 si et seulement si la case d'arrivée est la case 0.

Diagramme de divisibilité par 7.
Exemple
Pour le nombre 17381.
  • On passe de 0 à 1.
  • On emprunte la flèche qui mène de 1 à 3 et l'on se déplace de 7 cases (i. e. on reste sur place). On se trouve en 3.
  • On emprunte la flèche qui mène de 3 à 2 et l'on se déplace de 3 cases. On se trouve en 5.
  • On emprunte la flèche qui mène de 5 à 1 et l'on se déplace de 8 cases (i. e. on se déplace d'une case). On se trouve en 2.
  • On emprunte la flèche qui mène de 2 à 6 et l'on se déplace d'une case. On se trouve en 0. Le nombre est bien divisible par 7.

Remarque : cette méthode peut se généraliser à tout autre divisibilité par d et à toute autre base b en construisant le diagramme adapté (les nombres de 1 à d – 1 sur le cercle, des flèches reliant r au reste modulo d de r × b).

Critère de divisibilité par 11[modifier | modifier le code]

Première méthode[modifier | modifier le code]

Pour déterminer si un nombre N est divisible par 11 :

  • on calcule la somme A des chiffres en position impaire ;
  • on calcule la somme B des chiffres en position paire ;

N est divisible par 11 si et seulement si la différence A – B (ou B – A) est divisible par 11.

Cela revient à effectuer la somme alternée de ses chiffres.

Exemple[modifier | modifier le code]

Considérons le nombre 19 382.

A = 1 + 3 + 2 = 6
B = 9 + 8 = 17
B – A = 17 – 6 = 11 est divisible par 11 donc 19 382 l'est aussi.

On peut également effectuer le calcul : 1 – 9 + 3 – 8 + 2 = –11.

« Mini-critère »[modifier | modifier le code]

Un nombre de trois chiffres est divisible par 11 si et seulement si la somme des deux chiffres extrêmes est égale au chiffre du milieu (a2 + a0 = a1) ou à 11 plus le chiffre du milieu (a2 + a0 = 11 + a1).

Exemples
374 est divisible par 11 parce que 3 + 4 = 7. Vérification : 374 = 11 × 34.
825 est divisible par 11 parce que 8 + 5 = 11 + 2. Vérification : 825 = 11 × 75.

Deuxième méthode[modifier | modifier le code]

On sépare le nombre par tranches de deux chiffres à partir des unités en intercalant des + et l'on effectue l'opération obtenue. Le résultat est divisible par 11 si et seulement si le nombre de départ l'était.

Exemple
Reprenons l'exemple précédent 19 382 ; on obtient :
1 + 93 + 82 = 176.
Comme le résultat a plus de deux chiffres, on recommence :
1 + 76 = 77.
77 est divisible par 11 donc 19 382 l'est aussi.

Critère de divisibilité par 13[modifier | modifier le code]

Lemme de divisibilité par 13[modifier | modifier le code]

Le nombre an…a1a0 est divisible par 13 si et seulement si an…a1 + 4a0 l'est. Pour voir si un nombre est divisible par 13, il suffit de répéter cette transformation jusqu'à obtenir un résultat strictement inférieur à 52 (= 4 × 13). Le nombre de départ est divisible par 13 si et seulement si le résultat final est 13, 26 ou 39.

Exemples
  • 312 est divisible par 13 car 31 + 4 × 2 = 39.
  • 1 664 est divisible par 13 car 166 + 4 × 4 = 182 et 18 + 4 × 2 = 26.

Critère pour un grand nombre[modifier | modifier le code]

Pour savoir si un grand nombre est divisible par 13, il suffit, puisque 103 est congru à –1 modulo 13 comme modulo 7, d'appliquer la même réduction que dans le deuxième des trois critères ci-dessus de divisibilité par 7 : séparer ce nombre par tranches de 3 chiffres en partant des unités et insérer alternativement des – et des + entre les tranches.

On effectue l'opération ainsi écrite et le résultat est divisible par 13 si et seulement si le grand nombre considéré l'était.

Exemple
Soit le nombre 1 633 123 612 311 854.
On le sépare par tranches de trois à partir des unités :
1 | 633 | 123 | 612 | 311 | 854.
On intercale alternativement des – et des + :
1 – 633 + 123 – 612 + 311 – 854.
On effectue l'opération ainsi écrite :
1 – 633 + 123 – 612 + 311 – 854 = –1 664.
Le résultat est négatif, mais on peut prendre sa valeur absolue 1 664 et continuer.
D'après l'exemple précédent, 1 664 est divisible par 13 donc 1 633 123 612 311 854 l'est aussi.

Critère de divisibilité par 17[modifier | modifier le code]

Un nombre an…a1a0 est divisible par 17 si et seulement si an…a1 – 5a0 (ou sa valeur absolue) l'est. Pour voir si un nombre est divisible par 17, il suffit de répéter cette transformation jusqu'à obtenir un résultat strictement inférieur à 51 (= 3 × 17). Le nombre de départ est divisible par 17 si et seulement si le résultat final est 0, 17 ou 34.

Exemples
  • 3 723 est divisible par 17 car 372 – 5 × 3 = 357 et 35 – 5 × 7 = 0.
  • 5 933 est divisible par 17 car 593 – 5 × 3 = 578 et 57 – 5 × 8 = 17.

Critère de divisibilité par 19[modifier | modifier le code]

Le nombre an…a1a0 est divisible par 19 si et seulement si an…a1 + 2a0 l'est. Pour voir si un nombre est divisible par 19, il suffit de répéter cette transformation jusqu'à obtenir un résultat strictement inférieur à 38 (= 2 × 19). Le nombre de départ est divisible par 19 si et seulement si le résultat final est 19.

Exemple
6 859 est divisible par 19 car 685 + 2 × 9 = 703, 70 + 2 × 3 = 76 et 7 + 2 × 6 = 19.

Critère de divisibilité par 21[modifier | modifier le code]

Critère immédiat[modifier | modifier le code]

Un nombre est divisible par 21 si et seulement s'il est divisible par 7 et par 3.

Lemme de divisibilité par 21[modifier | modifier le code]

Le nombre an…a1a0 est divisible par 21 si et seulement si an…a1 – 2a0 (ou sa valeur absolue) l'est. Cette transformation est la même que la première indiquée pour la divisibilité par 7 (§ « Entiers inférieurs à 10 »). Pour voir si un nombre est divisible par 21, il suffit de la répéter jusqu'à obtenir un résultat strictement inférieur à 21. Le nombre de départ est divisible par 21 si et seulement si le résultat final est 0.

Exemple
5 271 est divisible par 21 car
527 – 2 × 1 = 5 25,
52 – 2 × 5 = 42 et
4 – 2 × 2 = 0.

Critère pour un grand nombre[modifier | modifier le code]

Même méthode que plus loin pour 27 mais par tranches de 6 chiffres (voir le § « Critère de divisibilité par un facteur de 10n ± 1 » ci-dessous).

Critère de divisibilité par 23[modifier | modifier le code]

Première méthode[modifier | modifier le code]

Le nombre an…a1a0 est divisible par 23 si et seulement si an…a1 + 7a0 l'est. Pour voir si un nombre est divisible par 23, il suffit de répéter cette transformation jusqu'à obtenir un résultat strictement inférieur à 92 (= 4 × 23). Le nombre de départ est divisible par 23 si et seulement si le résultat final est 23, 46 ou 69.

Exemple
3 151 est divisible par 23 car 315 + 7 × 1 = 322 et 32 + 7 × 2 = 46.

Deuxième méthode[modifier | modifier le code]

La pertinence de cette section est remise en cause, considérez son contenu avec précaution. En discuter ? (avril 2016)

Le nombre an…a1a0 est divisible par 23 si et seulement si an…a2 + 3a1a0 l'est. On recommence jusqu'à ce que le nombre obtenu soit strictement inférieur à 322 (= 23 × 14). Le nombre est divisible par 23 si et seulement si le résultat final l'est.

Exemple
Reprenons l'exemple précédent : 3 151 est divisible par 23 car 31 + 3 × 51 = 184 et 184 = 8 × 23.

Critère de divisibilité par 27[modifier | modifier le code]

Pour savoir si un nombre est divisible par 27, on le sépare par tranches de 3 chiffres à partir des unités en intercalant des +. On effectue l'opération obtenue. Le résultat est divisible par 27 si et seulement si le nombre considéré au départ l'était.

Exemple
Soit le nombre 68 748 098 828 632 988 661.
On effectue l'opération :
68 + 748 + 098 + 828 + 632 + 988 + 661 = 4 023.
Le résultat ayant plus de 3 chiffres, on peut recommencer :
4 + 023 = 27 qui est divisible par 27, donc 68 748 098 828 632 988 661 l'est aussi.

Critère de divisibilité par 29[modifier | modifier le code]

Le nombre an…a1a0 est divisible par 29 si et seulement si an…a1 + 3a0 l'est. Pour voir si un nombre est divisible par 29 il suffit de répéter cette transformation jusqu'à obtenir un résultat strictement inférieur à 58 (= 2 × 29). Le nombre de départ est divisible par 29 si et seulement si le résultat final est 29.

Exemple
75 168 est divisible par 29 car
7 516 + 3 × 8 = 7 540,
754 + 3 × 0 = 754,
75 + 3 × 4 = 87 et
8 + 3 × 7 = 29.

Critère de divisibilité par 31[modifier | modifier le code]

Le nombre an…a1a0 est divisible par 31 si et seulement si an…a1 – 3a0 (ou sa valeur absolue) l'est. Pour voir si un nombre est divisible par 31, il suffit de répéter cette transformation jusqu'à obtenir un résultat strictement inférieur à 31. Le nombre de départ est divisible par 31 si et seulement si le résultat final est 0.

Exemple
15 996 est divisible par 31 car
1 599 – 3 × 6 = 1 581,
158 – 3 × 1 = 155 et
15 – 3 × 5 = 0.

Critère de divisibilité par 37[modifier | modifier le code]

Même méthode que pour 27 (voir le § « Critère de divisibilité par un facteur de 10n ± 1 » ci-dessous).

Critère de divisibilité par 39[modifier | modifier le code]

Critère immédiat[modifier | modifier le code]

Un nombre est divisible par 39 si et seulement s'il est divisible par 13 et par 3.

Lemme de divisibilité par 39[modifier | modifier le code]

Le nombre an…a1a0 est divisible par 39 si et seulement si an…a1 + 4a0 l'est. Cette transformation est la même que celle pour la divisibilité par 13. Pour voir si un nombre est divisible par 39, il suffit de la répéter jusqu'à obtenir un résultat strictement inférieur à 78 (= 2 × 39). Le nombre de départ est divisible par 39 si et seulement si le résultat final est 39.

Exemple
4 992 est divisible par 39 car
499 + 4 × 2 = 507,
50 + 4 × 7 = 78 et
7 + 4 × 8 = 39

Critère pour un grand nombre[modifier | modifier le code]

Même méthode que pour 27 mais par tranches de 6 chiffres (voir le § « Critère de divisibilité par un facteur de 10n ± 1 » ci-dessous).

Critère de divisibilité par 41[modifier | modifier le code]

Lemme de divisibilité par 41[modifier | modifier le code]

Le nombre an…a1a0 est divisible par 41 si et seulement si an…a1 – 4a0 (ou sa valeur absolue) l'est. Pour voir si un nombre est divisible par 41, il suffit de répéter cette transformation jusqu'à obtenir un résultat strictement inférieur à 41. Le nombre de départ est divisible par 41 si et seulement si le résultat final est 0.

Exemple
8 036 est divisible par 41 car
803 – 4 × 6 = 779,
77 – 4 × 9 = 41 et
4 – 4 × 1 = 0.

Critère pour un grand nombre[modifier | modifier le code]

Même méthode que pour 27 mais par tranches de 5 chiffres (voir le § « Critère de divisibilité par un facteur de 10n ± 1 » ci-dessous).

Critère de divisibilité par 43[modifier | modifier le code]

Le nombre an…a1a0 est divisible par 43 si et seulement si an…a2 – 3a1a0 (ou sa valeur absolue) l'est. On recommence jusqu'à ce que le nombre obtenu soit strictement inférieur à 215 (= 43 × 5). Le nombre est divisible par 43 si et seulement si le résultat final l'est.

Exemple
173 161 est divisible par 43 car 1731 – 3 × 61 = 1 548 et |15 – 48 × 3| = 129 = 43 × 3.

Critère de divisibilité par 47[modifier | modifier le code]

Le nombre an…a1a0 est divisible par 47 si et seulement si an…a2 + 8a1a0 l'est. On recommence jusqu'à ce que le nombre obtenu soit strictement inférieur à 846 (= 47 × 18). Le nombre est divisible par 47 si et seulement si le résultat final l'est.

Exemple
143 597 n'est pas divisible par 47 car 1 435 + 8 × 97 = 2 211 et 22 + 8 × 11 = 110 = 2 × 47 + 16.

Critère de divisibilité par 49[modifier | modifier le code]

Le nombre an…a1a0 est divisible par 49 si et seulement si la somme an…a1 + 5a0 l'est. On recommence jusqu'à ce que le nombre obtenu soit strictement inférieur à 98 (= 2 × 49). Le nombre est divisible par 49 si et seulement si le résultat final est 49.

Exemple

478515625 est divisible par 49 car

47851562 + 5 × 5 = 47851587,

4785158 + 5 × 7 = 4785193,

478519 + 5 × 3 = 478534,

47853 + 5 × 4 = 47873,

4787 + 5 × 3 = 4802,

480 + 5 × 2 = 490 et

49 + 5 × 0 = 49.

Critère de divisibilité par 53[modifier | modifier le code]

Le nombre an…a1a0 est divisible par 53 si et seulement si an…a2 – 9a1a0 (ou sa valeur absolue) l'est. On recommence jusqu'à ce que le nombre obtenu soit strictement inférieur à 800. On passe ensuite au second critère de divisibilité : le nombre an…a1a0 est divisible par 53 si et seulement si an…a1 +16a0 l'est. Il suffit de répéter cette transformation jusqu'à obtenir un résultat strictement inférieur à 212 (= 4 × 53). Le nombre de départ est divisible par 53 si et seulement si le résultat final est 53, 106 ou 159.

Exemple
132 023 est divisible par 53 car 1 320 – 9 × 23 = 1 113 et |11 – 9 × 13| = 106 = 2 × 53.

Critère de divisibilité par 59[modifier | modifier le code]

Le nombre an…a1a0 est divisible par 59 si et seulement si an…a1 + 6a0 l'est. On recommence jusqu'à ce que le nombre obtenu soit strictement inférieur à 118 (= 2 × 59). Le nombre est divisible par 59 si et seulement si le résultat final est 59.

Exemple
1 185 n'est pas divisible par 59 car 118 + 6 × 5 = 148 et 14 + 6 × 8 = 62.

Critère de divisibilité par 61[modifier | modifier le code]

Le nombre an…a1a0 est divisible par 61 si est seulement si an…a1 – 6a0 (ou sa valeur absolue) l'est. On recommence jusqu'à ce que le nombre obtenu soit strictement inférieur à 61. Le nombre est divisible par 61 si et seulement si résultat final est 0.

Exemple
5 623 n'est pas divisible par 61 car 562 – 6 × 3 = 544 et 54 – 6 × 4 = 30.

Critère de divisibilité par 67[modifier | modifier le code]

Un nombre an…a1a0 est divisible par 67 si et seulement si an…a2 – 2a1a0 (ou sa valeur absolue) l'est. On recommence jusqu'à le nombre obtenu soit strictement inférieur à 134 (= 2 × 67). Le nombre est divisible par 67 si et seulement si le résultat final est 0 ou 67.

Exemple
135 541 est divisible par 67 car
1 355 – 41 × 2 = 1 273,
|12 – 73 × 2| = 134 et
|1 – 34 × 2| = 67.

Critère de divisibilité par 71[modifier | modifier le code]

Le nombre an…a1a0 est divisible par 71 si et seulement si an…a1 – 7a0 l'est. On recommence jusqu'à le nombre obtenu soit strictement inférieur à 71. Le nombre est divisible par 71 si et seulement si le résultat final est 0.

Exemple : 27 253 n'est pas divisible par 71 car

2 725 – 7 × 3 = 2 704,
270 – 7 × 4 = 242 et
24 – 7 × 2 = 10.

Critère de divisibilité par 73[modifier | modifier le code]

Même méthode que pour 13 mais par tranches de 4 chiffres (voir le § « Critère de divisibilité par un facteur de 10n ± 1 » ci-dessous).

Critère de divisibilité par 79[modifier | modifier le code]

Le nombre an…a1a0 est divisible par 79 si et seulement si an…a1 + 8a0 l'est. On recommence jusqu'à le nombre obtenu soit strictement inférieur à 158 (= 2 × 79). Le nombre est divisible par 79 si et seulement si le résultat final est 79.

Exemple
21 804 est divisible par 79 car
2 180 + 8 × 4 = 2 212,
221 + 8 × 2 = 237 et
23 + 8 × 7 = 79.

Critère de divisibilité par 83[modifier | modifier le code]

Le nombre an…a1a0 est divisible par 83 si et seulement si an…a1 + 25a0 l'est. On recommence jusqu'à ce que le nombre obtenu soit inférieur à 332 (= 83 × 4). Le nombre est divisible par 83 si et seulement si le résultat final est 83, 166 ou 249.

Exemple

11537 est divisible par 83 car 1153 + 7 × 25 = 1328 et 132 + 8 × 25 = 332 et 33 + 2 × 25 = 83.

Critère de divisibilité par 97[modifier | modifier le code]

Le nombre an…a1a0 est divisible par 97 si et seulement si |an…a1 – 29a0| l'est. On recommence jusqu'à ce que le nombre obtenu soit inférieur à 291 (= 3 × 97). Le nombre est divisible par 97 si et seulement si le résultat final est 0, 97 ou 194.

Exemple

46 657 est divisible par 97 car

4 665 – 29 × 7 = 4 462,
446 – 29 × 2 = 388 et
|38 – 29 × 8| = 194.

Méthode du ruban de Pascal[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Ruban de Pascal.

Cette méthode (voir l'article détaillé) permet de tester la divisibilité d'un nombre N, généralement écrit en base dix, par n'importe quel entier d. Le principe est de remplacer, dans le nombre N = an10n + … + a110 + a0, chaque puissance de 10 par son reste r dans la division euclidienne par d (on peut aussi prendre r – d au lieu de r).

Exemples
  • Pour d = 7, on peut remplacer 1, 10, 100, etc. par 1, 3, 2, −1, −3, −2, 1, 3, 2, −1, −3, −2, etc. (suite périodique) : on dit qu'une clé de divisibilité par 7 en base dix est (1, 3, 2, −1, −3, −2). Le nombre N = an…a1a0 est divisible par 7 si et seulement si le nombre suivant l'est :
    a0 + 3a1 + 2a2a3 − 3a4 − 2a5 + a6 + 3a7 + 2a8a9… = A + 3B + 2C, avec
    A = a0a3 + a6a9…, B = a1a4 + a7a10… et C = a2a5 + a8a11
  • Pour d = 13, une clé de divisibilité en base dix est (1, –3, – 4, −1, 3, 4) donc an…a1a0 est divisible par 13 si et seulement si le nombre suivant l'est :
    a0 – 3a1 – 4a2a3 + 3a4 + 4a5 + a6 – 3a7 – 4a8a9… = A – 3B – 4C, avec
    A = a0a3 + a3a3…, B = a1a4 + a7a10… et C = a2a5 + a8a11

Critère de divisibilité par un facteur de 10n ± 1[modifier | modifier le code]

Dans la méthode du ruban, pour certains d, la clé de divisibilité est plus simple lorsqu'on considère N comme écrit en base 10n pour un n bien choisi. En particulier, la clé de divisibilité en base 10n sera (1, −1) si d est un diviseur de 10n + 1, et elle sera simplement (1) si d est un diviseur de 10n – 1. On en a vu des exemples pour la divisibilité par 11 (facteur de 101 + 1 et de 102 – 1) et (pour un « grand » nombre) par 7 ou 13 (facteurs de 103 + 1) ou par 27 (facteur de 103 – 1). En résumé :

  • Si d est un diviseur de 10n + 1, pour savoir si un grand nombre est divisible par d, il suffit de séparer ce nombre par tranches de n chiffres en partant des unités et d'insérer alternativement des – et des + entre les tranches. On effectue l'opération ainsi écrite et le résultat est divisible par d si et seulement si le nombre considéré au départ l'était. On répète cette transformation autant que faire se peut.
    Exemples 
Somme alternée de tranches
Divisibilité par 11 101 7 13 77 91 143 73 137 17 19 133 23 121
Tranches de taille 1 2 3 4 8 9 11
  • Si d est un diviseur de 10n – 1 (ce qui est vrai pour n'importe quel n si d = 3 ou 9), même principe mais en n'insérant que des + entre les tranches.
    Exemples 
Somme simple de tranches
Divisibilité par 11 33 99 27 37 111 41 123 21 39 63 117 81 53 79 31
Tranches de taille 2 3 5 6 9 13 15

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. (en) Gustavo Gerald Toja Frachia, « Brief method for determining if a number is divisible by 7 ».
  2. Le principe sur un exemple est détaillé dans (en) Boris A. Kordemsky (en), The Moscow Puzzles: 359 Mathematical Recreations, Dover Publications, 2014 (1re éd. 1971), p. 140, aperçu sur Google Livres.
  3. (en) David Wilson, « Divisibility by 7 is a Walk on a Graph », sur Tanya Khovanova's Math Blog,‎ (consulté le 7 février 2016).
  4. (en) David Wilson, « Divisibility by 7 is a Walk on a Graph. II », sur Tanya Khovanova's Math Blog,‎ (consulté le 7 février 2016).