Formule de Brahmagupta

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En géométrie euclidienne, la formule de Brahmagupta, trouvée par Brahmagupta, est une généralisation de la formule de Héron à l'aire d'un quadrilatère convexe inscriptible (c'est-à-dire dont les sommets se situent sur un même cercle), uniquement en fonction des longueurs de ses côtés :

est le demi-périmètre du quadrilatère, a, b, c et d sont les longueurs de ses côtés et son aire.

Démonstration[modifier | modifier le code]

ចតុកោណចារឹកក្នុងរង្វង់.png

En suivant les notations de la figure, l'aire du quadrilatère inscriptible est la somme des aires des triangles et  :

mais comme est inscriptible, les angles en et sont supplémentaires et ont le même sinus, par suite :

d'où en élevant au carré :

En appliquant le théorème d'Al-Kashi aux triangles and et en égalant les expressions du côté commun on obtient :

ce qui s'écrit puisque les angles et sont supplémentaires :

En reportant dans la formule précédente, on obtient :

En introduisant , on obtient :

d'où

Cas particuliers[modifier | modifier le code]

  • Le carré : et
  • Le rectangle : et
  • Le triangle :  ; on retrouve la formule de Héron.

Liens externes[modifier | modifier le code]

Une autre explication de la formule de Brahmagupta par Michel Hort.