Espace pseudométrique

Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.
Aller à : navigation, rechercher

En mathématiques, un espace pseudométrique est un ensemble muni d'une pseudométrique (ou plus généralement d'un écart). C'est une généralisation de la notion d'espace métrique. Lorsqu'une topologie est définie par une famille d'écarts, l'espace est dit uniformisable.

Remarque : Sur un espace vectoriel, tout comme une norme induit une distance, une semi-norme induit une pseudométrique. Pour cette raison, en analyse fonctionnelle et dans les disciplines mathématiques apparentées, l'expression espace semimétrique (à ne pas confondre avec la notion d'espace semimétrique !) est utilisée comme synonyme d'espace pseudométrique.

Définition[modifier | modifier le code]

Une pseudométrique sur un ensemble est une application

telle que pour tout ,

  1.  ;
  2. (symétrie) ;
  3. (inégalité triangulaire).

Autrement dit, une pseudométrique est un écart à valeurs finies.

Un espace pseudométrique est un ensemble muni d'une pseudométrique (ou plus généralement d'un écart).

À la différence de ceux d'un espace métrique, les points d'un espace pseudométrique ne sont pas nécessairement discernables — c'est-à-dire que l'on peut avoir pour des valeurs distinctes .

Exemples[modifier | modifier le code]

  • Si est un écart sur un ensemble , alors y est une pseudométrique ;
  • Si est une semi-norme sur un espace vectoriel , alors est une pseudométrique sur . Réciproquement, toute pseudométrique invariante par translation et homogène provient d'une semi-norme. Un exemple concret d'une telle situation est sur l'espace vectoriel des fonctions à valeurs réelles  : en choisissant un point , on peut définir une pseudométrique par .

Propriétés topologiques[modifier | modifier le code]

La topologie pseudométrique[1] associée à une pseudométrique (ou plus généralement un écart) est celle induite par l'ensemble des boules ouvertes :

Un espace topologique est dit pseudométrisable s'il existe un écart dont la topologie pseudométrique associée coïncide avec celle de l'espace.

Remarque : Un espace est métrisable si (et seulement si) il est pseudométrisable et T0.

Identification métrique[modifier | modifier le code]

En quotientant un espace pseudométrique par la relation d'équivalence d'annulation de la pseudométrique (ou de l'écart), on obtient un espace métrique. Plus explicitement, on définit

,

et on obtient une distance sur en posant :

.

La topologie de l'espace métrique est la topologie quotient de celle de .


Notes et références[modifier | modifier le code]

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Pseudometric space » (voir la liste des auteurs).

Bibliographie[modifier | modifier le code]