Algèbre syncopée

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L'algèbre syncopée désigne une forme intermédiaire d'écriture mathématique, entre l'algèbre rhétorique (où tout est exprimé avec des mots) et l'algèbre symbolique moderne. Elle consiste essentiellement en l'utilisation de notations abrégées (d'où le qualificatif de syncopé, qui signifie abrégé[1]). Cependant, pour les mathématiciens utilisant l'algèbre syncopée, le pas n'est pas franchi de considérer les symboles comme des entités mathématiques à part entière. Notamment, il n'y a pas de symbole réservé pour l'inconnue d'une équation qui soit manipulable comme un nombre[2]. François Viète sera le premier à noter des équations avec des paramètres et à énoncer pour les équations formelles ainsi créées les mêmes règles de calcul qu'on applique aux nombres[3]. Ce système de notation, appelé logistique spécieuse sera amélioré, notamment par Thomas Harriot, William Oughtred, James Hume, Albert Girard et René Descartes, pour donner l'algèbre symbolique moderne.

La distinction entre algèbre rhétorique, algèbre syncopée et algèbre symbolique est posée pour la première fois par Georg Heinrich Ferdinand Nesselmann en 1842[4].

Exemples[modifier | modifier le code]

Différentes puissances d'une inconnue[modifier | modifier le code]

Par exemple, une inconnue x étant posée, ce qui en algèbre symbolique actuelle s'écrit 5x3+2x2 pourrait être traduit en algèbre rhétorique par « 5 cubes et 2 carrés » et, en algèbre syncopée, 5Q+2C, où Q désigne le cube de l'inconnue et C son carré[5]. Le fait de noter différemment le carré et le cube de l'inconnue, de ne pas attribuer de symbole distinctif à l'inconnue, est caractéristique de l'algèbre syncopée.

Historique[modifier | modifier le code]

Avant Diophante[modifier | modifier le code]

Dès la Haute Antiquité, des problèmes sont énoncés en « algèbre rhétorique » (bien que le terme d'algèbre soit ici contesté). Bien qu'utilisant un vocabulaire géométrique, les problèmes mésopotamiens peuvent aisément être transcrits en notation moderne[6]. Par exemple, la tablette babylonienne BM 13901 contient le problème[7] :

Problème — J'ai soustrait le côté d'un carré de la surface et le résultat est 14,30.

Ce qui, de nos jours, se traduit directement, en posant x le côté du carré par :

x2x = 14,30.

Le fait d'ajouter des côtés de carré avec des surfaces, comme ci-dessus, montre une certaine conceptualisation « algébrique » mais cette « algèbre » reste rhétorique : les règles ne sont données qu'à travers des exemples. Les babyloniens savaient résoudre certaines équations, mais n'ont jamais franchi le pas d'une notation algébrique qui leur aurait permis d'écrire des méthodes générales[8].

D'autre part, au IVe siècle av. J.-C., Aristote utilise des lettres dans ses discours de logique, mais sans que le lien soit fait avec les équations[9].

Diophante, premier « père de l'algèbre »[modifier | modifier le code]

Diophante d'Alexandrie (IIIe siècle) utilise quelques abréviations dans ses textes pour les opérations : le signe ⋔ pour la soustraction, le mot ενμοριϖ (« partie de... ») pour la division, la juxtaposition des signes pour l'addition. Il remplace les mots les plus courants par leurs initiales[10].

L'algèbre arabe[modifier | modifier le code]

Au début du IXe siècle, l'Abrégé du calcul par la restauration et la comparaison (ou Algebra) d'Al-Khwarizmi, bien qu'ouvrage fondateur de l'algèbre — et qui a donné son nom à cette science — est entièrement rhétorique : même l'écriture des nombres n'utilise pas de symboles autres que les mots du langage usuel, écrits en toutes lettres[11].

En Europe[modifier | modifier le code]

L'algèbre syncopée laisse peu à peu place à l'algèbre symbolique au cours du XVIIe siècle en Europe[10].

Le calcul opérationnel conduit à y représenter les opérations que sont l'intégration ou la dérivation comme des nombres. Enfin, l'opérateur nabla représente à son tour une opération vectorielle exactement comme une simple quantité[12].

Bibliographie[modifier | modifier le code]

Articles[modifier | modifier le code]

  • Filippo Russo, « La constitution de l'algèbre au XVIe siècle : Étude de la structure d'une évolution », Revue d'histoire des sciences et de leurs applications, vol. 12, no 3,‎ , p. 193-208 (lire en ligne)
  • Jean-Pierre Desclés et Kye-Seop Cheong, « Analyse critique de la notion de variable : points de vue sémiotique et formel », Mathématiques et Sciences humaines - Mathematics and Social Sciences, EHESS, vol. 44, no 173,‎ , p. 43-102 (lire en ligne)
  • Robert Lyons, « Les symboles mathématiques modernes », Mathadore, vol. 2, no 80,‎ (lire en ligne)
  • Michel Serfati, « Descartes et la constitution de l'écriture symbolique mathématique », Revue d'histoire des sciences, vol. 51, nos 2-3,‎ , p. 237-290 (lire en ligne)

Ouvrages[modifier | modifier le code]

Références[modifier | modifier le code]

  1. Voir par exemple la définition du verbe syncoper dans l'ATILF.
  2. Russo 1959.
  3. Colbus et Hébert 2006, p. 248.
  4. Lyons 2002
  5. Exemple tiré de Colbus et Hébert 2006, p. 248.
  6. Neugebauer 1957
  7. Exemple cité par Dahan-Dalmedico et Peiffer 1986, p. 73. Djebbar 2005, p. 180 en donne un autre.
  8. Neugebauer 1957, p. 42-44.
  9. Desclés et Cheong 2006.
  10. a et b Dahan-Dalmedico et Peiffer 1986, p. 78.
  11. Dahan-Dalmedico et Peiffer 1986, p. 84.
  12. Galois et Abel théoriseront cette unification générale, sur laquelle repose la programmation fonctionnelle

Articles connexes[modifier | modifier le code]

Chronologie de l'algèbreAlgèbre nouvelle