Indice (analyse complexe)

Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.
Aller à : navigation, rechercher
Page d'aide sur l'homonymie Pour les articles homonymes, voir Indice.
Un point z0 et un lacet C.

En mathématiques, l'indice d'un point par rapport à un lacet est une quantité qui mesure le « nombre de tours (algébrique) » réalisé par un lacet autour d'un point. Cette notion joue un rôle central en analyse complexe, car l'indice intervient dans la théorie de Cauchy globale et, en particulier, dans la formule intégrale de Cauchy. L'indice apparaît également dans le théorème des résidus. L'indice fournit le lien entre les aspects purement analytiques en analyse complexe et les propriétés topologiques du plan complexe. C'est un cas particulier de la notion de degré d'une application.

Indice d'un point par rapport à un lacet[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Théorème de relèvement.

D'après le théorème de relèvement des chemins dans le revêtement universel réalisé par l'exponentielle complexe, si \gamma:[0,1]\to\C^* est un lacet (chemin tel que \gamma(1)=\gamma(0)) dans le plan complexe privé de l'origine, il existe un chemin (non unique) \tilde{\gamma}:[0,1]\to\C tel que \gamma=\exp\circ\tilde{\gamma}. La quantité


\frac1{2\mathrm{i}\pi} (\tilde{\gamma}(1)-\tilde{\gamma}(0))

ne dépend pas du relèvement \tilde{\gamma} choisi et s'appelle l'indice de \gamma par rapport à 0 ; elle correspond au « nombre de tours » comptés algébriquement (c'est-à-dire en tenant compte du sens de parcours) que fait le lacet autour de l'origine. En effet, \tilde{\gamma}:[0,1]\to\C apparaît comme un « logarithme » du lacet \gamma et donc \tilde{\gamma}(1)-\tilde{\gamma}(0) correspond à la différence des valeurs de la partie imaginaire du logarithme complexe, c'est-à-dire une fonction argument.

Si maintenant \gamma:[0,1]\to\C est un lacet quelconque et z un nombre complexe n'appartenant pas à l'image \gamma([0,1])\subset\C de \gamma, l'indice de z par rapport à \gamma — ou de \gamma par rapport à z — noté \operatorname{Ind}_{\gamma} (z), est l'indice par rapport à 0 du lacet \gamma - z. Cette définition de l'indice fait apparaître cette quantité comme un cas particulier du degré de l'application de Gauss en topologie.

Propriétés[modifier | modifier le code]

  • Lorsque le lacet \gamma est différentiable par morceaux, l'indice s'exprime sous forme d'une intégrale :
    \operatorname{Ind}_{\gamma} (z) =\frac1{2 \mathrm{i} \pi} \int_{\gamma} \frac{\mathrm d \zeta}{\zeta - z}.

Cette définition subsiste d'ailleurs pour les lacet continus généraux, pourvu qu'on utilise une intégrale possédant une vraie extension de Stieltjes[1], et définie pour les fonctions dans les espaces de Banach à produit. Telle est par exemple l'intégrale de Kurweil-Henstock, mais en l'occurence, une simple version de l'intégrale de Riemann-Stieltjes suffit.

  • En notant  \Omega=\C\smallsetminus \gamma([0,1]), on a une fonction z\mapsto\operatorname{Ind}_{\gamma} (z) à valeurs entières sur \Omega, constante sur les composantes connexes de \Omega, et nulle sur la composante non bornée de \Omega. Ces valeurs entières correspondent au nombre de tours effectués par le lacet autour du point z.

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. On veut dire par là que l'intégrale est définie pour tous les chemins continus, contrairement à l'intégrale de Lebesgue-Stieltjes qui exige que les chemins soient à variation bornée.