Théorème de Brahmagupta

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(BD)\perp (AC) et (EF)\perp (BC) implique AF=FD

En mathématiques, le théorème de Brahmagupta donne une condition nécessaire sur la perpendicularité des diagonales d'un quadrilatère inscriptible dans un cercle.

Théorème —  Si un quadrilatère inscriptible a des diagonales perpendiculaires alors toute droite coupant perpendiculairement un côté quelconque du quadrilatère et passant par l'intersection des deux diagonales partage le côté opposé en deux parties égales.

Il est nommé ainsi en l'honneur du mathématicien Brahmagupta.

Démonstration[modifier | modifier le code]

On suppose que ABCD est un quadrilatère inscriptible qui a ses diagonales perpendiculaires, et nous voulons prouver que AF = FD. Nous allons donc montrer que AF et FD sont tous les deux égales à FM.

Les angles FAM et CBM sont égaux (ce sont des angles inscrits qui interceptent le même arc de cercle). De plus, les angles CBM et CME sont des angles complémentaires à l'angle BCM. Et enfin, les angles CME et FMA sont égaux en tant qu'angles opposés par le sommet. Finalement, AFM est un triangle isocèle, et par conséquent ses côtés AF et FM sont égaux.

La démonstration que FD = FM est similaire. Les angles FDM, BCM, BME et DMF sont tous égaux, donc DFM est un triangle isocèle, d'où FD = FM. Il s'ensuit que AF = FD, ce qui démontre le théorème.

Voir aussi[modifier | modifier le code]

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