Discussion:E (nombre)

J'ai modifié cet article pour deux raisons:

Les propriétés prétées précédemment à la constante de Néper ne sont en rien spécifiques à cette constante. En effet:

$\forall a\;x\in \mathbb {R} ^{+}\times \mathbb {R} \ exp_{a}(x)=a^{x}\;$

La spécificité de la constante de Néper me semblait donc peu pertinente.

$e\;$ est une des deux constantes mathématiques les plus importantes avec $\pi \;$. Il m'a donc semblé utile d'expliquer en quoi cette constante est clé et de quelle manière elle intervient dans des branches très distinctes des mathématiques. — Le message qui précède, non signé, a été déposé par Jean-Luc W (discuter), le 23 novembre 2005.

Début de la réponse de Gemme. Ne pas oublier de signer ses interventions.

Cette remarque est très juste. Mais pourquoi ne pas en avoir tiré les conséquences en supprimant la section Origine de la définition qui est totalement hors sujet dans cet article ?

Car il n'existe aucune raison de privilégier la fonction e^x plutôt que π^x (par exemple), autrement que par convention. Gemme 25 novembre 2005 à 14:09 (CET)

J'ai laissé l'introduction pour permettre à des lecteurs moins avertis de pouvoir entrer dans le sujet sans avoir une connaissance mathématique trop forte. Je l'ai aussi laissé par respect pour le contributeur précédent.

Il y a une raison de privilégier la fonction e^x, l'exponentielle n'est pas le fruit du hasard. C'est la fonction avec la bonne norme. Cela a un paquet de conséquences, en voici quelques exemple. π^x n'a pas pour dérivée elle même alors que e^x oui, La fonction logarithme a pour dérivée ${\frac {1}{x}}$. Si l'exponentielle apparaît dans un nombre si vaste de problèmes c'est bien que la norme est fondamentale. Tu as raison il faut expliquer sans doute mieux la raison de cette norme. Si Napier l'avait trouvé ce n'est pas le hasard.

Jean-Luc W 25 novembre 2005 à 17:40 (CET)

Besoin de restructuration

Dès l'instant qu'e est défini comme base des logarithmes naturels, il ne me semble pas nécessaire d'évoquer l'intérêt des logarithmes naturels, ce qui est fait dans cet autre article.

Par contre, je trouve anormal de ne pas trouver les démonstrations de e en tant que limite de la suite ou de la série indiquées. De même, la démonstration (mal rédigée à mon avis) de l'irrationnalité de e devrait être réintégrée à l'article, puisque le seul lien utile de démonstration de l'irrationalité de e ce dernier est base des logarithmes naturels.

Je n'ai malheureusement pas le temps de m'occuper sérieusement de cet article pour le moment. Gemme 28 novembre 2005 à 10:41

Bonjour Gemme, ton premier argument de convint, son intérêt devrait être développé dans un des deux autres articles connexes, autant dans l'article sur l'exponentiel que sur le logarithme. La majorité des propriétés décrites ici ne me semble néanmoins pas déjà décrite dans les autres articles. Il faut donc restructurer les trois à mon avis. Ton deuxième point me semble inattaquable sur les deux idées que tu proposes, il va falloir ajouter des liens à cette démonstration d'irrationnalité et déplacer l'article. Une démonstration de cette nature est plutôt rare en mathématiques, à par les racines d'entiers et les nombres de Liouville, je ne connais pas beaucoup de démonstration simple d'irrationnalité. Si cela te convient, je m'y attaque. Je suis encore sur les nombres réels et les fractions continues, mais cela devrait être fini avant la fin du week-end. Merci pour tes remarques. Jean-Luc W 8 décembre 2005 à 12:48

En fait, ce qui choque est surtout l'existence de 3 définitions dans la section Définition ; en réalité, 2 de celles-ci ne sont que des propriétés déduites de résultats à démontrer respectivement dans les articles exponentielle et logarithme.

Reprendre ces articles connexes est donc effectivement une nécessité ; c'est typique de Wikipédia : très peu de contributeurs s'intéressent à la cohérence entre les contenus d'articles connexes. La cohérence du contenu d'un article est d'ailleurs rarement assurée : dans Base des logarithmes naturels, le lecteur ignore la notation de la factorielle d'un entier, alors qu'il sait parfaitement ce qu'est un nombre transcendant ! Gemme 8 décembre 2005 à 21:39

Tu as farpaitement raison. La vrai définition doit être une conséquence d'une construction explicitée dans un article. Les trois autres articles s'enchainent ensuite. J'ai laissé cette erreur car c'est le premier article que j'ai modifié. Je ne surveillais de loin pas assez les liens. En fait une alternative se présente à nous. Soit on démarre par l'exponentielle comme morphisme de $\mathbb {R}$ dans $\mathbb {R} _{+}^{*}$ puis de $\mathbb {C}$ dans $\mathbb {C} ^{*}$ puis tombent naturellement les articles sur les logarithmes et les logarithmes complexes et e. Soit on part de la fonction 1/x sa primitive qui s'annule en 1 et l'exponentielle réelle. La première approche est à mon gout la plus belle, la deuxième la plus simple, mais alors, on est coincé pour les exponentielles complexes et la trigo. Qu'en penses tu? avant de faire ce boulot je pense qu'il serait aussi sage de demander aussi à HB, elle fait un boulot à mon goût formidable sur les maths. Je suis pour l'instant tanké sur les nombres réels et j'ai encore un max de boulot. J'ai validé l'essentiel des liens, et pour cela réécrit une bonne demi douzaines d'articles. Mais je le ferais volontier après, si la situation reste en l'état. Jean-Luc W 9 décembre 2005 à 01:31

Je tombe par hasard sur cet article et sur cette discussion. Je pense, comme Gemme, que l'article doit être modifié mais pas pour les mêmes raisons : les considérations historiques sont trop imprécises. La question de savoir quelle définition prendre pour e est un faux problème. Comme le montrera l'approche historique, les mathématiques forment un réseau, vouloir les présenter de manière linéaire est, me semble-t-il, une erreur. Le développement des fonctions exponentielles et celui des fonctions logarithmes se font de manière indépendantes pendant plusieurs dizaines d'années. De plus, dans l'encyclopédie, il est souhaitable, quand cela est possible que quelqu'un puisse lire un article sur l'exponentielle (resp. le logarithme) sans qu'on lui dise d'emblée "allez voir le logarithme (resp. l'exponentielle)". Il me paraît donc effectivment nécessaire de restructurer cet article ainsi que celui sur les log et celui sur les exponentielles mais pas forcément dans le sens que vous envisagiez tous les deux. HB 18 février 2006 à 10:06

Nouvelle restructuration

Je pense restructurer l'article en développant une partie historique plus importante. Je pense que c'est une erreur de dire que le nombre e est important car à la base de tous les morphismes continus de (R,+) dans (R*+, x) car comme le dit Gemme, 2^x paraît plus naturel que e^x. Comme le dit Jean-Luc, la particularité fondamentale de l'exponentielle de base e est qu'elle est sa propre dérivée (relation plus avec les équations différentielles qu'avec les morphismes). Ce qui explique que sa découverte fut plus tardive que celle de 2^x (il est plus simple de travailler avec des puissances de nombres entiers). Je pense que c'est aussi une erreur de dire que le logarithme naturel est LE logarithme qui permet la simplification des calculs. Les premières tables de logarithmes sont les logartithmes décimaux. L'intérêt des logarithmes naturels est d'être une primitive de 1/x donc c'est aussi de manière tardive que l'on s'aperçoit de l'intérêt du logarithme de base e. C'est donc dans cette direction que je compte faire tendre l'article. HB 18 février 2006 à 10:56 (CET)

Les arguments de HB me convint,même si je trouve la construction des exponentielles et des log plus élégant en partant de la notion de morphisme. J'y vois deux arguments. Le premier réside dans le fait qu'une bonne partie des lecteurs voit ainsi l'introduction de ces fonctions. Ensuite, pour les sujets plus avancés comme les équations différentielles sur les variétés. Ce sont bien les notions de différentiations qui sont à l'origine de l'exponentielle et non les notions de morphismes finalement plus spécifiques aux cas réels et complexes. Jean-Luc W 9 avril 2006 à 10:39 (CEST)

Prononciation

Quelqu'un pourrait-t-il donner la prononciation courante en français de "e" et de "ln(e)" ?

Perso je dis "euh" et "Hélène de euh". Et j'aime les profs qui me donnent l'occasion de lire "ln(3)" "Hélène de Troie". Barraki Retiens ton souffle! 28 septembre 2007 à 22:35 (CEST)

Sur l'irrationalité

Une démonstration classique donc difficile à sourcer avec précision (car il y a liberté sur le traitement.) la version proposée pèche sur ce point

$=a(b-1)!-\sum _{n=0}^{b}b(b-1)\cdots (b-n)$

avec l'introduction d'un produit vide qui n'est pas vide et un compteur qui n'a rien de logique avec le compteur précédent. Je propose une autre version plus artihmétique de la fin de la première proposition (avec aussi peu de source que l'autre) car le traitement est divers selon les livres (voir par exemple Terracher TS p 110).

Impossible de trouver une source historique : cette démonstration est parfois attribuée à Euler mais je ne trouve rien de tel dans son livre introduction à l'analyse infinitésimale. Certains attribuent à Euler une démonstration de l'irrationalité par les fractions continues mais comme Euler admet mais ne démontre pas le fait que le développement en fraction continue est infini, cela revient au même. HB 5 octobre 2007 à 15:40 (CEST)

Une lacune dans la preuve avait été introduite en septembre 2007 en supposant artificiellement b>1 (au lieu de b>0). Comme le fait très justement remarquer Zandr4 (d · c · b), lorsque b>1 on peut se passer de la majoration stricte par 1/b (la majoration large suffit), et pour traiter le cas b=1 (qui du coup était passé sous silence) il suffit d'ajouter que si e est entier alors 2e aussi. Mais j'ai trouvé bien plus simple de revenir à la version antérieure. Par ailleurs, le raisonnement "par l'absurde" (comme souvent) allonge et enlaidit la preuve sans la simplifier. J'ai donc fait un peu de toilette. Anne Bauval (d) 12 avril 2010 à 12:03 (CEST)

Cette version me paraît aussi plus élégante. Mais dans la précédente, le cas b=1 n'était pas passé sous silence. En considérant l'écriture fractionnaire supposée de e, quitte à multiplier numérateur et dénominateur par 2, l'on peut supposer b>1. Zandr4^[Kupopo ?] 12 avril 2010 à 17:21 (CEST)

Certes à nouveau, mais c'était non-dit Anne Bauval (d) 12 avril 2010 à 19:04 (CEST)

Renommage

Est-il envisageable de renommer cet article « Base du logarithme népérien », de la même façon qu'il y a les articles « Nombre d'or », « Racine carrée de deux », « Zéro » et « Unité imaginaire » ? Je trouve dommage d'utiliser le symbole pour le titre, surtout si c'est pour y accoler un suffixe entre parenthèses. Ambigraphe, le 30 janvier 2009 à 16:58 (CET)

Fais comme tu veux mais je te signale que l'article commence à avoir un joli record de renommage : Base naturelle des logarithmes, base des logarithmes naturels, constante mathématique e, e (nombre). Il serait bon que ce cinquième nom soit le bon. HB (d) 30 janvier 2009 à 17:29 (CET)

Sur les intérêts composés

Je suis à l'origine de la première allusion aux intérêts composés pour une approche de e[1]. C'était du temps de ma jeunesse wikipédienne où je ne collais pas des ref partout et où je prenais pour argent comptant ce que je trouvais sur le net. Je crois bien que je me suis appuyée, entre autre sur cet écrit et celui-là. Maintenant je suis plus méfiante et cherche d'avantage des sources universitaires. Pour les intérêts composés, cela me parait indispensable car le texte sur les intérêts composés de Jakob Bernoulli est accessible ici, il date de 1685 et ne développe pas (1+1/n)^n mais imagine une somme a rapportant en un an une somme b. Il calcule alors la somme obtenue si les intérêts sont continument capitalisés et arrive à une somme au bout d'un an égale a

$a+b+{\frac {1}{2}}{\frac {b^{2}}{a}}+{\frac {1}{3!}}{\frac {b^{3}}{a^{2}}}+{\frac {1}{4!}}{\frac {b^{4}}{a^{3}}}+....$

Il n'explique pas ce développement en série mais il est peut-être explicable par des aires sous les courbes : la somme rapportée par un capital variable c(t) sur l'intervalle de temps [t1, t2] est l'aire sous la courbe multiplié par le taux d'intérêt annuel. Le capital a produit des intérêts qui évoluent en cours d'année et dont la forme est : (ab/a)t mais ces intérêts produisent des intérêts qui évolue en cours d'année et dont la forme est (ab²/a²)t²/2, et ces intérêts produisent des intérêts qui évoluent en cours d'année et dont la forme est (ab³/a³)t³/3! etc. Ce n'est qu'une hypothèse perso mais on est loin quand même de a(1+b/na)ⁿ.

Il démontre alors que cette somme est comprise entre a+b+b²/2a et a+b+b²/(2a-b). Ce qui donnerait, si on remplaçait (ce que ne fait pas Bernoulli) a et b par 1, un encadrement de e par 2,5 et 3.

Nous sommes donc pas conforme avec le texte de Bernoulli, ni sur la date, ni sur l'expression de e choisie, ni sur l'encadrement. Une source universitaire serait donc bien utile pour distinguer le vrai du faux. J'ai consciencieusement parcouru les œuvres de Bernoulli de 1683 jusqu'à ce texte et n'ai trouvé que cette seule allusion aux intérêts composés.

Les autres points sont sourçables je pense plus facilement par Cajori. Je signale aussi le très beau texte d'Euler où il établit que la base du logarithme hyperbolique se développe en (1+1/n)^n et en 1 + 1/2+1/3!+1/4! +... Introductio in analysin infinitorum, volume 1 chapitre 7

Enfin Leibniz n'identifie pas le nombre trouvé par Bernoulli (qui selon les sources vérifiables ne semble pas avoir pas trouvé de nombre) il se contente de donner un nom au nombre dont le logarithme hyperbolique vaut 1 [2]. HB (d) 14 avril 2012 à 18:42 (CEST)

Merci pour tout. Je n'avais effectivement pas encore cherché sérieusement sur Bernoulli. Le fait que tes critiques commencent à ce moment et pas sur les prémices me rassure. Bon, je vais essayer de compiler ça. Ambigraphe, le 14 avril 2012 à 19:09 (CEST)

Sur Napier

J'ajoute que l'appendice à l'ouvrage de Napier me laisse perplexe et que j'aimerais bien jeter un coup d'oeil à la table, notamment pour voir si le taux d'accroissement en 1 apparait en clair. Comme tu sembles beaucoup plus douée que moi pour dénicher les sources, peut-être réussiras-tu à mettre la main dessus ? Ambigraphe, le 14 avril 2012 à 21:02 (CEST)

Il suffit de demander [Mirifi ci logarithmorum canonis constructio, 1619, Edinburgh Maintenant à lire c'est un peu dur (et en latin et en anglais) mais c'est bien la la construction d'une table de log sin qui utilise bien le logarithme népérien (c'est encore plus clair p 63 et 65 du livre - p.72 du pdf quand c'est Briggs qui écrit). C'est du pur TI mais, voilà comment j'interprète les choses : dans la construction d'une table de logarithme on construit une table de correspondance

1 vs 0

a=1+1/10 000 000 vs b=1/10 000 000

a² vs 2b ....

avec une telle table, on arrive naturellement à

a^{10 000 000} vs 1

or a^{10 000 000} est très proche de e. Il est donc au contraire très naturel de tomber sur des logarithmes népériens. Mais ceux-ci sont peu pratiques quand on doit travailler sur des nombres quelconques car une taille de table n'est pas infinie. D'où l'idée de ne fournir que les logarithmes des nombres de 1 à 10 et d'écrire les nombres sous la forme a × 10^n où a est compris entre 1 et 10. On a alors intérêt à ce que log(10) soit une valeur simple. On ajuste donc les tables logarithme en multipliant b par le bon facteur pour que log(10)=1. Pour la construction d'une table de log(sin), cette contrainte est moins importante on peut donc garder la table initiale sans tenter de faire d'ajustement. Si j'ai bien compris la table p. 18 du livre (p. 27 du pdf), elle se construit selon le même principe mais seulement pour les nombres plus petit que 1 (normal on va travailler avec des sinus). Attention au séparateur: le point de Napier lui sert à séparer ce qu'il négligera de ce qu'il conservera. HB (d) 15 avril 2012 à 00:37 (CEST)

J'avais bien trouvé le constructio et son appendice, mais je croyais que les tables de ln étaient en appendice du descriptio. En outre, l'appendice que tu m'indiques est explicitement de Briggs, alors que les tables évoquées chez McTutor sont attribuées à Oughtred. Enfin, je n'ai certes aucune compétence en latin, mais le seul endroit où j'arrive à reconnaitre des relations est en bas de la page 65, où le logarithme de sin(5°41'57") est donné pour 23095560, tandis que ma calculatrice affiche −2,309556565.

Ce signe et ce décalage de virgule peuvent paraitre anodins, et tu réinterprètes avec évidence le « a = 10 000 001 vs b = 1 » comme un accroissement au voisinage de 1, mais il y a là un saut conceptuel qui me semble absent du travail de ces calculateurs du XVII^e.

Le logarithme de Napier, noté NapLog, est construit à partir du choix d'avoir 7 chiffres significatifs. Le sinus d'un angle est alors un nombre entre 0 et 10⁷, et la base choisie pour les calculs est 1−10⁷. En formulation moderne, le logarithme népérien du sinus d'un angle α va s'écrire :

$\log _{1-10^{-7}}(\sin(\alpha ))={\frac {\ln(\sin(\alpha ))}{\ln(1-10^{-7})}}\approx -10^{7}\ln(\sin(\alpha ))$.

Le rapport avec le logarithme naturel est donc précisément de −10⁷, tiens tiens, comme ci-dessus. L'approximation en virgule flottante, elle, est théoriquement valable avec près de 14 chiffres significatifs. Pas étonnant que l'on soit tenté d'y voir un logarithme naturel.

Mais comme pour le nombre d'or dans le Parthénon, l'approximation ne suffit pas pour diagnostiquer une intention. En l'absence d'une notion de fonction et a fortiori de nombre dérivé en 1, je ne crois pas que l'on puisse attribuer à Napier, Oughtred ou Briggs une recherche du logarithme naturel. Leurs tables permettent des calculs de précision variable en fonction du nombre de chiffres significatifs, mais elles ne tendent pas vers une table présentant un accroissement infinitésimal unitaire en 1.

Je suis donc convaincu à présent que le logarithme naturel n'apparait pas avant les travaux de Huygens et Leibniz, qui l'identifient à l'aide de la quadrature de l'hyperbole. Le nombre e ne sortant pas non plus des calculs de Bernoulli, on peut donc replacer un contexte cohérent à son apparition. Ambigraphe, le 15 avril 2012 à 14:48 (CEST)

Entièrement d'accord (tiens je n'avais pas vu la confusion Outhreg et Briggs) . Pas de notion de fonction, pas de notion de logarithme naturel. seulement la présence d'une table, différentes des tables de logarithme décimaux, dans laquelle on voit apparaitre à un facteur -10^7 près un logarithme naturel. Intéressant à signaler pour indiquer la non unicité des tables logarithmiques, mais pas pour sourcer une définition du logarithme népérien. Tout ce qui est avant Leibniz ne relate que les moments où les mathématiciens ont frôlé e sans s'en rendre compte. Faut-il en parler ou pas, à toi de voir. HB (d) 15 avril 2012 à 15:41 (CEST)

J'ai quand même un doute sur le texte de Bernoulli : s'il avait effectivement écrit a(1+b/na)ⁿ, je veux bien croire qu'on se soit autorisé à le simplifier en (1+1/n)ⁿ, mais même pas ! Dans le texte que tu exhibes, qui ne correspond pas à la date indiquée, le problème n'est pas du tout traité avec une formule y ressemblant. L'écart est trop grand avec le récit que fait McTutor et même Wolfram. Pour l'instant, je suis d'accord avec toi pour mettre à distance cette histoire d'intérêts, mais je crains d'escamoter une étape de l'histoire. Car la formule (1+1/n)ⁿ est cohérente avec la première utilisation de la lettre e par Euler selon Wolfram. Je ne sais pas non plus ce que vient faire Newton dans l'histoire, les coïncidences ne sont probablement pas vraiment fortuites. Ambigraphe, le 16 avril 2012 à 06:38 (CEST)

PS : oui, je pense avoir bien compris ton explication, sur laquelle je n'ai fait que renchérir. Je crois que nous sommes sur la même ligne ici.

Sur Newton

Je ne sais pas non plus ce que vient faire Newton dans l'histoire, les coïncidences ne sont probablement pas vraiment fortuites. Ambigraphe, le 16 avril 2012 à 06:38 (CEST)

Il s'agit je pense du papier de Analysi per aequationes numero terminorum infinitas envoyé par Isaac Barrow à D.J. Collins le 20 juillet 1669 concernant un travail du jeune Newton qui selon lui daterait de 1667[3], sur les résolutions des équations polynomiales par séries dans lequel Newton démontre le développement en série de l'aire sous l'hyperbole entre 1 et 1+x

$z=x-{\frac {1}{2}}x^{2}+{\frac {1}{3}}x^{3}-{\frac {1}{4}}x^{4}+etc.$

et l'inverse pour obtenir

$x=z+{\frac {1}{2}}z^{2}+{\frac {1}{6}}z^{3}+{\frac {1}{24}}z^{4}+{\frac {1}{120}}z^{5}+etc.$

en négligeant les termes de degré 5 et plus[4]

Mais la aussi, on frôle e sans en parler 1= ln(1+x) ssi x ~ 1 + 1/2 + 1/6 + 1/24 + 1/120 ce qui donne pour e (mais c'est moi qui le dit et pas Newton) une valeur proche de 2,716. Je ne crois pas que ce soit des coïncidences seulement l'histoire des idées n'est pas linéaire. Donc les mathématiciens tournent souvent longtemps autour du pot avant de tomber dessus. HB (d) 16 avril 2012 à 10:33 (CEST)

@Ambigraphe comment? 45.221.4.6 (discuter) 1 novembre 2023 à 16:07 (CET)

Quelle est la question ? Ambigraphe, le 4 novembre 2023 à 21:59 (CET)

Retour aux sources

Bon, visiblement je travaille sans méthode. Il suffisait d'aller voir les source de Mac Tudor :

• J. T. Coolidge The number e Nov 1950
• Eli Maor, e : the story of a number (aperçu)- 1994 que j'ai pu me procurer. Mais ce livre, fort intéressant au demeurant est plus l’œuvre d'un raconteur d'histoire que d'un historien (voir à ce sujet le commentaire de Catherine sur la page de discussion dEli Maor). C'est un peu comme si on sourçait une information historique par un livre de Denis Guedj.

HB (d) 16 avril 2012 à 19:05 (CEST)

Bernoulli

On trouve l'allusion à Bernoulli dans Maor118 (Jakob was the first to point out the connection between mil(1+1/n)^n and the problème of continous compound interest. By expanding the expression .(1+1/n)^n according to the binomail theorem) mais sans aucune référence et sans date et p 26 le livre dit qu'on ne sait pas quand la première fois on observe le comportement limite de (1+1/n)^n - HB

Napier

On trouve la référence aux tables logarithmiques de Napier dans Coolidge594 et j'ai trouvé le texte que tu cherchais (tu vas être content : il n'est pas en latin)[5] - HB

Euler

Euler n'écrit pas que e=lim(1+1/n)^n dans sa lettre de 1728 [6] mais il désigne par e le nombre dont le ln vaut 1 et, oh surprise, indique que ce nombre a pour valeur approchée 2,7182817. Dans sa lettre à Goldbach de 1731 [7] et dans son texte mechanica de 1736 , e est seulement le nombre dont le logarithme vaut 1. Ce n'est que dans son texte de 1748 Introductio in analysin infinitorum que l'on voit les deux expressions de e (série) et limi(1+1/n)^n chap. 7 et le développement en fraction continue (chap 18 p 305). C'est ce que précise bien Coolidge601 Ce n'est donc pas dans l'ouvrage de 1737 qui porte aussi le titre de De fractionibus continuis qu'il faut chercher la preuve de l'irrationalité de e. Quant à Sandifer, il dit seulement qu'Euler s'intéresse depuis 1737 aux fractions continues (j'ai corrigé l'article sur ce point mais les autres points sont aussi à revoir) - HB

Eh bien ! J'ai la sensation de faire dégringoler une maison de guingois et toi d'un coup de baguette magique tu m'installes de jolies fondations bien propres et du mortier de première qualité. Merci pour tout, j'essaierai de m'y mettre avant ce week-end. Ambigraphe, le 16 avril 2012 à 20:23 (CEST)

Notation

Salut ! Je me posais une question sur la notation du nombre e : d’après le standard Unicode, le caractère U+2107 « ℇ » représente la « constante d’Euler ». Quelqu’un d’autre a-t-il déjà vu cette notation pour le nombre e ? Si oui, on pourrait la mentionner, non ?

Cordialement --Pic-Sou 16 août 2012 à 13:51 (CEST)

Pour ma part jamais vue. MicroCitron ^{un souci ?} 16 août 2012 à 14:00 (CEST)

Ça peut être mentionné sur la page d'Euler, mais certainement pas ici sauf si on a la preuve que cette constante d'Euler est bien le nombre e. Ambigraphe, le 1 avril 2013 à 16:38 (CEST)

e (nombre)

Le nombre e est, citons, " caractérisé par la relation ln(e) = 1 ou de façon équivalente il est l'image de 1 par la fonction exponentielle ". Le logarithme d'un nombre étant, par définition, la puissance à laquelle il faut élever la base du système de logarithme pour obtenir ce nombre, la relation ln e = 1 ne définit nullement le nombre e. Tous les nombres, du moins ceux dont on convient qu'ils peuvent avoir un logarithme, satisfont à cette relation : le logarithme en base a du nombre a vaut 1, par définition du logarithme et quel que soit a. Idem pour la proposition relative à la fonction exponentielle : én élevant n'importe quel nombre à la puissance 1, on retrouve ce même nombre. C'est un cercle vicieux qu'évite l'article en anglais. C'est pourquoi il faudrait supprimer ces propositions de l'article. --Victorindia87 (d) 30 juin 2013 à 17:44 (CEST)

Cela dépend de comment est défini le logarithme népérien. S'il est défini comme la primitive de la fonction x -> 1/x qui s'annule en 1, la définition de e comme le nombre e tel que ln(e) = 1 ne présente aucun cercle vicieux. De même que pour la fonction exponentielle, si celle-ci est définie comme la solution de l'équation différentielle y'=y prenant la valeur 1 en 0, définir e comme l'image de 1 ne présente non plus aucune incohérence. HB (d) 30 juin 2013 à 17:54 (CEST)

le nombre e

La relation ln (e) = 1 ne définit pas le nombre e ni aucun autre nombre puisque, dans tout système de logarithmes, le logarithme de la base vaut 1. Idem pour l'expression e exposant 1 = e. La puissance 1 d'un nombre quelconque vaut ce nombre. --Victorindia87 (d) 1 juillet 2013 à 11:59 (CEST)

voir réponse à la section précédente. HB (d) 1 juillet 2013 à 12:41 (CEST)

Transfert d'un message reçu sur ma page de discussion (accord avec les réponses précédentes de HB donc rien à ajouter). Anne (d) 9 juillet 2013 à 13:12 (CEST) p.s. « L'article en anglais » nous conforte.

Madame, L'article dit :" il est caractérisé par la relation ln(e) = 1 ou de façon équivalente il est l'image de 1 par la fonction exponentielle"

Comment caractériser le nombre e en partant du même nombre e. Autant dire dire que e=e. Et, plus généralement, le logarithme en base b du même nombre b vaut 1, par définition du logarithme. Donc pas de possibilité de caractériser un nombre.

D'où la suppression. Voir l'article en anglais.

Avec un amical salut,

--Victorindia87 (d) 9 juillet 2013 à 12:49 (CEST)

La section « Relation avec la base du logarithme naturel »

est surprenante à plus d'un titre (à commencer par son titre). Elle est apparue en avril 2012, avec une première phrase (toujours présente) dont je ne comprends même pas la syntaxe :

« Euler relie le nombre e et la base du logarithme népérien en la valeur en 1 de la fonction exponentielle […] »

et a grossi en janvier 2014 accompagnée d'une ref inaccessible en ligne (Hervé Lehning, L'Univers des nombres : De l'Antiquité à Internet) et d'une autre (Introductio in analysin infinitorum, vol. 1, chap. 7) où Euler ne procède pas du tout comme ce qui est décrit. De plus, ce développement en série entière de l'exponentielle date d'avant la naissance d'Euler, si je comprends bien Histoire des logarithmes et des exponentielles#Les courbes à sous-tangente constante.

Anne, 31/08/2017

Je fais confiance à Cantons-de-l'Est pour avoir retranscrit fidèlement le texte de la page 208 et 209 du livre de Lehning. Cependant Lehning est un vulgarisateur plutôt qu'un histoiren des sciences. Malheureusement il faudra s'en contenter. La seule chose que l'on peut dire c'est que ce n'est pas la démarche présentée dans son introductio (version allemande sur MMA[8], version latine sur Gallica[9] &115) démarche reprise par Jean-Pierre Lubet dans «Dans les traités d'analyse, logarithme et exponentielle au gré de la rigueur», histoire de logarithmes : grosso modo, remarquant que pour w petit, a^w = 1+kw (nous on dirait équivalent). Il pose z=iw, pour i entier très grand et écrit que a^z=a^iw = (1+kw)ⁱ puis il utilise la formule du binome et fait tendre i vers l'infini.

cependant, il n'est pas exclu que, dans un autre ouvrage - mais alors lequel (Lehning l'indique-t-il ?)? - il ait utilisé l'équation fonctionnelle f(2z)= = f(z)² pour développer la fonction exponentielle car il a beaucoup travaillé sur les résolutions d'équations fonctionnelles grâce aux identifications de séries. D'autre part, il est vrai que le développement en série des fonctions exponentielles étaient entreprises déjà par Bernoulli et consorts. Tant qu'on ne dit pas qu'Euler fut le premier on ne dit rien de faux.

Dans un premier temps, je tente de clarifier la définition d'une base de fonction logarithme. Je supprime la caractérisation de la fonction exponentielle qui n'a pas lieu d'être ici. Et j'attribue l'exposé de la démarche d'Euler à Lehning. HB (discuter) 28 janvier 2019 à 18:02 (CET)

Anne et HB, Si vous pensez que c'est fautif ou qu'il y a mieux, supprimez, je ne suis pas le détenteur de l'article ;-). Je vous fais confiance. — Cantons-de-l'Est ^p|d|d [‌sysop] 28 janvier 2019 à 18:56 (CET)

Nombre exponentiel

Dans le corps de l'article, puis, à partir de nov 2018, déplacé en note de bas de page, il est dit qu'Euler aurait appelé ce nombre le «nombre exponentiel». J'ai de fort doute sur cette appellation car Euler lui a donné un nom bien plus parlant : la base du logarithme naturel. De plus il appelle quantité exponentielle les expressions de la forme a^z où z est variable, Je le vois donc mal utiliser utiliser le terme de nombre exponentiel pour e, et je ne l'ai retrouvé nulle part. Ariel Provost, c'est toi qui fait allusion à un écrit de 1761, pourrais-tu préciser ta référence car dans l'état elle est trop vague pour permettre une vérifiabilité? HB (discuter) 28 janvier 2019 à 18:35 (CET)

Je ne me rappelle plus, je vais rechercher... — Ariel (discuter) 28 janvier 2019 à 18:50 (CET)

P.S. Je n'ai fait que déplacer l'info du texte principal vers une note. — Ariel (discuter) 30 janvier 2019 à 09:27 (CET)

Sur le net on trouve la même info à divers endroits mais sans plus de référence, et on ne sait jamais qui a copié qui. Le lien le plus sérieux est un exposé de 2003 sur la famille Bernoulli (ici). Il faudrait explorer l'archive Euler (ici), mais le seul bouquin en libre accès est How Euler did it (ici). Je vais essayer de retrouver l'info, mais il s'agit de 76 pdf (un par concept) dont on n'a pas la liste des titres : il faut les ouvrir (et sur mon ordi je ne peux pas ouvrir un pdf sans le télécharger préalablement). Ça m'agace alors je vais m'y coller, mais pas cette nuit... — Ariel (discuter) 28 janvier 2019 à 23:40 (CET)

P.S. On doit aussi pouvoir trouver l'info complète dans (en) Florian Cajori, A History of Mathematical Notations, Dover Publications, 1993, 820 p. (ISBN 9780486677668). Si quelqu'un a ça sur ses étagères ou celles de sa fac... — Ariel (discuter) 28 janvier 2019 à 23:57 (CET)

Je viens d'éplucher Cajori (§ 400): il parle bien d'Euler pour la notation e mais ne travaille pas sur les expressions donc il ne parle pas de l'expression «nombre exponentiel». Il répertorie par contre les écrits où Euler emploie l'expression e mais ne note rien pour l'année 1761. HB (discuter) 30 janvier 2019 à 08:35 (CET)

P-S Pour ceux qui voudrait compléter l'histoire des notations de ce nombre, le §401 sur la notation de Peirce est amusante

Merci HB pour le boulot. De mon côté, rien de probant. La source la plus sérieuse reste l'exposé historique détaillé de 2003 (ici) mais on n'y trouve, ni le nom de l'auteur, ni les références. Et comme la mention du « nombre exponentiel » est courte et sèche je soupçonne que l'auteur a pu faire confiance à des infos glanées ici et là, comme a peut-être fait COLETTE quand elle a créé l'article le 20 avril 2003. Quant à éplucher ce qu'Euler a pu écrire (ici), présenter (ici) ou publier (ici) en 1761, bonjour le boulot (en plus c'est généralement en latin) ! Je propose de supprimer cette info non sourcée, il sera toujours temps de la rétablir s'il apparaît une source meilleure que celle de l'exposé susmentionné. — Ariel (discuter) 30 janvier 2019 à 09:27 (CET)

Aucune confiance à accorder à l'exposé Bernouilli 2003 : en le lisant, j'ai reconnu ma prose (et non je n'ai pas l'habitude de faire du copié collé même en 2006[10]) de plus, l'exposé censément de 2003 met les même lien vers wikipedia que la version WP de 2007. L'inventeur de «Euler parle du nombre exponentiel en 1761» semble donc bein être COLETTE en 2003. HB (discuter) 30 janvier 2019 à 10:11 (CET)

Bon, l'affaire semble entendue. — Ariel (discuter) 30 janvier 2019 à 10:16 (CET)

approximations et fonctions du 2 ème degré

Bonjour,

je voulais vous proposer, pour enrichir l’article, un paragraphe sur quelques approximations de "e" comme il y en a un dans l'article sur pi, notamment en lien, entre autres, avec les fonctions quadratiques.

Cordialement Baikal23 --78.127.75.119 (discuter) 28 avril 2020 à 18:10 (CEST)

Nombre de décimales obtenues par Euler: 23, pas 18 ?

On lit dans l'article (avec pour source non vérifiable New Scientist, 21 juillet 2007, p. 40) qu'Euler avait trouvé 18 décimales de e en 1748. Or la page Wikipédia UK indique 23 décimales, et cite l'oeuvre originale (consultable, trad. française de 1796 dispo ici) d'Euler : Leonhard Euler, Introductio in Analysin Infinitorum, 1748, volume 1, page 90. On y voit bien 23 décimales et non 18. Je ne sais pas d'où sort ce 18... Je supprime donc la référence aux 18 décimales, indique 23 en sourçant. Si erreur de ma part, vous reviendrez en arrière, mais en consultant l'oeuvre originale cela me paraît clair que c'est 23 et non 18.

Tout à fait ; merci.—Dfeldmann (discuter) 25 juin 2020 à 17:36 (CEST)

Pour info. La source fautive semble être e: the mystery number de Richard Elwes. Info ajouté sur WP:fr en fevrier 2009 au cours de la recopie d'un tableau venant de WP:en[11]. Tableau de WP:en modifié le 21 juillet 2007 (passant de 23 à 18 en sourçant avec Elwes)[12]. HB (discuter) 25 juin 2020 à 21:37 (CEST)

Deux questions naïves

1) 5e3 vaut-il 5*(2,718281828^3) ? Si oui il faudrait le dire au début parce que ce n'est pas clair.
2) Pourquoi en programmation par exemple VB comprend 5e3 = 5*(10^3) ?
Cordialement — Valp 12 juin 2023 à 21:49 (CEST)

Question 1 : je ne comprends pas, j'ai cherché dans l'article un endroit où il y aurait 5e3 (qui ne veut rien dire) pour le corriger : 5*(2,718281828...^3) doit s'écrire $5\mathrm {e} ^{3}$.

Question 2 : 5*(10^3) est la notation scientifique de 5000. 5 étant la mantisse et 3 l'exposant. Dans mon expérience, la notation scientifique dans les calculatrices utilise plus souvent la notation E+ ou E- que e. ainsi 5000 en notation scientifique sur calculatrice s'écrira 5E+3 (ou 5E3). [13], [14], [15].

En espérant avoir répondu à ta demande. HB (discuter) 13 juin 2023 à 08:46 (CEST)

Merci @HB pour votre réponse rapide. Pour le 1) c'est ok, car je voulais évidemment dire $5\mathrm {e} ^{3}$ ; mais il faudrait marquer cette évidence assez haut dans l'article.

Pour le 2) vous avez répondu à la question. Il y a donc une notation scientifique E telle que 5E3 = 5000. Ce qui explique qu'en programmation VB ou VBA, "Val(5e3)" ou "Cdbl(5e3)" [tel quel, sans exposant ni majuscule ni +] = 5000. Car apparemment dans ce cas le compilateur est trop paresseux pour distinguer les majuscules des minuscules... Peut-être faudrait-il aussi mentionner cet usage de E, différent du e népérien, dans une rubrique "A ne pas confondre". — Y a-t-il un lien logique entre e népérien et E+ ?
Cordialement — Valp 13 juin 2023 à 12:20 (CEST)

Je m'apprêtais à répondre à ta demande par un bandeau "ne pas confondre" mais je m'aperçois qu'il existe déjà, par le biais de la page d'homonymie E. Et comme on a quasiment aucune chance de rencontrer le nombre d'Euler sous la forme 5e3, je pense m'abstenir de toute intervention complémentaire. HB (discuter) 14 juin 2023 à 08:23 (CEST)

@HB J'ai quand même ajouté une demie ligne entre parenthèses sans fioriture de <math>, pour ceux qui comme moi se demanderont si le 2e4 informatique a quelque chose à voir avec le e d'Euler... Mais c'est grâce à votre lumineuse explication dont je vous remercie encore.
Cordialement — Valp 14 juin 2023 à 14:33 (CEST)

Ça ne me semble pas vraiment utile car personne n'écrit 2e4 pour $2\mathrm {e} ^{4}$. Proz (discuter) 14 juin 2023 à 14:52 (CEST)

De plus 1/ il y a beaucoup d'autres usages de e, même en math, et on ne va pas les reprendre dans cet article alors que c'est déjà fait dans E, 2/ ce n'est qu'un usage informatique très circonscrit (je ne l'ai jamais utilisé personnellement), donc cet ajout n'est pas correct stricto sensu. Je comprends le souci que tu as eu et que tu cherches à t'appuyer dessus pour améliorer l'article, ce qui peut être une bonne démarche. Mais en l'occurrence, je crois qu'il faut accepter qu'un article ne puisse répondre de façon immédiate aux incompréhensions de tout un chacun, qui arrive avec sa culture particulière, au risque que l'article finisse par être illisible pour tout le monde. Proz (discuter) 14 juin 2023 à 15:16 (CEST)

Il ne s'agit que d'une demie ligne. Cordialement — Valp 14 juin 2023 à 18:48 (CEST)

Bonjour Valp, HB et Proz . Désolé, Valp, j'ai supprimé ton ajout avec le motif « pas d'accord, la page d'homonymie en tête d'article suffit bien, et "1,25e3" n'est pas une notation mathématique mais purement informatique (« e » pour exponent, « exposant ») ». Le titre « e (nombre) » exclut toute confusion. Certes la lettre sert aussi (comme abréviation d'exponent) dans les langages informatiques, ou encore comme nom de variable dans des textes de physique ou de technique (par exemple pour une épaisseur ou une excentricité), mais en aucun cas il ne s'agit d'un nombre ni même de mathématiques. — Ariel (discuter) 14 juin 2023 à 21:40 (CEST)

@Ariel Provost : « en aucun cas il ne s'agit d'un nombre ni même de mathématiques » est justement la raison pour laquelle il faut préciser, car il n'y a pas que des lecteurs mathématiciens chevronnés sur Wikipédia, mais aussi beaucoup de gens ordinaires comme moi qui sont fondés à se poser la question ; d'autant que la différence entre mathématique et notation scientifique décimale ne leur paraît pas évidente. D'expérience j'affirme que la vague mention d'homonymie en tête ne suffit pas.
Est bien un Article connexe la page : Autres significations de e en notation scientifique d'un nombre décimal, avec 1,25e3 signifiant 1,25 x 10³.
Cette mention ne prête pas à confusion. Au contraire elle éclaire qui confond parce qu'il ne connaît pas encore la différence entre le e d'Euler et le e des notations décimales scientifiques. Cordialement — Valp 14 juin 2023 à 22:30 (CEST)

Je ne comprends pas comment, dans une expression comme 1,25e3 qui, j'insiste, n'est pas une notation scientifique (on ne la trouve dans aucun texte, seulement dans des codes informatiques), on pourrait considérer « e » comme un nombre. Qui pourrait comprendre qu'on a voulu écrire 1,25 × e × 3 ? Et qui aurait l'idée d’écrire ce produit de cette façon ? — Ariel (discuter) 15 juin 2023 à 06:58 (CEST)

Mais justement, c'est ce qu'il faut expliquer, que e d'Euler est un nombre ! C'est cela qui n'est pas évident dans l'article pour des profanes. Un nombre susceptible des quatre opérations, comme pi. C'est évident pour vous, pas pour tout le monde.
Un bon moyen de le faire comprendre est justement de l'opposer aux autres usage de e : e abréviation de ème pour les ordinaux, Paris 14^e ; e =14 en hexadécimal ; et le e très bizarre en effet de E#Mathématiques et Notation_scientifique#Notation_E.
Cordialement — Valp 15 juin 2023 à 10:36 (CEST)

Honnêtement, quand trois contributeurs sont d'accord pour trouver non pertinent ce genre de remarque, insister davantage me parait inutile. WP ne s'est pas faite en un jour. Si d'autres lecteurs ou contributeurs pointent aussi ce risque de confusion, on avisera mais pour l'instant cela nous semble installer plus de désordre que d’éclaircissement. HB (discuter) 15 juin 2023 à 11:25 (CEST)

Vous avez raison. Je vous réitère mes remerciements pour l'explication initiale que vous m'avez donnée et qui répondait à des interrogations. Cordialement — Valp 15 juin 2023 à 23:08 (CEST)