Espace pseudométrique

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En mathématiques, un espace pseudométrique est un ensemble muni d'une pseudométrique (ou plus généralement d'un écart). C'est une généralisation de la notion d'espace métrique. Lorsqu'une topologie est définie par une famille d'écarts, l'espace est dit uniformisable.

Remarque : en analyse fonctionnelle et dans les disciplines mathématiques apparentées, l'expression espace semimétrique est utilisée comme synonyme d'espace pseudométrique, parce que toute semi-norme induit un écart. L'expression espace semimétrique peut par ailleurs avoir un sens différent.

Définition[modifier | modifier le code]

Une pseudométrique (resp. un écart) sur un ensemble est une application

(resp. [0, +∞])

qui vérifie les trois relations suivantes :

  •  ;
  • (symétrie) ;
  • (inégalité triangulaire).

Un espace pseudométrique est un ensemble muni d'une pseudométrique (ou plus généralement d'un écart).

À la différence de ceux d'un espace métrique, les points d'un espace pseudométrique ne sont pas nécessairement discernables — c'est-à-dire que l'on peut avoir pour des valeurs distinctes .

Exemples[modifier | modifier le code]

Sur l'espace des fonctions à valeurs réelles , en choisissant un point , on peut définir un écart par :

Plus généralement, sur un espace vectoriel V, toute semi-norme p induit un écart d en posant :

.

Réciproquement, tout écart invariant par translation et homogène induit une seminorme.

Propriétés topologiques[modifier | modifier le code]

La topologie pseudométrique associée à un écart est induite par l'ensemble des boules ouvertes :

qui forme une base de la topologie[1]. Un espace topologique est dit pseudométrisable s'il existe un écart dont la topologie pseudométrique associée coïncide avec celle de l'espace.

Un espace est métrisable si (et seulement si) il est pseudométrisable et T0.

Identification métrique[modifier | modifier le code]

En quotientant un espace pseudométrique par la relation d'équivalence d'annulation de l'écart, on obtient un espace métrique. Plus explicitement, on définit

,

et on obtient une distance sur en posant :

.

La topologie de l'espace métrique est la topologie quotient de celle de .

Espaces lipschitziens[modifier | modifier le code]

Une jauge sur un ensemble E est une famille d'écarts [2].

Soit E et F deux ensembles, munis de jauges et respectivement. Une application est dite lipschitzienne de (E, d) dans (F, ) si pour tout , il existe une partie finie et un réel tels que, quels que soient

.

Toute application lipschitzienne est uniformément continue. On définit différentes notions d'équivalence de jauges, généralisant celles d'équivalence des distances : deux jauges d et de E sont dites équivalentes (resp. uniformément équivalentes, resp. Lipschitz-équivalentes) si l'application identique de (E, d) dans (E, ) et sa réciproque sont continues (resp. uniformément continues, resp. lipschitziennes). Un espace lipschitzien est un ensemble muni d'une structure lipschitzienne, c'est-à-dire d'une jauge à équivalence lipschitzienne près. On a donc un foncteur d'oubli de la catégorie des espaces lipschitziens (avec comme morphismes les applications lipschitziennes) vers celle des espaces uniformes, de même qu'on en a un de la catégorie des espaces uniformes vers celle des espaces topologiques. Une structure lipschitzienne est dite séparée si la topologie qu'elle détermine est séparée.

Un sous-ensemble A d'un ensemble E muni d'une jauge d est dit borné si pour tout , il existe une boule de centre et de rayon fini qui contient A. Les ensembles bornés de (E, d) ne dépendent que de sa structure lipschitzienne. En revanche, deux jauges uniformément équivalentes ne déterminent pas nécessairement les mêmes ensembles bornés.

Notes et références[modifier | modifier le code]

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Pseudometric space » (voir la liste des auteurs).

Bibliographie[modifier | modifier le code]