« Brahmagupta » : différence entre les versions

Données clés
Naissance	598
Décès	668
Nationalité	indien
Domaines	Mathématicien

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Brahmagupta (ब्रह्मगुप्त) (Multân, 598–668) est un mathématicien indien.

Brahmagupta est l'un des plus importants mathématiciens tant de l'Inde que de son époque. On lui connaît deux ouvrages majeurs : le Brâhma Siddhânta (ब्रह्म सिद्धान्त) (628) et le Khandakhâdyaka (665).

Il dirige l'observatoire astronomique d'Ujjain, ville qui est au VII^e siècle un centre majeur de recherches en mathématique. C'est dans son premier ouvrage le Brahmasphutasiddhanta, qu'il définit le zéro comme résultat de la soustraction d'un nombre par lui-même, qu'il décrit les résultats d'opérations avec ce nouveau nombre, mais se « trompe » en donnant comme résultat zéro à 0/0. En revanche, il donne des règles correctes sur les signes lors d'opérations entre entiers relatifs (profits et pertes). Il donne aussi dans cet ouvrage la solution de l'équation générale de degré 2.

Brahmagupta fut le premier mathématicien à utiliser l'algèbre pour résoudre des problèmes astronomiques. Il proposa comme durée de l'année : 365 jours, 6 heures, 5 minutes, et 19 secondes, lors d'une première estimation. Dans son deuxième livre le Khandakhâdyaka, il propose 365 jours, 6 heures, 12 minutes et 36 secondes. La vraie longueur des années est d'un peu moins de 365 jours et 6 heures.

Biographie et œuvres

Brahmagupta est probablement né vers 598 à Bhinmal (en) au Rajasthan dans le nord-ouest de l'Inde. À cette époque Bhillamala était le siège du pouvoir des GurjarsGurjar. Son père était Jisnugupta^[1]. Il a probablement vécu la plus grande partie de sa vie à Bhillamala (maintenant Bhinmal, Rajasthan) durant le règne (et peut-être mécénat) du Roi Vyaghramukha^[2]. De ce fait Brahmagupta est souvent appelé Bhillamalacharya, c'est-à-dire le professeur de Bhillamala. Il a dirigé l’observatoire astronomique d'Ujjain, et a écrit durant ce poste deux textes sur les mathématiques et l'astronomie :Brahmasphutasiddhanta en 628 et Khandakhadyaka en 665. Le Brahmasphutasiddhanta (Traité correct de Brahma) est sans doute son ouvrage le plus connu. L'historien al-Biruni (vers 1050) dans son livre Tariq al-Hind affirme que le calife Abbasside al-Ma'mun avait une ambassade en Inde et fit y fit venir à Baghdad un livre dont le titre en arabe a été traduit par Sindhind. Il est en général reconnu que Sindhind est le Brahmasphuta-siddhanta de Brahmagupta^[3].

Bien que Brahmagupta ait été familier des travaux des astronomes suivant la tradition d'Aryabhatiya (en), on ne sait pas s'il était familier de l’œuvre de son contemporain Bhaskara I^[2]. Brahmagupta a grandement critiqué les œuvres des astronomes rivaux et son Brahmasphutasiddhanta est considéré comme un des plus anciens schismes des mathématiciens indiens. Cette division a pour cause au début l'application des mathématiques au monde physique plutôt que les mathématiques elles-mêmes. Dans le cas de Brahmagupta, les désaccords découlaient en grande partie du choix des paramètres astronomiques et des théories^[2]. La critique des théories rivales apparait dans les deux premiers chapitres astronomiques et le onzième chapitre est entièrement consacré à la critique de ces théories bien qu’aucune critique n'apparaisse dans les chapitre douze et dix-huit^[2].

Mathématiques

Algèbre

Brahmagupta a donné la solution générale des équations linéaires dans le chapitre dix-huit du Brahmasphutasiddhanta,

The difference between rupas, when inverted and divided by the difference of the unknowns, is the unknown in the equation. The rupas are [subtracted on the side] below that from which the square and the unknown are to be subtracted^[4].

Cette solution de $bx+c=dx+e$ est équivalente à $x={\tfrac {e-c}{b-d}}$ , où les rupas représentent les constantes c et e. Il donne ensuite deux solutions équivalentes de l'équation générale du second degré $ax^{2}+bx=c$ :

18.44. Diminish by the middle [number] the square-root of the rupas multiplied by four times the square and increased by the square of the middle [number]; divide the remainder by twice the square. [The result is] the middle [number].
18.45. Whatever is the square-root of the rupas multiplied by the square [and] increased by the square of half the unknown, diminish that by half the unknown [and] divide [the remainder] by its square. [The result is] the unknown^[4].

Ce qui est respectivement équivalent à

x={\frac {{\sqrt {4ac+b^{2}}}-b}{2a}}

et à

x={\frac {{\sqrt {ac+{\tfrac {b^{2}}{4}}}}-{\tfrac {b}{2}}}{a}}.

Il continue ensuite en résolvant les équations indéterminées (en) indiquant que la variable désirée doit d'abord être isolée puis que l'équation doit être divisée par le coefficient de la variable désirée. En particulier, il a recommandé d'utiliser « le broyeur » pour résoudre des équations à plusieurs inconnues.

18.51. Subtract the colors different from the first color. [The remainder] divided by the first [color's coefficient] is the measure of the first. [Terms] two by two [are] considered [when reduced to] similar divisors, [and so on] repeatedly. If there are many [colors], the pulverizer [is to be used]^[4].

Comme l'algèbre de Diophante, l'algèbre de Brahmagupta est syncopée. L'addition est indiquée en plaçant les nombres les uns à côté ses autres, la soustraction en plaçant un point sur le diminuteur et une division en plaçant le diviseur en dessous du dividende. La multiplication et les quantités inconnues sont représentées par des abréviations des termes appropriés^[5]. L'étendue de l'influence grecque sur sa syncope, s'il y en a une, est inconnue et il est possible que les syncopes grecque et indienne dérivent d'une source babylonienne commune^[5].

Notes et références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Brahmagupta » (voir la liste des auteurs).

↑ (en) Shashi S. Sharma, Mathematics & Astronomers of Ancient India, Pitambar Publishing (lire en ligne) :
« He was born in bhillamala. In ancient times it was the seat of power of the Gurjars...Jisnu Gupta.. »
↑ ^{a b c et d} (en) Kim PlofkerKim Plofker, The Mathematics of Egypt, Mesopotamia, China, India, and Islam: A Sourcebook, PUP, 2007 (ISBN 978-0-69111485-9), p. 418-419 :
« The Paitamahasiddhanta also directly inspired another major siddhanta, written by a contemporary of Bhaskara: The Brahmasphutasiddhanta (Corrected Treatise of Brahma) completed by Brahmagupta in 628. This astronomer was born in 598 and apparently worked in Bhillamal (identified with modern Bhinmal in Rajasthan), during the reign (and possibly under the patronage) of King Vyaghramukha.
Although we do not know whether Brahmagupta encountered the work of his contemporary Bhaskara, he was certainly aware of the writings of other members of the tradition of the Aryabhatiya, about which he has nothing good to say. This is almost the first trace we possess of the division of Indian astronomer-mathematicians into rival, sometimes antagonistic "schools." [...] it was in the application of mathematical models to the physical world - in this case, the choices of astronomical parameters and theories - that disagreements arose. [...]
Such critiques of rival works appear occasionally throughout the first ten astronomical chapters of the Brahmasphutasiddhanta, and its eleventh chapter is entirely devoted to them. But they do not enter into the mathematical chapters that Brahmagupta devotes respectively to ganita (chapter 12) and the pulverizer (chapter 18). This division of mathematical subjects reflects a different twofold classification from Bhaskara's "mathematics of fields" and "mathematics of quantities." Instead, the first is concerned with arithmetic operations beginning with addition, proportion, interest, series, formulas for finding lengths, areas, and volumes in geometrical figures, and various procedures with fractions - in short, diverse rules for computing with known quantities. The second, on the other hand, deals with what Brahmagupta calls "the pulverizer, zero, negatives, positives, unknowns, elimination of the middle term, reduction to one [variable], bhavita [the product of two unknowns], and the nature of squares [second-degree indeterminate equations]" - that is, techniques for operating with unknown quantities. This distinction is more explicitly presented in later works as mathematics of the "manifest" and "unmanifest," respectively: i.e., what we will henceforth call "arithmetic" manipulations of known quantities and "algebraic" manipulation of so-called "seeds" or unknown quantities. The former, of course, may include geometric problems and other topics not covered by the modern definition of "arithmetic." (Like Aryabhata, Brahmagupta relegates his sine-table to an astronomical chapter where the computations require it, instead of lumping it in with other "mathematical" topics.) »
↑ (en) Carl Benjamin Boyer, A History of Mathematics, 1991, chap. 13 (« The Arabic Hegemony »), p. 226 :
« By 766 we learn that an astronomical-mathematical work, known to the Arabs as the Sindhind, was brought to Baghdad from India. It is generally thought that this was the Brahmasphuta Siddhanta, although it may have been the Surya Siddhanata. A few years later, perhaps about 775, this Siddhanata was translated into Arabic, and it was not long afterwards (ca. 780) that Ptolemy's astrological Tetrabiblos »
↑ ^{a b et c} Plofker 2007, p. 428-434
↑ ^{a et b} Boyer 1991, chap. 12 (« China and India »), p. 221 :
« he was the first one to give a general solution of the linear Diophantine equation ax + by = c, where a, b, and c are integers. […] It is greatly to the credit of Brahmagupta that he gave all integral solutions of the linear Diophantine equation, whereas Diophantus himself had been satisfied to give one particular solution of an indeterminate equation. Inasmuch as Brahmagupta used some of the same examples as Diophantus, we see again the likelihood of Greek influence in India - or the possibility that they both made use of a common source, possibly from Babylonia. It is interesting to note also that the algebra of Brahmagupta, like that of Diophantus, was syncopated. Addition was indicated by juxtaposition, subtraction by placing a dot over the subtrahend, and division by placing the divisor below the dividend, as in our fractional notation but without the bar. The operations of multiplication and evolution (the taking of roots), as well as unknown quantities, were represented by abbreviations of appropriate words. »

Voir aussi

Articles connexes

Liens externes

(en) John J. O'Connor et Edmund F. Robertson, « Brahmagupta », sur MacTutor, université de St Andrews.

Notices d'autorité

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[ref@1-1] (en) Shashi S. Sharma, Mathematics & Astronomers of Ancient India, Pitambar Publishing (lire en ligne) :
« He was born in bhillamala. In ancient times it was the seat of power of the Gurjars...Jisnu Gupta.. »

[Plofker_418-419-2] {a b c et d} (en) Kim PlofkerKim Plofker, The Mathematics of Egypt, Mesopotamia, China, India, and Islam: A Sourcebook, PUP, 2007 (ISBN 978-0-69111485-9), p. 418-419 :
« The Paitamahasiddhanta also directly inspired another major siddhanta, written by a contemporary of Bhaskara: The Brahmasphutasiddhanta (Corrected Treatise of Brahma) completed by Brahmagupta in 628. This astronomer was born in 598 and apparently worked in Bhillamal (identified with modern Bhinmal in Rajasthan), during the reign (and possibly under the patronage) of King Vyaghramukha.
Although we do not know whether Brahmagupta encountered the work of his contemporary Bhaskara, he was certainly aware of the writings of other members of the tradition of the Aryabhatiya, about which he has nothing good to say. This is almost the first trace we possess of the division of Indian astronomer-mathematicians into rival, sometimes antagonistic "schools." [...] it was in the application of mathematical models to the physical world - in this case, the choices of astronomical parameters and theories - that disagreements arose. [...]
Such critiques of rival works appear occasionally throughout the first ten astronomical chapters of the Brahmasphutasiddhanta, and its eleventh chapter is entirely devoted to them. But they do not enter into the mathematical chapters that Brahmagupta devotes respectively to ganita (chapter 12) and the pulverizer (chapter 18). This division of mathematical subjects reflects a different twofold classification from Bhaskara's "mathematics of fields" and "mathematics of quantities." Instead, the first is concerned with arithmetic operations beginning with addition, proportion, interest, series, formulas for finding lengths, areas, and volumes in geometrical figures, and various procedures with fractions - in short, diverse rules for computing with known quantities. The second, on the other hand, deals with what Brahmagupta calls "the pulverizer, zero, negatives, positives, unknowns, elimination of the middle term, reduction to one [variable], bhavita [the product of two unknowns], and the nature of squares [second-degree indeterminate equations]" - that is, techniques for operating with unknown quantities. This distinction is more explicitly presented in later works as mathematics of the "manifest" and "unmanifest," respectively: i.e., what we will henceforth call "arithmetic" manipulations of known quantities and "algebraic" manipulation of so-called "seeds" or unknown quantities. The former, of course, may include geometric problems and other topics not covered by the modern definition of "arithmetic." (Like Aryabhata, Brahmagupta relegates his sine-table to an astronomical chapter where the computations require it, instead of lumping it in with other "mathematical" topics.) »

[Boyer_Siddhanta-3] (en) Carl Benjamin Boyer, A History of Mathematics, 1991, chap. 13 (« The Arabic Hegemony »), p. 226 :
« By 766 we learn that an astronomical-mathematical work, known to the Arabs as the Sindhind, was brought to Baghdad from India. It is generally thought that this was the Brahmasphuta Siddhanta, although it may have been the Surya Siddhanata. A few years later, perhaps about 775, this Siddhanata was translated into Arabic, and it was not long afterwards (ca. 780) that Ptolemy's astrological Tetrabiblos »

[Plofker_Chapter_18_Brahmasphutasiddhanta-4] {a b et c} Plofker 2007, p. 428-434

[Boyer_Brahmagupta_Indeterminate_equations-5] {a et b} Boyer 1991, chap. 12 (« China and India »), p. 221 :
« he was the first one to give a general solution of the linear Diophantine equation ax + by = c, where a, b, and c are integers. […] It is greatly to the credit of Brahmagupta that he gave all integral solutions of the linear Diophantine equation, whereas Diophantus himself had been satisfied to give one particular solution of an indeterminate equation. Inasmuch as Brahmagupta used some of the same examples as Diophantus, we see again the likelihood of Greek influence in India - or the possibility that they both made use of a common source, possibly from Babylonia. It is interesting to note also that the algebra of Brahmagupta, like that of Diophantus, was syncopated. Addition was indicated by juxtaposition, subtraction by placing a dot over the subtrahend, and division by placing the divisor below the dividend, as in our fractional notation but without the bar. The operations of multiplication and evolution (the taking of roots), as well as unknown quantities, were represented by abbreviations of appropriate words. »

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 ==Biographie et œuvres==
-Brahmagupta est probablement né vers 598 à {{Lien|trad=Bhinmal}} au [[Rajasthan]] dans le nord-ouest de l'Inde. À cette époque Bhillamala était le siège du pouvoir des {{Lien|trad=Gurjar|texte=Gurjars}}. Son père était Jisnugupta<ref name="ref@1"/>. Il a probablement vécu la plus grande partie de sa vie à Bhillamala (maintenant Bhinmal, [[Rajasthan]]) durant le règne (et peut-être mécénat) du Roi Vyaghramukha<ref name="Plofker 418-419"/>. De ce fait Brahmagupta est souvent appelé Bhillamalacharya, c'est-à-dire ''le professeur de Bhillamala''. Il a dirigé l’observatoire astronomique d'[[Ujjain]], et a écrit durant ce poste quatre textes sur les mathématiques et l'astronomie :''Cadamekela'' en 624, ''[[Brahmasphutasiddhanta]]''  en 628, ''Khandakhadyaka'' en 665 et ''Durkeamynarda'' en 672.
+Brahmagupta est probablement né vers 598 à {{Lien|trad=Bhinmal}} au [[Rajasthan]] dans le nord-ouest de l'Inde. À cette époque Bhillamala était le siège du pouvoir des {{Lien|trad=Gurjar|texte=Gurjars}}. Son père était Jisnugupta<ref name="ref@1"/>. Il a probablement vécu la plus grande partie de sa vie à Bhillamala (maintenant Bhinmal, [[Rajasthan]]) durant le règne (et peut-être mécénat) du Roi Vyaghramukha<ref name="Plofker 418-419"/>. De ce fait Brahmagupta est souvent appelé Bhillamalacharya, c'est-à-dire ''le professeur de Bhillamala''. Il a dirigé l’observatoire astronomique d'[[Ujjain]], et a écrit durant ce poste deux textes sur les mathématiques et l'astronomie :''[[Brahmasphutasiddhanta]]''  en 628 et ''Khandakhadyaka'' en 665.
 Le ''Brahmasphutasiddhanta'' (''Traité correct de Brahma'') est sans doute son ouvrage le plus connu. L'historien [[al-Biruni]] (vers 1050) dans son livre ''Tariq al-Hind'' affirme que le [[calife]] [[Abbassides|Abbasside]] [[al-Ma'mun]] avait une ambassade en Inde et fit y fit venir à Baghdad un livre dont le titre en arabe a été traduit par ''Sindhind''. Il est en général reconnu que ''Sindhind'' est le ''[[Brahmasphutasiddhanta|Brahmasphuta-siddhanta]]'' de Brahmagupta<ref name="Boyer Siddhanta"/>.