Formulaire de relativité restreinte

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Cet article contient un ensemble de formules utiles en relativité restreinte.

Les notations[modifier | modifier le code]

Systèmes d'axes parallèles

Les formules établissent le passage entre les coordonnées (t, x ) d'un événement dans le repère inertiel fixe, disons celui de la Terre, et les coordonnées (t ’x ’ ) du même événement dans le repère mobile, disons de la fusée, laquelle se déplace le long de l'axe des x avec la vitesse v.

On suppose que les origines du temps coïncident à

On pose :

Le paramètre angulaire de vitesse[modifier | modifier le code]

Pour simplifier les formules il est utile d'introduire le paramètre angulaire de vitesse θ défini par les formules suivantes :

  soit  

À l'aide de ce paramètre on peut écrire :

L'invariant de la relativité restreinte[modifier | modifier le code]

La quantité suivante est invariante dans un changement de coordonnées

et définit le temps propre

Les transformations de Lorentz[modifier | modifier le code]

ce qui donne sous forme matricielle (plus facile à visualiser) :

En utilisant les fonctions hyperboliques de l'angle θ, on obtient des expressions analogues aux formules de changement d'axes de coordonnées par rotation plane :

En sens inverse

ou

La dilatation du temps[modifier | modifier le code]

Si l'horloge de la fusée mesure la durée entre deux événements se produisant dans cette fusée, donc séparés par une distance spatiale , la durée mesurée dans le laboratoire fixe de la Terre est

La durée mesurée dans un repère extérieur est toujours plus grande que la durée propre.

La contraction des longueurs[modifier | modifier le code]

Si la fusée est de longueur L’ dans son propre repère, sa longueur L mesurée par la distance entre les deux points de la Terre en coïncidence avec l'avant et l'arrière de la fusée au même instant (sur Terre), donc correspondant à , est donnée par

La longueur mesurée sur Terre est plus petite que la longueur propre de la fusée.

Loi de composition des vitesses[modifier | modifier le code]

Un obus est tiré d'une fusée avec une vitesse w ’ par rapport au repère de cette fusée, dans la direction du mouvement. La vitesse w de l'obus par rapport à la Terre est

En utilisant les paramètres angulaires

on a la loi additive

Le quadrivecteur énergie-impulsion[modifier | modifier le code]

Comme

on a

Aux faibles vitesses

On a toujours la relation

La quantité suivante est invariante dans un changement de repère

Pour un photon, m = 0 et

Énergie cinétique[modifier | modifier le code]

L'énergie cinétique d'une particule est

Pour

et pour

Formules de changement de repère[modifier | modifier le code]

Ce sont les formules de Lorentz

ou

Transformations inverses

ou

Effet Doppler-Fizeau[modifier | modifier le code]

Effet Doppler

étant la fréquence reçue sur Terre, la fréquence émise par la source, l'angle que fait le photon avec l'axe Ox dans le repère de cette source, l'angle avec l'axe Ox dans le repère terrestre, la vitesse de la source par rapport à la Terre et la vitesse radiale, on a

Aux faibles vitesses

Si l'étoile s'éloigne, v est positif, est négatif, est négatif, de sorte que la fréquence diminue (la longueur d'onde augmente, c'est le décalage vers le rouge).

Phénomène d'aberration de la lumière :

Articles connexes[modifier | modifier le code]