Algorithme de multiplication d'entiers

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Les algorithmes de multiplication permettent de calculer le résultat d'une multiplication.

Graphiquement, il s'agit de transformer un rectangle multiplicateur × multiplicande en une ligne, en conservant le nombre d'éléments.

Multiplication basée sur le nombre 2[modifier | modifier le code]

Ce type de multiplication n'utilise que des additions et des multiplications ou des divisions par 2. Elle ne nécessite pas de connaître de table de multiplication (autre que la multiplication par 2).

Multiplication basée sur la notation décimale[modifier | modifier le code]

Ce type de multiplication utilise la décomposition décimale des nombres et nécessite de multiplier chaque chiffre du premier nombre par chaque chiffre du second. Elle nécessite de connaître les tables de multiplications d'un chiffre par un autre. Cependant, plusieurs types de disposition ont été adoptés au cours des temps.

Multiplication rapide[modifier | modifier le code]

Les méthodes décrites dans les pages précédentes nécessitent pour la plupart de multiplier chaque chiffre du multiplicateur par chaque chiffre du multiplicande. Si ces deux nombres ont chiffres, cela exige produits : on dit que le calcul a une complexité en temps quadratique, ou en .

L'apparition des ordinateurs a permis et exigé la mise au point d'algorithmes plus rapides pour les grands nombres, les premiers trouvés ayant une complexité en temps de la forme , où a est un réel positif strictement inférieur à 1. Arnold Schönhage et Volker Strassen ont conjecturé en 1971 que le produit de deux entiers a une complexité en , c'est-à-dire qu'il existe un algorithme ayant cette complexité en temps, et qu'aucun n'en a de meilleure[1],[2]. La meilleure complexité actuelle est depuis 2019 en mais n'est pas utilisable en pratique car elle n'est atteinte que pour des nombres extrêmement grands, supérieurs à dans la publication d'origine[1],[2]. Aucun algorithme présentant une meilleure complexité que celle conjecturée n'a été trouvé et la conjecture de Schönhage et Strassen est toujours supposée valide en 2019[1]. Tous les algorithmes ci-dessous ont été mis au point après 1960.

  • Algorithme de Karatsuba : complexité en soit approximativement en  ; conçu en 1962, c'est le premier algorithme ayant une complexité sub-quadratique[1];
  • Algorithme Toom-Cook ou "Toom3" : complexité en soit approximativement en  ;
  • Algorithme de Schönhage-Strassen, méthode utilisant la transformation de Fourier rapide : complexité en , conçu en 1971[1];
  • Algorithme de Fürer : complexité en , où désigne le logarithme itéré et un nombre strictement supérieur à 1[1], conçu en 2007;
  • Algorithmes de Harvey et van der Hoeven publiés en 2019 : complexité en , mais inutiles en pratique[3],[1].

La plupart des processeurs récents implémentent les multiplications sous forme de circuits électroniques, mais qui ne gèrent que des entiers de taille limitée. On appelle de tels circuits des multiplieurs.

Autres multiplications[modifier | modifier le code]

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. a b c d e f et g (en) David Harvey et Joris Van Der Hoeven, « Integer multiplication in time O(n log n) », HAL,‎ (lire en ligne).
  2. a et b Céline Deluzarche, « Oubliez vos tables de multiplication : voici une nouvelle méthode bien plus efficace », sur Futura Sciences, .
  3. Kheira Bettayeb, « La multiplication réinventée », sur CNRS, (consulté le 26 juin 2019).

Voir aussi[modifier | modifier le code]