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En mathématiques , une multifonction convexe est une multifonction entre espaces vectoriels réels dont le graphe est convexe.
Soient
X
{\displaystyle X}
Y
{\displaystyle Y}
multifonction
F
:
X
⊸
Y
{\displaystyle F:X\multimap Y}
multifonction convexe si son graphe
G
(
F
)
:=
{
(
x
,
y
)
∈
X
×
Y
:
y
∈
F
(
x
)
}
{\displaystyle {\mathcal {G}}(F):=\{(x,y)\in X\times Y:y\in F(x)\}}
espace vectoriel produit
X
×
Y
.
{\displaystyle X\times Y.}
(
x
0
,
x
1
)
∈
X
2
{\displaystyle (x_{0},x_{1})\in X^{2}}
t
∈
[
0
,
1
]
{\displaystyle t\in [0,1]}
F
(
(
1
−
t
)
x
0
+
t
x
1
)
⊃
(
1
−
t
)
F
(
x
0
)
+
t
F
(
x
1
)
.
{\displaystyle F{\bigl (}(1-t)x_{0}+tx_{1}{\bigr )}\supset (1-t)F(x_{0})+tF(x_{1}).}
Quelques remarques
Une multifonction convexe univoque est une fonction affine .
Si
f
:
X
→
R
∪
{
+
∞
}
{\displaystyle f:X\to \mathbb {R} \cup \{+\infty \}}
fonction convexe,
f
{\displaystyle f}
multifonction convexe, mais la multifonction
x
↦
[
f
(
x
)
,
+
∞
[
⊂
R
{\displaystyle x\mapsto {[f(x),+\infty [}\subset \mathbb {R} }
épigraphe de
f
{\displaystyle f}
Si
F
:
X
⊸
Y
{\displaystyle F:X\multimap Y}
C
{\displaystyle C}
X
{\displaystyle X}
F
(
C
)
{\displaystyle F(C)}
Y
{\displaystyle Y}
F
(
C
)
{\displaystyle F(C)}
Y
{\displaystyle Y}
G
(
F
)
∩
(
C
×
Y
)
{\displaystyle {\mathcal {G}}(F)\cap (C\times Y)}
X
×
Y
{\displaystyle X\times Y}
(en) J.F. Bonnans and A. Shapiro (2000). Perturbation Analysis of Optimization Problems , Springer Verlag, New York.
Convexité
Géométrie convexe
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Théorie des nombres :
![{\displaystyle t\in [0,1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/31a5c18739ff04858eecc8fec2f53912c348e0e5)
