Espace pseudométrique

Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.
Aller à : navigation, rechercher
image illustrant les mathématiques
Cet article est une ébauche concernant les mathématiques.

Vous pouvez partager vos connaissances en l’améliorant (comment ?) selon les recommandations des projets correspondants.

En mathématiques, un espace pseudométrique est un espace muni d'un écart. C'est une généralisation de la notion d'espace métrique. Lorsqu'une topologie est définie par une famille d'écarts, l'espace est appelé espace uniforme.

Remarque : en analyse fonctionnelle et dans les disciplines mathématiques apparentées, l'expression espace semimétrique est utilisée comme synonyme d'espace pseudométrique, parce que toute semi-norme induit un écart. L'expression espace semimétrique peut par ailleurs avoir un sens différent.

Définition[modifier | modifier le code]

Un espace pseudométrique est la donnée d'un ensemble X et d'une application positive à valeurs réelles , appelée fonction pseudométrique, qui vérifie les trois relations suivantes :

  •  ;
  • (symétrie) ;
  • (inégalité triangulaire).

Un écart sur X est une application vérifiant les trois conditions ci-dessus (où ).

À la différence de ceux d'un espace métrique, les points d'un espace pseudométrique ne sont pas nécessairement discernables — c'est-à-dire que l'on peut avoir pour des valeurs distinctes .

Exemples[modifier | modifier le code]

Sur l'espace des fonctions à valeurs réelles , en choisissant un point , on peut définir un écart par :

Plus généralement, sur un espace vectoriel V, toute semi-norme p induit un écart d en posant :

.

Réciproquement, tout écart invariant par translation et homogène induit une seminorme.

Propriétés topologiques[modifier | modifier le code]

La topologie pseudométrique associée à un écart p est induite par l'ensemble des boules ouvertes :

qui forme une base de la topologie[1]. Un espace topologique est dit pseudométrisable s'il existe un écart dont la topologie pseudométrique associée coïncide avec celle de l'espace.

Un espace est métrisable si (et seulement si) il est pseudométrisable et T0.

Identification métrique[modifier | modifier le code]

En quotientant un espace pseudométrique par la relation d'équivalence d'annulation de l'écart, on obtient un espace métrique. Plus explicitement, on définit

,

et on obtient une distance sur en posant :

.

La topologie de l'espace métrique est la topologie quotient de celle de .

Espaces lipschitziens[modifier | modifier le code]

Une jauge sur un ensemble E est une famille d'écarts [2]. On peut supposer sans perte de généralité que la famille est saturée, à savoir que pour toute partie finie J de I,

est un élément de cette famille. Notons la boule ouverte de centre et de rayon pour l'écart , à savoir

.

En appelant entourage un sous-ensemble de qui contient une boule ouverte, on obtient sur E une structure uniforme. Toute structure uniforme sur E peut être définie de cette manière.

Soit E et F deux ensembles, munis de jauges et respectivement. Une application est dite lipschitzienne de (E, d) dans (F, ) si pour tout , il existe et un réel (tous deux dépendant de j) tels que, quels que soient

.

Une application lipschitzienne est uniformément continue. Deux jauges d et de E sont dites équivalentes (resp. uniformément équivalentes, resp. Lipschitz-équivalentes) si l'application identique de (E, d) dans (E, ) et sa réciproque sont continues (resp. uniformément continues, resp. lipschitziennes). Un espace lipschitzien est un ensemble muni d'une structure lipschitzienne. La catégorie des espaces lipschitziens a pour morphismes les applications lipschitziennes. Une structure lipschitzienne est séparée si la topologie qu'elle détermine est séparée. Cette condition est vérifiée si, et seulement si pour une (ou, de manière équivalente, pour toute) jauge d déterminant cette structure et tout couple de points distincts de E, il existe un indice (dépendant de ces deux points) tel que [3].

Un sous-ensemble A d'un ensemble E muni d'une jauge d est dit borné si pour tout , il existe une boule de centre et de rayon fini qui contient A. Les ensembles bornés de (E, d) ne dépendent que de sa structure lipschitzienne. En revanche, deux jauges uniformément équivalentes ne déterminent pas nécessairement les mêmes ensembles bornés.

Note et références[modifier | modifier le code]

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Pseudometric space » (voir la liste des auteurs).

  1. (en) Pseudometric topology de PlanetMath.
  2. Schechter 1997, p. 109.
  3. Schwartz 1981, § VII.7.

Bibliographie[modifier | modifier le code]