Indice (analyse complexe)

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Un point z0 et un lacet C.

En mathématiques, l'indice d'un point par rapport à un lacet est une quantité qui mesure le « nombre de tours (algébrique) » réalisé par un lacet autour d'un point. Cette notion joue un rôle central en analyse complexe, car l'indice intervient dans la théorie de Cauchy globale et, en particulier, dans la formule intégrale de Cauchy. L'indice apparaît également dans le théorème des résidus. L'indice fournit le lien entre les aspects purement analytiques en analyse complexe et les propriétés topologiques du plan complexe. C'est un cas particulier de la notion de degré d'une application.

Indice d'un point par rapport à un lacet[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Théorème de relèvement.

D'après le théorème de relèvement des chemins dans le revêtement universel réalisé par l'exponentielle complexe, si est un lacet (chemin tel que ) dans le plan complexe privé de l'origine, il existe un chemin (non unique) tel que . La quantité

ne dépend pas du relèvement choisi et s'appelle l'indice de par rapport à 0 ; elle correspond au « nombre de tours » comptés algébriquement (c'est-à-dire en tenant compte du sens de parcours) que fait le lacet autour de l'origine. En effet, apparaît comme un « logarithme » du lacet et donc correspond à la différence des valeurs de la partie imaginaire du logarithme complexe, c'est-à-dire une fonction argument.

Si maintenant est un lacet quelconque et z un nombre complexe n'appartenant pas à l'image de , l'indice de z par rapport à — ou de par rapport à z — noté , est l'indice par rapport à 0 du lacet . Cette définition de l'indice fait apparaître cette quantité comme un cas particulier du degré de l'application de Gauss en topologie.

Propriétés[modifier | modifier le code]

  • Lorsque le lacet est différentiable par morceaux, l'indice s'exprime sous forme d'une intégrale :

Cette définition subsiste d'ailleurs pour les lacet continus à variation bornée, pourvu qu'on utilise une intégrale possédant une extension de Stieltjes, et définie pour les fonctions dans les espaces de Banach à produit. Telle est par exemple l'intégrale de Kurweil-Henstock, mais en l'occurrence, une simple version de l'intégrale de Riemann-Stieltjes suffit.

  • En notant , on a une fonction à valeurs entières sur , constante sur les composantes connexes de , et nulle sur la composante non bornée de . Ces valeurs entières correspondent au nombre de tours effectués par le lacet autour du point .

Notes et références[modifier | modifier le code]