Mathématiques pures

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Les mathématiques pures (ou mathématiques fondamentales) regroupent les activités de recherche en mathématiques motivée par des raisons autres que celles de l'application pratique.

Les mathématiques pures reposent sur le fait que l'on peut s'appuyer sur une définition mathématique quelconque, c'est-à-dire qu'il est possible de raisonner sur un ensemble d'axiomes et sur un système logique de notre convenance. Donc on peut tenter de définir des systèmes mathématiques plus ou moins détachés de l'expérience et du réel, qui n'auront par conséquent pas pour but direct d'applications pratiques. Cela dit, il n'est pas rare que des théories développées sans avoir pour objectif une utilité pratique soient réutilisées plusieurs années plus tard pour certaines applications, après avoir découvert le lien avec celles-ci, à l’instar de la géométrie riemannienne pour la relativité générale.

Dans le cas des mathématiques pures, la recherche mathématique tend à une meilleure compréhension d'une série d'exemples particuliers abstraits sur lesquels s'appuie et se développe la réflexion mathématique.

Histoire[modifier | modifier le code]

Grèce antique[modifier | modifier le code]

Les grecs anciens mathématiciens ont été parmi les premiers à faire une distinction entre les mathématiques pures et appliquées. Platon a contribué à l'écart entre l'« arithmétique », maintenant appelé théorie des nombres, et la « logistique », maintenant appelé arithmétique. Platon considérait la logistique (arithmétique) comme approprié pour les hommes d'affaires et les hommes de guerre qui « doivent apprendre l'art des nombres ou [ils] ne sauront pas comment arranger [leurs] troupes » et l'arithmétique (théorie des nombres) comme appropriée aux philosophes[1]. Euclide, lorsque l'un de ses étudiants lui a demander à quoi servait l'étude de la géométrie, a demandé à son esclave de donner trois pence à l'étudiant « car il doit faire gain de ce qu'il apprend »[2]. Apollonios de Perga a fait valoir, dans la préface du cinquième livre des Coniques, que les sujets d'un de ceux-ci « ... semble digne d'être étudié pour eux-mêmes »[3].

XIXe siècle[modifier | modifier le code]

Le terme lui-même est inscrit dans le titre complet de la chaire sadleirienne, fondée au milieu du XIXe siècle. L'idée de faire des mathématiques pures d'une discipline à part entière pourrait avoir émergé à cette époque. La génération de Gauss ne fait aucune distinction radicale entre les mathématiques pures et appliquées.

XXe siècle[modifier | modifier le code]

Au début du XXe siècle, les mathématiciens ont utilisés la méthode axiomatique, fortement influencée par David Hilbert. La formulation logique des mathématiques pures suggérée par Bertrand Russell semblait de plus en plus plausible, puisque de grandes parties des mathématiques se sont axiomatisée et se sont donc soumis à des critères de démonstration rigoureuse.

En fait, dans un cadre axiomatique, le rigoureux n'ajoute rien à l'idée de démonstration. Les mathématiques pures, selon un point de vue qui peut être attribué au collectif Bourbaki, est ce qui est démontré[4].

Généralité et abstraction[modifier | modifier le code]

Un concept central en mathématiques pures est l'idée de généralité; les mathématiques pures présentent souvent une tendance vers une plus grande généralité.

  • La généralisation de théorèmes ou de structures mathématiques peut conduire à une meilleure compréhension des théorèmes ou structures originales.
  • La généralisation peut simplifier la présentation du matériel, ce qui entraîne des démonstrations ou des arguments étant plus faciles à suivre plus courts.
  • On peut utiliser la généralité pour éviter la duplication des efforts, ce qui amène à une méthode générale au lieu d'avoir à démontrer des cas séparés indépendamment, ou en utilisant les résultats d'autres domaines mathématiques.
  • La généralisation peut faciliter les connexions entre les différentes branches des mathématiques. La théorie des catégories est un domaine des mathématiques dédiés à la découverte de point en commun entre certains domaines des mathématiques.

L'impact de la généralité sur l'intuition est à la fois dépendante du sujet, et est une question de préférence personnelle. Souvent, la généralité est considérée comme un obstacle à l'intuition, mais elle peut certainement fonctionner comme une aide à celle-ci.

On peut prendre pour exemple le programme d'Erlangen a développé une expansion de la géométrie afin d'accueillir des géométries non-euclidiennes, ainsi que le domaine de la topologie, et d'autres sous-domaines de la géométrie, en étudiant la géométrie comme l'étude d'un espace avec un groupe de transformations. L'étude des nombres, appelée algèbre au début de son apprentissage, puis s'étend à l'algèbre abstraite à un niveau plus avancé; et l'étude des fonctions, appelé calcul à ses débuts, puis analyse mathématique et analyse fonctionnelle à un niveau plus avancé. Chacune de ces branches mathématiques plus abstraites ont beaucoup de sous-domaines, et il existe en fait beaucoup de liens entre les disciplines des mathématiques pures appliquées. Un fort développement de l'abstraction a été observée au milieu du XXe siècle.

Cependant, en pratique, ces évolutions ont conduit à une forte divergence en physique, en particulier de 1950 à 1983. Plus tard, cette divergence fut critiquée, par exemple par Vladimir Arnold, car trop de Hilbert, pas assez de Poincaré.[pas clair]

Sous-domaines[modifier | modifier le code]

Les mathématiciens ont toujours eu des opinions divergentes en ce qui concerne la distinction entre les mathématiques pures et appliquées. Un des exemples modernes les plus célèbres (mais sans doute mal compris) de ce débat se trouve dans A Mathematician's Apology, de G. H. Hardy.

Il est largement admis que Hardy a considéré les mathématiques appliquées comme laides et ternes. Bien qu'il soit vrai qu'Hardy préfère les mathématiques pures, et qu'il les a souvent comparées à la peinture et à la poésie, Hardy a perçu la distinction entre mathématiques pures et appliquées qui est tout simplement que, les mathématiques appliquées cherchent à exprimer la vérité physique dans un cadre mathématique, alors que les mathématiques pures expriment des vérités étant indépendantes du monde physique. Hardy fait ainsi une distinction des mathématiques entre ce qu'il appelle les mathématiques « réelles », « qui ont une valeur esthétique permanente », et « les parties ternes et élémentaires des mathématiques » qui ont une utilisation pratique.

Hardy considérait certains physiciens, comme Einstein et Dirac, d'être parmi les « vrais » mathématiciens, mais au moment où il écrivait l'Apology, il a également considéré la relativité générale et la mécanique quantique comme étant « inutiles », ce qui lui a permis d'affirmer que seuls les mathématiques « ternes » sont utiles[5].

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Références[modifier | modifier le code]

  1. (en) Carl B. Boyer, A History of Mathematics, John Wiley & Sons, Inc., , 86 p. (ISBN 0-471-54397-7), « The age of Plato and Aristotle » :

    « Plato is important in the history of mathematics largely for his role as inspirer and director of others, and perhaps to him is due the sharp distinction in ancient Greece between arithmetic (in the sense of the theory of numbers) and logistic (the technique of computation). Plato regarded logistic as appropriate for the businessman and for the man of war, who "must learn the art of numbers or he will not know how to array his troops." The philosopher, on the other hand, must be an arithmetician "because he has to arise out of the sea of change and lay hold of true being." »

  2. (en) Carl B. Boyer, A History of Mathematics, John Wiley & Sons, Inc., , 101 p. (ISBN 0-471-54397-7), « Euclid of Alexandria » :

    « Evidently Euclid did not stress the practical aspects of his subject, for there is a tale told of him that when one of his students asked of what use was the study of geometry, Euclid asked his slave to give the student threepence, "since he must make gain of what he learns." »

  3. (en) Carl B. Boyer, A History of Mathematics, John Wiley & Sons, Inc., , 152 p. (ISBN 0-471-54397-7), « Apollonius of Perga » :

    « It is in connection with the theorems in this book that Apollonius makes a statement implying that in his day, as in ours, there were narrow-minded opponents of pure mathematics who pejoratively inquired about the usefulness of such results. The author proudly asserted: "They are worthy of acceptance for the sake of the demonstrations themselves, in the same way as we accept many other things in mathematics for this and for no other reason." (Heath 1961, p.lxxiv).
    The preface to Book V, relating to maximum and minimum straight lines drawn to a conic, again argues that the subject is one of those that seem "worthy of study for their own sake." While one must admire the author for his lofty intellectual attitude, it may be pertinently pointed out that s day was beautiful theory, with no prospect of applicability to the science or engineering of his time, has since become fundamental in such fields as terrestrial dynamics and celestial mechanics. »

  4. A. S. Hathaway (1901) "Pure mathematics for engineering students", Bulletin of the American Mathematical Society 7(6):266–71.
  5. Andy Magid, Letter from the Editor, in Notices of the AMS, November 2005, American Mathematical Society, p.1173. [1]