Espace uniforme

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En mathématiques, la notion d'espace uniforme, introduite en 1937 par André Weil[1], est une généralisation de celle d'espace métrique. Une structure uniforme est une structure qui permet de définir la continuité uniforme. On peut y parvenir de deux manières différentes, l'une en généralisant la notion de distance, l'autre avec une axiomatique proche de celle des espaces topologiques. On montre que ces deux approches sont équivalentes.

Écarts[modifier | modifier le code]

Définition[modifier | modifier le code]

Un écart[2] sur un ensemble est une application

telle que pour tout  :

  1. ;
  2. (symétrie);
  3. (inégalité triangulaire).

Un espace pseudométrique est un ensemble muni d'un écart .

On constate deux différences par rapport à la notion de distance :

  • la première est mineure : un écart peut prendre la valeur . Mais on peut toujours remplacer par un écart équivalent (du point de vue de la topologie et de la structure uniforme) à valeurs finies, i.e. par une pseudométrique, par exemple  ;
  • la seconde est essentielle : un écart ne vérifie pas nécessairement l'axiome de séparation pour les distances, qui est[3] : .

Topologie associée à un écart[modifier | modifier le code]

Tout comme les boules ouvertes d'une distance engendrent une topologie (la topologie métrique), les "boules" ouvertes d'un écart engendrent une topologie dite topologie pseudométrique. Cette dernière topologie n'est en général pas séparée, ni même T0. Elle est séparée si et seulement si l'axiome de séparation ci-dessus est vérifié.

Deux écarts sont dits (topologiquement) équivalents s'ils définissent la même topologie.

Si est une fonction croissante telle que , continue en 0, strictement croissante au voisinage de 0 et telle que , en posant , on obtient un écart équivalent à [4]. En particulier, en utilisant la fonction , on prouve que tout écart est équivalent à un écart fini. Il est donc possible de ne travailler qu'avec des écarts qui ne prennent jamais la valeur infinie (i.e. des pseudométriques).

Exemples d'écarts[modifier | modifier le code]

  • L'espace des fonctions d'un ensemble dans l'ensemble des réels peut être muni de l'écart de la convergence uniforme : . Lorsque n'est pas bornée, cet écart est infini. La topologie associée à cet écart est la topologie de convergence uniforme. Cette topologie est séparée.
  • L'espace des fonctions intégrables de dans peut être muni de la semi-norme puis de l'écart associé . La topologie associée n'est pas séparée.

Jauges[modifier | modifier le code]

Définition[modifier | modifier le code]

Une jauge[5] (ou structure uniforme) sur un ensemble est une famille d'écarts sur .

Puisque les écarts peuvent toujours se ramener à des pseudométriques équivalentes, il est aussi courant de définir une jauge comme étant une famille de pseudométriques.

Topologie associée à une jauge[modifier | modifier le code]

À une jauge donnée, on associe la topologie engendrée par les topologies associées à chaque écart individuellement, c'est-à-dire la topologie initiale associée à cette famille (topologie la moins fine sur pour laquelle tous ces écarts sont continus).

Exemples de jauges[modifier | modifier le code]

  • La topologie d'un espace localement convexe est définie par une famille de semi-normes, donc par une famille particulière d'écarts.
  • Soit l'espace des fonctions lisses de dans . À chaque compact et à chaque multi-indice est associé un écart . La topologie associée à cette jauge est celle de la convergence uniforme sur les compacts des dérivées de tous ordres. Cette topologie est métrisable.
  • En considérant des cartes locales, ce dernier exemple se généralise[6] à l'espace des applications lisses entre variétés lisses et . La topologie obtenue est celle . Elle est métrisable et complète.

Entourages[modifier | modifier le code]

Définition[modifier | modifier le code]

Une définition alternative (mais équivalente) d'une structure uniforme sur un ensemble est la donnée d'un ensemble non vide de parties de , appelées entourages de la structure, vérifiant les axiomes ci-dessous.

  • Tout entourage contient la diagonale de .
  • Toute partie de qui contient un entourage est un entourage.
  • L'intersection de deux entourages est un entourage.
  • En notant , pour tout entourage , l'ensemble est aussi un entourage.
  • En notant , pour tout entourage , il existe un entourage tel que .

Remarquons que l'ensemble des entourages est un filtre sur .

Équivalence avec la définition par les écarts[modifier | modifier le code]

Toute structure uniforme définie par une jauge possède une famille d'entourages :

  • Lorsqu'une jauge ne contient qu'un seul écart , les entourages sont les sur-ensembles des ensembles de la forme avec réel strictement positif.
  • Lorsqu'une jauge contient plusieurs écarts , les entourages sont les intersections d'un nombre fini d'entourages associés à un nombre fini d'écarts de la jauge.

Remarque : Il est possible de saturer une jauge en ajoutant aux écarts déjà présents toutes les bornes supérieures d'un nombre fini d'écarts. La structure uniforme obtenue est alors identique (mêmes entourages). L'avantage de la saturation consiste à n'avoir besoin que d'un seul écart et non pas d'une famille finie dans la définition ci-dessus de la structure uniforme.

Toute structure uniforme définie par une famille d'entourages possède une jauge : Si on se donne une famille d'entourages sur un ensemble, on peut définir une jauge dont la famille d'entourages associés est la famille donnée[7],[8].

Topologie associée[modifier | modifier le code]

La topologie associée à une structure uniforme, précédemment définie en termes d'écarts, se reformule en termes d'entourages de la manière suivante.

Soit l'ensemble des entourages. Pour une partie quelconque de et un point quelconque de , notons l'ensemble des de tels que .

La topologie associée à l'espace uniforme se définit en prenant pour voisinages d'un point quelconque tous les avec entourage :

On démontre[9] que les voisinages ainsi définis satisfont bien aux axiomes de définition des voisinages.

Espace topologique uniformisable[modifier | modifier le code]

Un espace topologique est dit uniformisable (en) s'il existe une structure uniforme qui induit sa topologie. Les espaces uniformisables sont ceux qui vérifient l'axiome de séparation T3 1/2.

Par exemple, tout groupe topologique est uniformisable d'au moins deux façons, qui coïncident si le groupe est abélien. En particulier, tout espace vectoriel topologique est uniformisable.

Continuité uniforme[modifier | modifier le code]

Une application d'un espace uniforme dans un espace uniforme est dite uniformément continue lorsque l'image réciproque par de tout entourage est un entourage.

La composée de deux applications uniformément continues est uniformément continue. Les espaces uniformes forment ainsi une catégorie.

Toute application uniformément continue est continue pour les topologies sous-jacentes. On a donc un foncteur d'oubli de la catégorie des espaces uniformes vers celle des espaces topologiques.

Les produits existent dans ces deux catégories, et la topologie induite par une structure uniforme produit coïncide avec la topologie produit des topologies induites[10] (autrement dit : le produit commute avec le foncteur d'oubli).

Tout morphisme continu de groupes topologiques est uniformément continu pour les structures uniformes à droite (resp. gauche) associées[11].

Espace complet[modifier | modifier le code]

Une suite de points de l'espace uniforme est dite de Cauchy si pour tout entourage , il existe un entier naturel tel que pour tous , on ait .

Un filtre dans un espace uniforme est dit de Cauchy si pour tout entourage , il existe un élément du filtre tel que est inclus dans . Une suite est donc de Cauchy si et seulement si le filtre associé (le filtre image par la suite du filtre de Fréchet sur ) est de Cauchy.

Dans un espace uniforme associé à une distance, ces deux définitions équivalent aux définitions classiques correspondantes d'une suite de Cauchy et d'un filtre de Cauchy dans un espace métrique.

Dans un espace uniforme, toute suite convergente et tout filtre convergent sont de Cauchy. Il y a deux réciproques possibles à cette proposition. Si tout filtre de Cauchy est convergent, l'espace est dit complet ; si toute suite de Cauchy est convergente, l'espace est dit séquentiellement complet.

Un espace complet est toujours séquentiellement complet. Dans un espace uniforme associé à une distance, la réciproque est également vraie, et donc la complétude séquentielle et la complétude tout court (selon les filtres) coïncident. La notion de complétude d'un espace métrique possède donc, dans le cas général d'un espace uniforme, deux généralisations distinctes.

De même que tout espace métrique admet un unique espace métrique complété, tout espace uniforme admet un unique espace uniforme « séparé complété » , vérifiant la propriété universelle analogue[12] : toute application uniformément continue de dans un espace uniforme séparé complet se factorise de façon unique par .

Tout sous-espace fermé d'un espace uniforme complet est complet.

Tout sous-espace complet d'un espace uniforme séparé est fermé.

Un produit d'espaces uniformes non vides est complet si et seulement si chaque facteur l'est[13].

Tout espace paracompact est complètement uniformisable (en), avec comme entourages les voisinages de la diagonale[14].

Tout espace compact est uniformisable de façon unique ; un espace uniforme est compact si et seulement s'il est séparé, complet et précompact[15].

Espaces lipschitziens[modifier | modifier le code]

Soit et deux ensembles, munis de jauges et respectivement. Une application est dite lipschitzienne de dans si pour tout , il existe une partie finie et un réel tels que, quels que soient

.

Toute application lipschitzienne est uniformément continue. On définit différentes notions d'équivalence de jauges, généralisant celles d'équivalence des distances : deux jauges et de sont dites équivalentes (resp. uniformément équivalentes, resp. Lipschitz-équivalentes) si l'application identique de dans et sa réciproque sont continues (resp. uniformément continues, resp. lipschitziennes).

Une structure lipschitzienne sur un ensemble est une jauge à équivalence lipschitzienne près.

Un espace lipschitzien est un ensemble muni d'une structure lipschitzienne. On a donc un foncteur d'oubli de la catégorie des espaces lipschitziens (avec comme morphismes les applications lipschitziennes) vers celle des espaces uniformes, de même qu'on en a un de la catégorie des espaces uniformes vers celle des espaces topologiques.

Une structure lipschitzienne est dite séparée si la topologie qu'elle détermine est séparée. Cette condition est vérifiée si et seulement si pour une (ou, de manière équivalente, pour toute) jauge déterminant cette structure et tout couple de points distincts , il existe un indice tel que [16].

Un sous-ensemble d'un ensemble muni d'une jauge est dit borné si pour tout , il existe une boule de centre et de rayon fini qui contient . Les ensembles bornés de ne dépendent que de sa structure lipschitzienne. En revanche, deux jauges uniformément équivalentes ne déterminent pas nécessairement les mêmes ensembles bornés.

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. André Weil, Sur les espaces à structure uniforme et sur la topologie générale, Hermann, 1937.
  2. N. Bourbaki, Éléments de mathématique, Topologie générale, chapitre IX, anciennement chapitre VII.
  3. Bourbaki, TG IX.11.
  4. Bourbaki, TG IX.3.
  5. Schechter 1997, p. 109.
  6. 2010, Homologie de Morse dans la perspective de l'homologie de Floer, François Laudenbach.
  7. Bourbaki, TG II et IX.
  8. François Guénard et Gilbert Lelièvre, Compléments d'analyse, Volume 1, Topologie, première partie, ENS Fontenay éd., 1985, p. 35.
  9. Bourbaki, TGII.3, Proposition 1.
  10. Bourbaki, TG II.10.
  11. Bourbaki, TG I à IV, Springer Verlag, 2006 (ISBN 978-3-540-33936-6), III.21.
  12. Bourbaki, TG II.21.
  13. Bourbaki, TG II.17.
  14. (en) Brian M. Scott, « Every paracompact Hausdorff space is completely uniformizable », sur MathStackExchange.
  15. Bourbaki, TG II.27-30.
  16. Laurent Schwartz, Cours d'analyse, vol. 2, Hermann, (ISBN 978-2-7056-5765-9), § VII.7.

Article connexe[modifier | modifier le code]

Espace de Cauchy (en)