Formule sommatoire d'Abel

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Page d'aide sur l'homonymie Pour d'autres théorèmes de Niels Henrik Abel, voir Théorème d'Abel.

En mathématiques, la formule sommatoire d'Abel est une formule utilisée intensivement en théorie analytique des nombres. Elle sert à calculer des séries numériques.

Énoncé[modifier | modifier le code]

Soient une suite de nombres réels ou complexes et une fonction réelle ou complexe de classe C1.

On pose

Alors, pour tout réel x,

Démonstration[modifier | modifier le code]

Il s'agit d'une intégration par parties dans une intégrale de Stieltjes, mais ce cas particulier peut se démontrer directement.

La fonction A est nulle sur ]–∞, 1[ donc si x < 1, l'équation se résume à 0 = 0.

Supposons désormais x ≥ 1 et notons N ≥ 1 sa partie entière (donc A(x) = A(N)). La formule de sommation par parties donne :

Exemples[modifier | modifier le code]

Constante d'Euler-Mascheroni[modifier | modifier le code]

Pour et , en notant la partie entière de x, on trouve (pour tout réel x ≥ 1, ou même x > 0) :

dont on déduit une représentation intégrale de la constante d'Euler-Mascheroni.

Séries de Dirichlet[modifier | modifier le code]

Pour toute série de Dirichlet classique

la formule sommatoire d'Abel, appliquée à , montre que pour tout nombre complexe s de partie réelle strictement supérieure à 0 et à l'abscisse de convergence de la série[1] :

Ci-dessous, deux exemples. On en trouvera un autre dans l'article « Fonction de von Mangoldt ».

Fonction zêta de Riemann[modifier | modifier le code]

Pour on obtient :

Cette formule est valable pour Re(s) > 1. On en déduit notamment le théorème de Dirichlet selon lequel la fonction zêta de Riemann ζ(s) admet un pôle simple de résidu 1 en s = 1.

Inverse de la fonction zêta de Riemann[modifier | modifier le code]

Pour (la fonction de Möbius) :

Cette formule est valable pour Re(s) > 1. Le symbole M désigne la fonction de Mertens, définie par

Note[modifier | modifier le code]

  1. C'est un cas particulier d'une propriété des séries de Dirichlet générales qui se démontre de la même façon.